圆的证明与计算1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D .（1）求证：PB 为△O 的切线；（2）若P A ＝45PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长.第1题图(1)证明：△△△△△△OA △OB △第1题解图△P A △PB △OA △OB △OP △OP △△△OAP △△OBP (SSS)△△△OAP △△OBP △△P A △△O △△△△△△OAP △90°△△△OBP △90°△△OB △△O △△△△△PB △△O △△△△△△Rt△AOP △△OA △PO 2△△45PO △2△10△ △△PO △503△△cos△AOP △AO OP △OD AO △△OD △6△△PD △PO △OD △323.2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE .△1△△△△AC △△O △△△△△2△△cos C △35△AC △24△△△△AE △△.第2题图(1)证明：△AB △AC △AD △DC △△△C △△B △△DAC △△C △△△DAC △△B △△△△E △△B △△△DAC △△E △△AE △△O △△△△△△ADE △90°△△△E △△EAD △90°△△△DAC △△EAD △90°△△△EAC △90°△△OA △△O △△△△△AC △△O △△△△(2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △第2题解图△DA △DC △△CF △12AC △12△△Rt△CDF △△△cos C △CF CD △35△△DC △20△△AD △20△△Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△△△ADE △△DFC △90°△△E △△C △△△ADE △△DFC △△AE DC △AD DF △△AE 20△1620△△△AE △25△ △△O △△△AE △25.3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ．（1）求证：EF △BC ；（2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径．第3题图（1）证明：如解图，连接BE，OE．第3题解图△AB为△O的直径，△△AEB=90°．△AB=BC，△点E是AC的中点，△点O是AB的中点，△OE△BC，△EF是△O的切线，△EF△OE．△EF△BC；（2）解：如解图，连接AD，△AB为△O的直径，△CD =2，tan C =CDAD 2， △AD =4．设AB =x ，则BD =x －2． 在Rt △ABD 中，由勾股定理得AB 2=AD 2+BD 2，即x 2=42+（x －2）2，解得x =5，即AB =5，△△O 的半径为25．4.△△△△△△O △△AB △△△△△ABC △△△△△△△A △△O △△△△OC △△△△△△D △△BC △△△△△△E .△1△△△△△DAC △△DCE △△2△△AB △2△ sin D △13△△AE △△.第4题图(1)证明：△AD △△O △△△△△△DAB △90°.△AB △△O △△△△△△ACB △90°.△△DAC △△ABC .△OC △OB △△△ABC △△OCB △△△△DCE △△OCB △△△DAC △△DCE △(2)解：△AB △2△△AO △1.△sin D △AO OD △13△△OD △3△DC △2△△Rt△DAO △△△△△△△△AD △OD 2△OA 2△22△△△DAC △△DCE △△D △△D △△△DEC △△DCA △△DC DA △DE DC △ △222△DE 2△ △△DE △2△△AE △AD △DE △ 2.5.△△△AB △△O △△△D △△△OA △△△△△△D △CD △OA △△AB △△E △△△O △△F △△BC △△O △△△.△1△△△△CE △CB △△2△△△AF △BF △△△ABF △△△△△3△△CD △15△ BE △10△DE AE △513△△△O △△△.第5题图(1)证明：△△△△△△OB △第5题解图△BC △△O △△△△△OB △BC △△△OBC △90°△△△OBA △△CBE △90°△△OA △OB △△△OAB △△OBA △△△OAB+△CBE △90°△△△CD △OA △△△OAB △△DEA △90°△△△△CEB △△DEA △△△CBE △△CEB △△CE △CB △(2)解：△△△△△△OF △△DA △DO △CD △OA △△AF △OF △△△OA △OF △△△AOF △△△△△△△△△AOF =60°△△△ABF △12△AOF △30°△(3)解：△△△△△△C △CG △AB △△G △△CD △OA △△△ADE △△CGE △90°△△DE AE △EG CE △513△△CE △BC △△BG △EG △12BE △5△△CE △13△△DE △CD △CE △2△△AE △265△△△Rt△ADE △△△△△△△△AD 22DE AE -=△245△△OA △2AD △485△△△O △△△△485.6.△△△△△△ABCD △△△△O △AB △△O △△△△AD △DC △△△△△BA △CD △△△E △△BF △EC △△EC △△△△△△△F △△△BD .△1△△△△△BFC △△BDA △△2△△AE △AO △△cos△ADE △△3△△△2△△△△△△△BC △6△△BF △△.第6题图(1)证明：△AB △△O △△△△△△BDA △90°.△BF △EC △△△BFC △90°△△△△△ABCD △△O △△△△△△△(2)解：△△△△△△OD △AC △第6题解图△△BFC △△BDA △△BF BD △BC AB △△OD △△O △△△△AD △CD △△OD △△△△AC △△AB △△O △△△△△△ACB =90°△△OD △BC △△△EOD △△EBC △△OE BE △OD BC △△AE △AO △△OE △2OB △BE △3OB △△OD BC △ BE OE 23△ △BC △32OD △△BF BD △BC AB △32OD 2OD △34△△△ADB △90°△△△ADE △△BDF △90°△△△BDF △△DBF △90°△△△ADE △△DBF △△cos△ADE △34△(3)解：△BC △32OD △BC △6△△OD △4△△AE △4△BE △12△△△EOD △△EBC △△DE CE △OD BC △△CE △32DE △△△△EDA △△EBC △△E △△E △△△AED △△CEB △△AE CE △DE BE △△DE ·CE △AE ·BE △△DE ·32DE △4×12△△DE △42(△△△△)△△CD △22△△AD △22△△△BFC △△BDA △△CF BC △AD AB △△CF 6△228△△CF △322△△Rt△BCF △△△△△△△△△△BF △BC 2△CF 2△3142.7.△△△AB △△O△△△△△CD △AB △△△△H △△△ AC △△»BD △△△E 作EG △AC 交CD 的延长线于点G ，连（1）求证：△ECF△△GCE；（2）求证：EG是△O的切线；3，AH=3，（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan△G=4求EM的值．第7题图（1）证明：△AC△EG，△△G=△ACG，△AB是△O的直径，AB△CD，△»AD=»AC，△△CEF=△ACD，△△G=△CEF，△△ECF=△ECG，△△ECF△△GCE；（2）证明：如解图，连接OE，第7题解图△GF =GE ，△△GFE =△GEF =△AFH ，△OA =OE ，△△OAE =△OEA ，△△AFH +△F AH =90°，△△GEF +△AEO =90°，△△GEO =90°，△GE △OE ，∵OE 是△O 的半径，△EG 是△O 的切线；（3）解：如解图，连接OC ，设△O 的半径为r ．在Rt△AHC 中，tan△ACH =tan△G =HC AH =43， △AH =3，△HC =4．在Rt△HOC 中，△OC =r ，OH =r －3，HC =4，△（r －3）2+42=r 2，解得r =625， △GM △AC ，△△CAH =△M ，△△OEM =△AHC=90°，△△AHC △△MEO ， △OE HC EM AH =， 即62543=EM， △825=EM ． 8．如图，AB 为△O 的直径，C 、G 是△O 上两点，过点C 的直线CD △BG 交BG 的延长线于点D ，交BA 的延长线于点E ，连接BC ，交OD 于点F ，且BC 平分△ABD ．（1）求证：CD 是△O 的切线；（2）若32=FD OF ，求△E 的度数； （3）连接AD ，在（2）的条件下，若CD =23，求AD 的长．第8题图（1）证明：如解图，连接OC ，第8题解图△OC =OB ，BC 平分△ABD ，△△OCB =△OBC ，△OBC =△DBC ，△△DBC =△OCB ，△OC △BD ，△△BDC =△ECO ，△CD △BD ，△△BDC =90°，△△ECO =90°，△OC 是△O 的半径，△CD 是△O 的切线；（2）解：由（1）知，OC △BD ，△△OCF =△DBF ，△COF =△BDF ，△△OCF △△DBF ， △DB OC FD OF =， △32=FD OF ， △32=DB OC ， △OC △BD ，△△EOC △△EBD ， △EB EO BD OC =， △32=EB EO ，设OE =2a ，则EB =3a ，△OB =a ，△OC =a ，△△OCE =90°，OC =21OE ，△△E =30°；（3）解：△△E =30°，△BDE =90°，△△EBD =60°，∵BC 平分△DBE ，∴△OBC =△DBC =EBD ∠21=30°，△CD =23，△BC =43，BD =6， △32=DB OC ， △OC =4，如解图，过点D 作DM △AB 于点M ，△△DMB =90°，△BD =6，△DBM =60°，△BM =3，DM =33，△OC =4，△AB =8，△AM =AB －BM =5，△△DMA =90°，DM =33，△AD =13222=+AM DM ．9．如图，在△ABC 中，△ACB =90°，O 是AB 上一点，以OA 为半径的△O 与BC 相交于点D ，与AB 交于点E ，AD 平分△F AB ，连接ED 并延长交AC 的延长线于点F ．（1）求证：BC 为△O 的切线；（2）求证：AE =AF ；（3）若DE =3，sin△BDE =31，求AC 的长．第9题图（1）证明：如解图，连接OD ．第9题解图△AD 平分△F AB ，△△CAD =△DAB ，∵OA =OD ，△△DAB =△ODA ，△△CAD=△ODA，△AC△OD，△△ODB=△ACB=90°，△OD△BC，∵OD为△O的半径，△BC为△O的切线；（2）证明：由（1）知OD△AC，△△ODE=△F．∵OD=OE，∴∠OED=∠ODE，△△OED=△F．△AE=AF；（3）解：△AE是△O的直径，△△ADE=90°．△△DAF+△F=90°，△AE=AF，△DF=DE=3．△△ACB=90°，∴△CDF+△F=90°，△△DAF=△CDF=△BDE．在Rt△ADF 中，31sin sin =∠=∠=BDE DAF AF DF ， △AF =3DF =9．在Rt△CDF 中，31sin sin =∠=∠=BDE CDF DF CF ， △131==DF CF ．△AC =AF －CF =8．10．如图，在△ABC 中，AB =AC ，以AB 为直径作△O ，分别交BC 于点D ，交CA 的延长线于点E ，过点D 作DH △AC 于点H ，连接DE 交线段OA 于点F ．（1）求证：DH 是△O 的切线；（2）若AE=AH ，求EF FD 的值； （3）若EA =EF =1，求△O 的半径．第10题图（1）证明：如解图，连接OD ，第10题解图△OB =OD ，△△OBD =△ODB ，△AB =AC ，△△ABC =△ACB ，△△ODB =△ACB ，△OD △AC ，△DH △AC ，△DH △OD ，∵OD 是△O 的半径，△DH 是△O 的切线；（2）解：△△E =△B ，AB =AC ，△△E =△B =△C ，△ED =DC ，△DH △EC ，△EH =CH ，∵AE =AH ，△AE =31AC ，△AO =BO ，OD △AC ，△OD 是△ABC 的中位线，△OD =21AC ， ∴23 AE OD ，△AE △OD ，△△AEF △△ODF ， △23==AE OD EF FD ； （3）解：设△O 的半径为r ，即OD =OB =r ， △EF =EA ，△△EF A =△EAF ，△OD △EC ，△△FOD =△EAF ，则△FOD =△EAF =△EF A =△OFD ，△DF =OD =r ，△DE =DF +EF =r +1，△BD =CD =DE =r +1，在△O 中，△△BDE =△EAB ，△△BFD =△EF A =△EAB =△BDE ，△BF =BD =r +1，△AF =AB －BF =2OB －BF =2r －（1+r ）=r －1， △△BFD =△EF A ，△B =△E ，△△BFD △△EF A ， △FD BF FA EF =， △r r r 111+=-，解得r=251+（负值已舍），△△O的半径为251+．。