专题21几何三大变换问题之平移问题轴对称、平移、旋转是平面几何的三大变换。

平移变换是指在同一平面内，将一个图形（含点、线、面）整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形变换叫做图形的平移变换，简称平移。

平移由两大要素构成：①平移的方向，②平移的距离。

平移有如下性质：1、经过平移，平移前后图形的形状、大小不变，只是位置发生改变，即平移前后的图形全等；2、平移前后图形的对应点所连的线段平行且相等；3、平移前后图形的对应线段平行且相等，对应角相等。

中考压轴题中平移问题，包括直线（线段）的平移问题；曲线的平移问题；三角形的平移问题；四边形的平移问题；其它曲面的平移问题。

一.直线（线段）的平移问题1.定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段与线段的距离.已知O(0，0)，A(4，0)，B(m，n)，C(m+4，n)是平面直角系中四点.（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离是_____,当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离(即线段AB的长)为______（2）如图3，若点B落在圆心为A，半径为2的圆上，线段BC与线段OA的距离记为d，求d关于m的函数解析式.（3）当m的值变化时，动线段BC与线段OA的距离始终为2，线段BC的中点为M.①求出点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长;②点D的坐标为(0，2)，m≥0，n≥0，作MH⊥x轴,垂足为H，是否存在m的值，使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）2；5（2）()()2m8m122m4d24m6<⎧-+-≤⎪=⎨≤≤⎪⎩（3）①16+4π②存在，m=1，m=3，m=143【解析】解：（1）2；5。

（2）∵点B落在圆心为A，半径为2的圆上，∴2≤m≤6。

当4≤m≤6时，根据定义， d=AB=2。

当2≤m＜4时，如图，过点B作BE⊥OA于点E，则根据定义，d=EB。

②存在。

如图， 由A(4，0)，D(0，2),得OD 21OA 42==。

又FM 4=2，∴()22224444M H FM FH 4x 6=x +12x 32=-=----。

若△AOD ∽△A H 2M 2，则4244AH x 42=M H 1x +12x 32-=--,即23x 32x+80=0-,解得1220x =x =43，（不合题意，舍去）。

此时m=143。

若△AOD ∽△M 2H 2 A ，则4244AH x 41=M H 2x +12x 32-=--,即25x 44x+96=0-,解得1224x =x =45，（不合题意，舍去）。

2. 把直线y x 3=-+沿y 轴方向平移m 个单位后，与直线y 2x 4=+的交点在第二象限，则m 的取值范围是【 】A ．m>1B ．m <5-C ．5<m <1-D ．5m 1-≤≤ 【答案】C 。

【考点】一次函数图象与平移变换，平面直角坐标系中各象限点的特征，解一元一次不等式组。

根据平面直角坐标系中各象限点的特征，判断其所在象限，四个象限的符号特征分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。

∵交点在第二象限，∴m 1<0m <135<m <12m 10m>5>03-⎧⎪⎧⎪⇒⇒-⎨⎨+-⎩⎪⎪⎩。

故选C 。

二. 曲线的平移问题3.定义：如果一个y与x的函数图象经过平移后能与某反比例函数的图象重合，那么称这个函数是y与x的“反比例平移函数”．例如：1y1x2=+-的图象向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到1yx=的图象，则1y1x2=+-是y与x的“反比例平移函数”．（1）若矩形的两边分别是2cm、3cm，当这两边分别增加x（cm）、y（cm）后，得到的新矩形的面积为8cm2，求y与x的函数表达式，并判断这个函数是否为“反比例平移函数”．（2）如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为（9，0）、（0，3）．点D是OA的中点，连接OB、CD交于点E，“反比例平移函数”ax kyx6+=-的图象经过B、E两点．则这个“反比例平移函数”的表达式为；这个“反比例平移函数”的图象经过适当的变换与某一个反比例函数的图象重合，请写出这个反比例函数的表达式．（3）在（2）的条件下，已知过线段BE中点的一条直线l交这个“反比例平移函数”图象于P、Q两点（P 在Q的右侧），若B、E、P、Q为顶点组成的四边形面积为16，请求出点P的坐标．【答案】（1）8y3x2=-+，是；（2）2x9yx6-=-，3yx=；（3）（7，5）或（15，73）．【解析】（2）把B和D的坐标代入ax kyx6+=-得：9a k3969a k20962+⎧=⎪-⎪⎪⎨+⎪=⎪-⎪⎩，解得：a2k9=⎧⎨=-⎩.则“反比例平移函数”的表达式为2x9yx6-=-.故变换后的反比例函数表达式为3yx =.当点P在点B右侧时，同理可得点P的坐标为（15，73）．综上所述，点P的坐标为（7，5）或（15，73）．考点：1.反比例函数综合题；2.新定义；3.平移的性质；4.转换思想和分类思想的应用．4. 如图，抛物线2y ax bx c =++关于直线x 1=对称，与坐标轴交于A 、B 、C 三点，且AB=4，点D ()23-，在抛物线上，直线l 是一次函数()y kx 2k 0=+≠的图象，点O 是坐标原点。

（1）求抛物线的解析式；（2）把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线与直线l 交于M 、N 两点，问在y 轴负半轴上是否存在一定点P ，使得不论k 取何值，直线PM 与PN 总是关于y 轴对称？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）∵抛物线2y ax bx c =++关于直线x=1对称，AB=4，∴A(－1，0)，B(3，0) 。

∴可设抛物线的解析式为()()y a x 1x 3=+-。

∵点D ()23-，在抛物线上，∴()()3a 2123-=+-，解得a 1=。

∴抛物线的解析式为()()y x 1x 3=+-，即2y x 2x 3=--。

（2）∵22y x 2x 3(x 1)4=--=--，∴把抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，所得抛物线的解析式为2y x =。

假设在y 轴上存在一点P(0，t)，t ＜0，使直线PM 与PN 关于y 轴对称，过点M 、N 分别向y 轴作垂线MM 1、NN 1，垂足分别为M 1、N 1，∵∠MPO=∠NPO ，∴Rt △MPM 1∽Rt △NPN 1。

∴1111MM PM NN PN =………①。

不妨设M(x M ,y M )在点N(x N ,y N )的左侧， 因为P 点在y 轴负半轴上，则①式变为M M N N x y tx y t--=-。

又∵M M N N y k x 2, y k x 2=+=+， ∴()()M N M N 2t x x 2k x x -+=-………②。

把y kx 2=+代入2y x =中，整理得2x kx 20--=。

∴M N M N x x k, x x 2+==-，代入②得()()2t k 2k 2-=--，解得t 2=-，符合条件。

∴在y 轴负半轴上存在一点P （0，2-），使直线PM 与PN 总是关于y 轴对称。

【考点】二次函数综合题，平移和轴对称问题，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系。

三. 三角形的平移问题5. 如图，将菱形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=2，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当四边形ABC 1D 1是矩形时，x=233； ③当x=2时，△BDD 1为等腰直角三角形；④()2s x 323-=（0＜x ＜23）。

其中正确的是 ▲ （填序号）。

【答案】①②③④。

【考点】平移的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，矩形的的判定，等腰直角三角形的判定，含30度直角三角形的性质。

【分析】①∵四边形ABCD 为菱形，∴BC=AD ，∠ACB =∠DAC 。

∴∠DAC=∠ACB 。

∵把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，∴∠A 1=∠DAC ，A 1D 1=AD ，AA 1=CC 1。

在△A 1AD 1与△CC 1B 中，∵AA 1=CC 1，∠A 1=∠ACB ，A 1D 1=CB ， ∴△A 1AD 1≌△CC 1B （SAS ）。

故①正确。

②如图1，过点B 作BH ⊥AC 于点H ，∵四边形ABC 1D 1是矩形，∠AC 1D 1=∠ACD=∠ACB=30°， ∴∠AC 1B=60°。

∴∠C 1BC=∠C 1CB=30°。

∴BC 1= CC 1=x 。

∵AB=BC=2，∴B H=1，HC=3。

∴HC 1=1x 2。

∵HC=HC 1+ CC 1，∴1x x 32+=2x 33=故②正确。

③如图2，根据平移的性质，DD 1=CC 1=2，∠BDD 1=90°， 根据菱形的性质和∠ACB=30°，可得DB=AB=2， ∴DD 1= DB=2。

∴△BDD 1为等腰直角三角形。

故③正确。

6. 如图①，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，4），点E （0，1），如图②，将△AEO 沿x 轴向左平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′。

（1）设AA′=m（m >0），试用含m 的式子表示22A B BE '+'，并求出使22A B BE '+'取得最小值时点E′的坐标；（2）当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标。

【答案】（1）①若0＜m ＜2，如图1，连接EE′，∵点A （2，0），∴A′O=2－m 。

在Rt △A′BO 中，由222A B A O BO '='+，得()2222A B 2m 4m 4m 20'=-+=-+。

∵△A′E′O′是△AEO 沿x 轴向左平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′。

∴∠BEE′=90°，EE′=m。

又∵点B （0，4），点E （0，1），∴BE=OB －OE=3。

∴在Rt △BE′E 中，2222BE E E BE m 9'='+=+。