复 数专题一 复数与数列复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握．例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(41i +的等比复数列． （1）求4z ．（2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 21)26(41ππi i r +=+=．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6r 的等比数列．所以433=a ． （3）这个级数是公比816-==r 的无穷等比级数，从而和3128)81(148=--=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时）分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论．解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ．（1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(131tan ∞→→+-=n nn θ． （2）当1≠k 时，211111)1(a k kk a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++--=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(13313)13(1tan 1∞→⎪⎩⎪⎨⎧<<>+-→---+=-n k k k k k k k nn n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示．（2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数．解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,21223)(αα=-=-z z z z (1)211)(----=-=-n n n n n z z z z αα于是，从1≠α得，αα--=11nn z ．（2）)3sin 3(cos231ππαi i +=+=，所以)3sin 3(cos 2ππαn i n n n +=,要使n z 在圆10||=z 的内部，它的充分必要条件是10,z <，∴100||2<n z ．即100<⋅n n z z ，而)23cos 21(3121n n n n n z z +-=⋅+π，∴100)23cos21(3121<+-+n n n π．又n n n 2123cos 21+-+π221)21(221n n n -=+->+， 能适合300)21(2<-n 的n 只是4,3,2,1,0．在逐个验证这五个点确信都在圆10||=z 的内部，故符合条件的点共有5个．例4 设平面上有点 ,,10P P ，如图所示，其中，线段 ,,,21100P P P P OP ，的长成首项为1，公比为r 的等比数列．（1）若10<<r ，则当∞→n 时，n P 与哪一点无限接近？（2）将（1）中的极限点用Q 表示．若固定21=r 而θ变动时，点Q 所描述的是怎样的曲线？解：（1）)sin (cos θθωi r +=，此时，若将表示点n P 的复数记作n z ，则有nn n z z ω=--1，其中1-z 就是原点O ．于是)1(11112≠--=++++=+ωωωωωωn nn z ．|1||1||||11|11ωωωω-=-=--++n n n r z , 因此，若10<<r ，令∞→n ，则0|11|→--ωn z ，n z 所表示的点与ω-11所表示的点最靠近． （2）ω-=11z ，则有z z 1-=ω，21=r 固定，θ做变动，点ω总在以原点为圆心的圆周上．但因21||=ω，故有2|1|||=-z z ．于是当点ω在以原点为中心，21为半径的圆上，点ω-11相应的在以点34为圆心，32为半径的圆上． 例5 设在复平面上:（1）原点为O ，表示复数Z 的点为A ，点B 由||||OA k AB =，OA AB , 的交角为θ所确定。

试求 表示点B 的复数。

这里k 是实数。

（2）点列 ,,,,,210n A A A A 由下述方式确定：0A 取)0,0(，1A 取)0,1(，),3,2,1(1 =+n A n 由||2||11n n n n A A A A -+=，以及n n n n A A A A 11,-+的夹角θ所定义。

试求被表示为n A 复数n z 。

（3）若（2）中，2πθ=，且记12311-+++=n z z z S ，n z z z S 2422+++= ，将212iS S +化简。

解：（1）将表示B 的复数记作ω，则对有关系AB OC =的点C 表示为复数，就是z -ω，从而)sin (cos θθωi kz z +=-，所以z ik k ]sin )cos 1[(θθω++=。

（2）OQ A A OP A A n n n n ==+-11,所表示的点Q P ,，则用复数分别表示为n n n n z z z z --+-11,。

由θ=∠POQ ，推出n n z z -+12=)sin )(cos (1θθi z z n n +--，因此，数列}{1--n n z z 是首项为10101=-=-z z ，公比为)sin (cos 2θθi +的等比数列。

所以1--n n z z 11)sin (cos 2--+=n n i θθ（n 是正整数）。

所以)sin (cos 21)sin (cos 21θθθθi n i n z n n +-+-=。

（3）数列}{},{212k k z z -仍为等比数列，故可求得ni iS S =+212。

专题二 复数与几何1. 有关轨迹问题：例1 已知一圆B 及圆外一点A ，在圆上任取一点Q ，以AQ 为边按逆时针作正三角形AQP ，求点P 的轨迹.解：如图：建立复平面，设a AB =，圆B 半径为r .P 、Q 分别对应复数为1,z z则r a z =-1.令3sin 3cos 0ππi z +=， 3π=∠QAP ，∴01,01z z z z z z =⋅=故r a z z=-0,∴r z r az z ==-00.故点P 的轨迹是圆，圆心对应的复数 为0az ，即i a a 232+，半径为r . 例2 已知复数2121,,z z z z +在复平面上分别对应点A 、B 、C ，O 为复平面的原点.(1) 若i z 21231+=，向量OA 逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍后与向量OC 重合，求2z ； （2）若)(22121z z z z +=-，试判断四边形OACB 的形状.解：向量OA 逆时针旋转︒90，模变为原来的2倍所得的向量对应的复数为i z 21⋅，而OC 对应的复数为21z z +，故21z z +=i z 21⋅.故=+-=)21(12i z z )21)(2123(i i +-+ 整理可得：i z 21322322-++-=. (2) )(22121z z z z +=-,OC BA ⊥.又 四边形OACB 为平行四边形，∴四边形OACB 为菱形.2. 复数的模与辐角求复数的辐角主值常有两种方法：(1) 利用复数的三角式，应用三角函数的知识求解.(2) 根据复数的几何意义，将问题转化为几何问题求解.例3 设复数z 满足1=z ,求复数2-z 的辐角主值的最大值与最小值。

解：1=z ∴可设)20(sin cos πθθθ<≤+=i z ,θθsin 2cos 2i z +-=-∴.设a z =-)2arg(,由于,1sin 1,02cos ≤≤-<-θθ故232ππ<<a . 令,2cos sin -==θθtga y 则可先求出y 的最值。

由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ得)(2)sin(12y tg y y =-=-+ϕϕθ其中,1)sin(≤-ϕθ ,212y y +≤-∴,即,3333,1422≤≤-+≤y y y 3333≤≤-∴tga ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z . 方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆122=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，复数2-z 对应的向量是AZ .（如图），当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ∆为直角三角形.由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z 例4 设{}{},,1z 12 C z z z z A ∈≤⋂≤+=求A 中辐角主值最大的复数z .解：12≤+z 满足 的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数i i z 222245sin 45cos--=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ⋅-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1.证：必要性：212211z z z z ⋅-=- ,2212211z z z z ⋅-=-∴,故有()()()()2121212111z z z z z z z z ⋅-⋅⋅-=-⋅-.根据互为共轭的复数间关系有：()())1)(1(21212121z z z z z z z z⋅-⋅-=--.化简整理得：212122111z z z z z z zz ⋅⋅+=⋅+⋅222122211z z z z ⋅+=+∴,()()0112221=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。

充分性：以上过程均可逆。

∴ 结论成立。

常用到的与复数的模相关的结论：（1）22||||z z z z ==⋅ （2）||||||2121z z z z ⋅=⋅ )(||||N n z z nn ∈=⇒（3）)0(||||||22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2221221221z z z z z z +=-++例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐︒90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐︒90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。