第2讲 证明不等式的基本方法
不同寻常的一本书，不可不读哟！
1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析 法、反证法、放缩法．
2. 会用柯西不等式证明一些简单的不等式以及求一些特定
函数的极值.
1种必会方法 综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清 楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使 用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证 明过程．
则3a2≥2b2，则3a2－2b2≥0.
又a－b≥0，∴(a－b)(3a2－2b2)≥0， 即3a3－2ab2－3a2b＋2b3≥0， 则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 故原不等式成立．
证法二 (分析法) 要证3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2， 只需证3a3＋2b3－3a2b－2ab2≥0，
例2 已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋
1 1 1 ＋ ＋ 2≥6 a b c
3，并确定a，b，c为何值时，等号成立．
[审题视点] 因为a，b，c均为正数，且a＋b＋c≥ 3 abc，故可利用三个正数的算术——几何平均不等式证明． 3
[证明]
2
因为a，b，c均为正数，
核心要点研究
例1 [2013· 广州模拟]已知a>0，b>0，求证：( b3≥ab＋ ab2.
[审题视点]
a
)3＋
本题主要考比较法证明．
[证明]
( a)3＋b3－(ab＋ ab2)
＝[( a)3－ab]＋[b3－ ab2] ＝a( a－b)－b2( a－b) ＝( a－b)(a－b2) ＝( a－b)[( a)2－b2] ＝( a－b)2( a＋b)． 因为a>0，b>0，所以 a＋b>0，又( a－b)2≥0， 所以( a －b)2( a ＋b)≥0，从而( a )3＋b3－(ab＋ a
1.分析法要注意叙述的形式：“要证A，只要证B”，这 里B应是A成立的充分条件. 2.综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等
式是“执果索因”.它们是两种思路截然相反的证明方法.分析
法便于寻找解题思路，而综合法便于叙述，因此要注意两种 方法在解题中的综合运用.
[变式探究] 设a≥b>0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2. 证明：证法一 (综合法) ∵a≥b>0，∴a2≥b2，
(2)分析法 从所要________入手向使它成立的充分条件反推直至达到 已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明 方法． (3)综合法 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等
式)，推出所要证明的结论，即“由因寻果”的方法，这种证明
不等式的方法称为综合法．
(4)反证法的证明步骤 第一步：作出与所证不等式________的假设； 第二步：从________出发，应用正确的推理方法，推出矛
即3a2(a－b)＋2b2(b－a)≥0，
也即(a－b)(3a2－2b2)≥0，(*) ∵a≥b>0，∴a－b≥0. 又a2≥b2，则3a2≥2b2，∴3a2－2b2≥0. (*)式显然成立，故原不等式成立.
例3 [2012· 福建高考]已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R， 且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值； 1 1 1 (2)若a，b，c∈R＋，且 a ＋ 2b ＋ 3c ＝m，求证：a＋2b＋ 3c≥9.
3 1 1 1 1 证明：∵a，b，c为正实数，∴ 3 ＋ 3 ＋ 3 ≥3 ＝ a b c a3b3c3 3 1 1 1 3 ，∴ 3＋ 3＋ 3＋abc≥ ＋abc≥2 3，∴原不等式成立， abc a b c abc 3 1 当a＝b＝c且 ＝abc时等号同时成立，即a＝b＝c＝3 时，原 abc 6 式等号成立．
n n n
(1)若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是________．
(2)x ， y∈R ， 且 x2 ＋ y2 ＝ 10 ， 则 2x － y 的 取 值 范 围 为
________．
3. 证明不等式的方法 (1)比较法 ①求差比较法 由a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证 明________即可，这种方法称为求差比较法． ②求商比较法 a 由a>b>0⇔ >1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明 b a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．
盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．
(5)放缩法 所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________， 以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显， 从而得到欲证不等式成立．
在证明不等式时综合法与分析法有怎样的关系？
(1)要证明 ________．
29 ＋
31 <2
5 ，可选择的方法最合理的是
b2)≥0，即( a)3＋b3≥ab＋ ab2.
此题用的是作差比较法，其步骤：作差、变形、判断差 的符号、结论.其中判断差的符号为目的，变形是关键.常用的 变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法.
[变式探究] 求证：a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
证明：∵(a2＋b2)－(ab＋a＋b－1) ＝a2＋b2－ab－a－b＋1 1 2 ＝ (2a ＋2b2－2ab－2a－2b＋2) 2 1 2 ＝2[(a －2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] 1 ＝ [(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0， 2 ∴a2＋b2≥ab＋a＋b－1.
1. 三个正数的算术—几何平均不等式 a＋b＋c (1)定理：如果a，b，c均为正数，那么 ________ 3 3 abc ，当且仅当________时，等号成立，即三个正数的算术 (2)基本不等式的推广 对于n个正数a1，a2，„，an，它们的算术平均数________ a1＋a2＋„＋an n 它们的几何平均数，即 ________ a1a2„an ，当 n 且仅当________时，等号成立．
2 柯西不等式的一般结构为(a1 ＋a 2＋„＋a2)(b 2＋b 2＋„ 2 n 1 2
＋b2)≥(a1b1＋a2b2＋„＋anbn)2，在使用柯西不等式时，关键 n 是将已知条件通过配凑，转化为符合柯西不等式条件的式 子，为方便使用柯西不等式，有时常将 a 变形为 1×a 的形 式．
a [变式探究] 用柯西不等式证明：若a，b，c均为正数，( b b c b c a ＋ ＋ )( ＋ ＋ )≥9. c a a b c a b c b c a 证明：∵(b＋c ＋a)(a＋b＋c)
3. a－b>0 或缩小
a >1 证明的结论 相反 条件和假设 放大 b
想一想：提示：综合法：由条件出发推导出所要证明的不 等式成立．分析法：从结论出发寻找使结论成立的充分条件， 综合法与分析法是对立统一的两种方法．在实际解题时，常常 用分析法探求解题思路，用综合法表达． 填一填：(1)分析法 (2)P≥Q 提示：∵a3·6＝a4·5，∴ a a a3＋a6≥2 a3·6＝2 a4·5，∴P≥Q. a a
2点必会技巧 1. 利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相 等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不
等式．
2. 常用的初等变形有均匀裂项、增减项、配系数等．利用 基本不等式还可以证明条件不等式，关键是恰当地利用条件， 构造基本不等式所需要的形式．
3点必须注意 1. 作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、 三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．
2 2 又3(abc)3＋9(abc)－3≥2 27＝6 3， 所以原不等式成立． 当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立． 2 2 当且仅当3(abc)3＝9(abc)－3时，③式等号成立． 1 即当且仅当a＝b＝c＝34时，原式等号成立．
③
1 1 1 奇思妙想：例题中，不等式变为“ 3 ＋ 3 ＋ 3 ＋ a b c abc≥2 3”，其余不变，该如何解答？
a3＋a6 (2)等比数列{an}各项为正数，且q≠1，若P＝ ，Q＝ 2 a4a5，则P与Q的大小关系________.
1. ≥ a＝b＝c 不小于 不小于 ≥ a1＝a2＝„＝an 3 1 填一填：(1)3 (2)3 4
2．填一填：(1)
2 2 2
1 21
2 2
提示：∵1＝x＋2y＋
2
1 4z≤ x ＋y ＋z · 1＋4＋16 ，∴x ＋y ＋z ≥ 21 ，即x2＋y2＋z2 1 的最小值为21. (2)[－5 y)2， ∴－5 2≤2x－y≤5 2. 2 ，5 2] 提示：∵(x2＋y2)[22＋(－1)2]≥(2x－
[审题视点]
(1)根据式子的特点，利用公式进行转化，根
据集合相等确定m的值；(2)结合已知条件构造两个适当的数
组，变形为柯西不等式的形式．
[解]
(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，
由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1. 1 1 1 ＋ (2)由(1)知a＋2b＋3c＝1，又a，b，c∈R ，由柯西不等式 1 1 1 1 1 得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)( a ＋ 2b ＋ 3c )≥( a· ＋ 2b· ＋ a 2b 1 2 3c· ) ＝9.所以不等式得证． 3c
2 2
2 所以a ＋b ＋c ≥3(abc) ， 3 1 1 1 1 a＋b＋c≥3(abc)－3，
1 1 1 2 ＋ ＋ 2≥9(abc)－ . 所以 a b c 3
① ②
故a ＋b ＋c
2
2
2
1 1 1 2 2 2 ＋a＋b＋c ≥3(abc)3＋9(abc)－3.