《最高考系列 高考总复习》2014届高考数学总复习（考点引领+技巧点拨）第十一章 计数原理、随机变量及分布列第6课时 离散型随机变量的均值与方差1. (选修23P 67习题4改编)某单位有一台电话交换机，其中有8个分机．设每个分机在1h 内平均占线10min ，并且各个分机是否占线是相互独立的，则任一时刻占线的分机数目X 的数学期望为________．答案：43解析：每个分机占线的概率为16，X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫8， 16，即X 服从二项分布，所以期望E(X)＝8×16＝43. 2. (选修23P 66例2改编)有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出200件商品，设其中次品数为X ，则E(X)＝________，V(X)＝________.答案：2 1.98 解析：X ～B(200, 0.01)，所以期望E(X)＝200×0.01＝2，V(X)＝200×0.01×(1－0.01)＝1.98.3. (选修23P 71习题4改编)某人进行射击，每次中靶的概率均为0.8，现规定：若中靶就停止射击，若没中靶，则继续射击，如果只有3发子弹，则射击数X 的均值为________．(填数字)答案：1.24解析：射击次数X 的分布列为∴E(X)＝0.8×1＋0.16×2＋0.04×3＝1.24.4. (选修23P 71习题1改编)随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，若E(X)＝13，则方差V(X)的值是________．答案：59解析：a 、b 、c 成等差数列，有2b ＝a ＋c ，又a ＋b ＋c ＝1，E(X)＝－1×a＋1×c＝c －a ＝13. 得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴ V(X)＝⎝⎛⎭⎪⎫－1－132×16＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132×13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫232×12＝59. 5. 一高考考生咨询中心有A 、B 、C 三条咨询热线．已知某一时刻热线A 、B 占线的概率均为0.5，热线C 占线的概率为0.4，各热线是否占线相互之间没有影响，假设该时刻有ξ条热线占线，则随机变量ξ的期望为________．答案：1.4解析：随机变量ξ可能取的值为0、1、2、3. 依题意，得P(ξ＝0)＝0.15, P(ξ＝1)＝0.4， P(ξ＝2)＝0.35，P(ξ＝3)＝0.1 ∴ ξ的分布列为∴ 它的期望为E(ξ)＝0×0.15＋1×0.4＋2×0.35＋3×0.1＝1.4.1. 均值(1) 若离散型随机变量ξ的分布列为：则称E(ξ)＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n 为ξ的均值或数学期望，简称期望． (2) 离散型随机变量的期望反映了离散型随机变量取值的平均水平． (3) 数学期望的性质．E(c)＝c ，E(a ξ＋b)＝aE ξ＋b(a 、b 、c 为常数)． 2. 方差(1) 若离散型随机变量ξ所有可能的取值是x 1，x 2，…，x n 且这些值的概率分别是p 1，p 2，…，p n ，则称：V(ξ)＝(x 1－E(ξ))2p 1＋(x 2－E(ξ))2p 2＋…＋(x n －E(ξ))2p n 为ξ的方差．(2) σ(3) 随机变量ξ的方差反映了ξ取值的稳定性． (4) 方差的性质a 、b 为常数，则V(a ξ＋b)＝a 2V ξ.3. 若ξ～B(n ，p)，则E(ξ)＝np ，V(ξ)＝np(1－p)．4. 期望与方差的关系均值(期望)反映了随机变量取值的平均水平，而方差则表现了随机变量所取的值对于它的均值(期望)的集中与离散的程度，因此二者的关系是十分密切的，且有关系式V(ξ)＝E(ξ2)＋(E(ξ))2.[备课札记]题型1 离散型随机变量的期望例1 已知离散型随机变量ξ1的概率分布为2求这两个随机变量数学期望、方差与标准差． 解：E(ξ1)＝1×17＋2×17＋…＋7×17＝4；V(ξ1)＝(1－4)2×17＋(2－4)2×17＋…＋(7－4)2×17＝4，σ1＝V （ξ1）＝2.E(ξ2)＝3.7×17＋3.8×17＋…＋4.3×17＝4；V(ξ2)＝0.04，σ2＝V （ξ2)＝0.2.变式训练甲、乙两射手在同一条件下进行射击，分布列如下：射手甲击中环数8，9，10的概率分别为0.2，0.6，0.2；射手乙击中环数8，9，10的概率分别为0.4，0.2，0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射击水平．解：E ξ1＝8×0.2＋9×0.6＋10×0.2＝9，V(ξ1)＝(8－9)2×0.2＋(9－9)2×0.6＋(10－9)2×0.2＝0.4； 同理有E(ξ2)＝9，V(ξ2)＝0.8.由上可知，E(ξ1)＝E(ξ2)，V(ξ1)<V(ξ2)．所以，在射击之前，可以预测甲、乙两名射手所得的平均环数很接近，均在9环左右，但甲所得环数较集中，以9环居多，而乙得环数较分散，得8、10环的次数多些．题型2 离散型随机变量的方差与标准差例2 某工艺厂开发一种新工艺品，头两天试制中，该厂要求每位师傅每天制作10件，该厂质检部每天从每位师傅制作的10件产品中随机抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天该师傅的产品不能通过．已知李师傅第一天、第二天制作的工艺品中分别有2件、1件次品．(1) 求两天中李师傅的产品全部通过检查的概率；(2) 若厂内对师傅们制作的工艺品采用记分制，两天全不通过检查得0分，通过1天、2天分别得1分、2分，求李师傅在这两天内得分的数学期望．解：(1) 设李师傅产品第一天通过检查为事件A ；第二天产品通过检查为事件B.则有P(A)＝C 48C 410＝12，P(B)＝C 49C 410＝35，由事件A 、B 独立，∴ P(AB)＝P(A)P(B)＝310.答：李师傅这两天产品全部通过检查的概率为310.(2) 记得分为ξ，则ξ的可能值为0，1，2.∵ P(ξ＝0)＝23×25＝415；P(ξ＝1)＝35×23＋13×25＝815；P(ξ＝2)＝35×13＝15.∴ E(ξ)＝0×415＋1×815＋2×15＝1415.答：李师傅在这两天内得分的数学期望为1415.备选变式（教师专享）一盒中装有零件12个，其中有9个正品，3个次品，从中任取一个，如果每次取出次品就不再放回去，再取一个零件，直到取得正品为止．求在取得正品之前已取出次品数的期望．解：设取得正品之前已取出的次品数为ξ，显然ξ所有可能取的值为0，1，2，3当ξ＝0时，即第一次取得正品，试验停止，则P(ξ＝0)＝912＝34.当ξ＝1时，即第一次取出次品，第二次取得正品，试验停止，则P(ξ＝1)＝312×911＝944. 当ξ＝2时，即第一、二次取出次品，第三次取得正品，试验停止， 则P(ξ＝2)＝312×211×910＝9220.当ξ＝3时，即第一、二、三次取出次品，第四次取得正品，试验停止， 则P(ξ＝3)＝312×211×110×99＝1220.所以，E(ξ)＝0×34＋1×944＋2×9220＋3×1220＝310.题型3 期望、方差的性质及应用例3 某电器商经过多年的经验发现本店每个月售出的电冰箱的台数ξ是一个随机变量，它的分布列为P(ξ＝i)＝112(i ＝1，2，…，12)；设每售出一台电冰箱，电器商获利300元．如销售不出，则每台每月需花保管费100元. 问电器商每月初购进多少台电冰箱才能使月平均收益最大？解：设x 为电器商每月初购进的冰箱的台数，依题意，只需考虑1≤x≤12的情况．设电器商每月的收益为y 元， 则y 是随机变量ξ的函数，且y ＝300(),300100()()x x x x x x x x ì³ïïíï--ïîp 于是电器商每月获益的平均数，即为数学期望Ey ＝300x(P x ＋P x ＋1＋…＋P 12)＋[300－100(x －1)]P 1＋[2×300－100(x －2)]P 2＋…＋[(x －1)×300－100]P x －1＝300x(12－x ＋1)·112＋112⎣⎢⎡⎦⎥⎤300×x （x －1）2－100×（x －1）x 2＝253(－2x 2＋38x)． 因为x∈N *，所以当x ＝9或x ＝10时， 数学期望最大．故电器商每月初购进9或10台电冰箱时，月收益最大，最大收益为1500元． 备选变式（教师专享）甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量ξ和η，且ξ、η分布列为(1) 求a 、b 的值；(2) 计算ξ、η的期望和方差，并以此分析甲、乙的技术状况．解：(1) 由离散型随机变量的分布列性质可知a ＋0.1＋0.6＝1，即a ＝0.3，同理0.3＋b ＋0.3＝1，b ＝0.4.(2) E(ξ)＝1×0.3＋2×0.1＋3×0.6＝2.3， E(η)＝1×0.3＋2×0.4＋3×0.3＝2. V(ξ)＝0.81，V(η)＝0.6.由计算结果E(ξ)>E(η)，说明在一次射击中甲的平均得分比乙高，但V(ξ)>V(η)，说明甲得分的稳定性不如乙，因此甲、乙两人技术都不够全面．1. (2013·广东)已知离散型随机变量X 的分布列为则X 的数学期望E(X)答案：32解析：E(X)＝1×35＋2×310＋3×110＝1510＝32.2. (2013·湖北理)如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割成125个同样大小的小正方体．经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的涂油漆面数为X ，则X 的均值为E(X)＝________．答案：65解析：用分布列解决这个问题，根据题意易知X ＝0，1，2，3.列表如下：所以E(X)＝0×27125＋1×54125＋2×36125＋3×8125＝150125＝65.3. (2013·上海理)设非零常数d 是等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 19的公差，随机变量ξ等可能地取值x 1，x 2，x 3，…，x 19，则方差V(ξ)＝________．答案：30|d| 解析：E ξ＝x 10， V(ξ)＝d 219（92＋82＋…＋12＋02＋12＋…＋92）＝30|d|. 4. (2013·浙江)设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1) 当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此两球所得分数之和，求ξ分布列；(2) 从该袋子中任取(且每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝53，V(η)＝59，求a∶b∶c.解：(1) 由已知得到：当两次摸到的球分别是红红时ξ＝2，此时P(ξ＝2)＝3×36×6＝14； 当两次摸到的球分别是黄黄、红蓝、蓝红时ξ＝4时，P(ξ＝4)＝2×26×6＋3×16×6＋1×36×6＝518； 当两次摸到的球分别是红黄，黄红时ξ＝3时，P(ξ＝3)＝3×26×6＋2×36×6＝13；当两次摸到的球分别是黄蓝，蓝黄时ξ＝5时，P(ξ＝5)＝1×26×6＋2×16×6＝19；当两次摸到的球分别是蓝蓝时ξ＝6时，P(ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2) 由已知得到：η有三种取值即1，2，3，所以η的分布列为所以，2225233555253(1)(2)(3)9333a b c E a b c a b c a b ca b c D a b c a b c a b c ηη⎧==++⎪⎪++++++⎨⎪==-⨯+-⨯+-⨯⎪++++++⎩所以b ＝2c ，a ＝3c ，所以a∶b∶c＝3∶2∶1.1. 袋中有5只红球，3只黑球，现从袋中随机取出4只球，设取到一只红球得2分，取到一只黑球得1分，则得分ξ的数学期望E ξ＝________．答案：132解析：ξ可取5、6、7、8，P(ξ＝5)＝570 (3黑1红); P(ξ＝6)＝3070 (2黑2红)；P(ξ＝7)＝3070 (3红1黑)；P(ξ＝8)＝570 (4红)．∴E ξ＝45570＝6.5.2. 为防止山体滑坡，某地决定建设既美化又防护的绿化带，种植松树、柳树等植物．某人一次种植了n 株柳树，各株柳树成活与否是相互独立的，成活率为p ，设ξ为成活柳树的株数，数学期望E(ξ)＝3，标准差σ(ξ)为62. (1) 求n 、p 的值并写出ξ的分布列；(2) 若有3株或3株以上的柳树未成活，则需要补种，求需要补种柳树的概率． 解：(1) 由E(ξ)＝np ＝3，(σ(ξ))2＝np(1－p)＝32，得1－p ＝12，从而n ＝6，p ＝12，ξ的分布列为(2) 记“需要补种柳树”为事件A,则P(A)＝P(ξ≤3)，得P(A)＝1＋6＋15＋2064＝2132.3. 将一枚硬币抛掷6次，求正面次数与反面次数之差ξ的概率分布列，并求出ξ的期望E ξ.解：设正面的次数是η，则η服从二项分布B(6，0.5)，概率分布为P(η＝k)＝C k 60.56，k ＝0，1，…，6，且E η＝3.而反面次数为6－η，ξ＝η－(6－η)＝2η－6.于是ξ的概率分布为P(ξ＝2k －6)＝P(η＝k)＝C k 60.56，k ＝0，1，…，6. 故E(ξ)＝E(2η－6)＝2E(η)－6＝2×3－6＝0.4. (2013新课标Ⅰ理)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n.如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为12，且各件产品是否为优质品相互独立．(1) 求这批产品通过检验的概率； (2) 已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．解：(1) 设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A ， 第一次取出的4件产品中全为优质品为事件B ， 第二次取出的4件产品都是优质品为事件C ， 第二次取出的1件产品是优质品为事件D ， 这批产品通过检验为事件E ，∴ P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫122×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＋⎝ ⎛⎭⎪⎫124×12＝364.(2) X 的可能取值为400，500，800，并且P(X ＝400)＝1－C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12－⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝116，P(X ＝500)＝116，P(X ＝800)＝C 34⎝ ⎛⎭⎪⎫123×12＝14，∴ X 的分布列为EX ＝400×1116＋500×116＋800×14＝506.25.数学期望中的注意问题：(1) 数学期望是离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．(2) E(X)是一个常数，由随机变量X 的概率分布唯一确定，即随机变量X 是可变的，而E(X)是不变的，它描述X 取值的平均状态．(3) 随机变量的方差和标准差既反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度，方差或标准差越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，也反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度．(4) 标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．请使用课时训练（B）第6课时（见活页）.[备课札记]。