第一章电磁现象的普遍规律
1. 根据算符的微分性与矢量性，推导下列公式：
解：矢量性为
①
②
③微商性
④
⑤
由②得
⑥
⑦
⑥+⑦得
上式得
令得
2.设μ是空间坐标x，y，z的函数，证明：
解：①
②
③
3.设为原点到场点的距离，的方向规定为从原点指向场点。

⑴证明下列结果，并体会对原变数求微商
（）
与对场变数求微商
（）
的关系
（最后一式在r=0点不成立，见第二章第五节）
⑵求及，其中及均为常矢量。

解：⑴
⑵
4. 4.⑴应用高斯定理证明
⑵应用斯托克斯（Stokes）定理证明
解：⑴
⑵
5. 5.已知一个电荷系统的偶极矩定义为
利用电荷守恒定律
证明的变化率为
解：
取被积区域大于电荷系统的区域，即V的边界S上的，则。

6. 若是常矢量，证明除R=0点以外矢量的旋度等于标量的梯度的负值，即,其中R为坐标原点到场点的距离，方向由原点指向场点。

解：
7. 有一内外半径分别为和的空心介质球，介质的电容率为，使介质内均匀带静止自由电荷，求
⑴空间各点的电场；⑵ 极化体电荷和极化面电荷分布。

解：⑴对空间Ⅰ做高斯面，由：
对空间Ⅱ：做高斯面，由
对空间Ⅲ:
做高斯面，由
⑵由
时,由边值条件:
(由1指向2)
8. 内外半径分别为和的无穷长中空导体圆柱，沿轴向流有恒定均匀自由电流，导体的磁导率为μ，求磁感应强度和磁化电流。

解：⑴由
所以
所以
方向为
对区域Ⅱ
由
方向为
对区域Ⅲ有:
(2)(2)由
由
由
同理
由
得
9. 证明均匀介质内部的体极化电荷密度总是等于体自由电荷密度的倍。

即：
解：由均匀介质有
①
②
③
④
由①②得
两边求散度
由③④得
10. 证明两个闭合的恒定电流圈之间的相互作用力大小相等，发向相反。

（但两个电流元之间的相互作用力一般并不服从牛顿第三定律）
解：令两个线圈中的电流分别为和。

电流圈对另一个电流圈中的电流元的作用力为：
⑴
其中
⑵
是电流圈在电流元处激发的磁感应强度，是从中的电流元到电流元的矢径。

将⑵式代入⑴式，并对积分，利用斯托克斯定理,同时注意到,即得到电流圈对的作用力：
⑶
同样，电流圈对中的电流元的作用力为:
⑷
其中
⑸
是电流圈在电流元处激发的磁感应强度,是从电流元到电流元的矢径。

对的作用力为
⑹
注意到
于是有
11. 平行板电容器内有两层介质，它们的厚度分别为和，电容率为和，令在两板接上电动势为的电势，求：⑴电容器两板上的自由电荷面密度⑵介质分界面上的自由电荷面密度；若介质是漏电的，电导率分别为和，当电流达到恒定时，上述两问题的结果如何？
解：
由
得
当介质漏电时
由
得
有
同理
12. 证明：⑴当两种绝缘介质的分界面上不带自由电荷时，电场线的曲折满足：
其中和分别为两种介质的介电常数，和分别为界面两侧电场线与法线的夹角。

⑵当两种导电介质内流有恒电流时，分界面上电场线曲折满足，其中σ1和σ2分别为两种介质的电导率。

解：⑴
切向分量连续有
代入上式得：
⑵，
切向分量连续，
有
代入上式得
13.试用边值关系证明：在绝缘介质与导体的分界面上，在静电情况下，导体外的电场线总是垂直于导体表面；在恒定电流情况下，导体的电场线总是平行于导体表面。

解：⑴由边值关系：
又由边值关系
即
因为假设为静电情况
即导体外的电场线总是垂直于导体表面。

⑵在恒定电流情况下：由
因为
所以
即导体内电场线总是平行于导体表面。

14. 内外半径分别为和的无限长圆柱形电容器，单位长度荷电为，极间填充电导率为的非磁性物质
（1）证明在介质中任何一点传导电流与位移电流严格抵消，因此内部无磁场。

（2）求随时间的衰减规律
（3）求与轴相距为r的地方的能量耗散功率密度
（4)求长度为L的一段介质总的能量耗散功率，并证明它等于这段的静电能减少率
解：（1）
由（3）得
++
又
即与严格抵消。

（2）由
=
2LE=
E=
J= -
解得
当t=0时
(3)t场对自由电荷所做的功率密度为
(4)
而长为L的一段介质总的静电能为
W=
所以能量耗散功率等于静电能减少率。