第九讲 圆锥曲线一、知识方法拓展： 1、直线系方程若直线1111:0l a x b y c ++=与直线2222:0l a x b y c ++=相交于P ，则它们的线性组合()()1112220a x b y c a x b y c λμ+++++=（,R λμ∈，且不全为0）（*）表示过P 点的直线系。

当参数,λμ为一组确定的值时，（*）表示一条过P 点的直线。

特别地，当0λ=时，（*）式即2220a x b y c ++=；当0μ=时，（*）式即1110a x b y c ++=。

对于12,l l 以外的直线，我们往往只在（*）式中保留一个参数，而使另一个为1. 又若1l 与2l 平行，这时（*）式表示所有与1l 平行的直线。

2、圆锥曲线的第二定义（离心率、准线方程等）圆锥曲线的统一定义为：平面内到一定点F 与到一条定直线l (点F 不在直线l 上）的距离之比为常数e 的点的轨迹: 当01e <<时, 点的轨迹是椭圆， 当 1e >时, 点的轨迹是双曲线， 当 1e =时, 点的轨迹是抛物线， 其中e 是圆锥曲线的离心率ce a=，定点F 是圆锥曲线的焦点， 定直线l 是圆锥曲线的准线，焦点在X 轴上的曲线的准线方程为2a x c=±。

3、圆锥曲线和直线的参数方程圆222x y r +=的参数方程是cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。

椭圆22221x y a b +=的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数，称为离心角。

双曲线22221x y a b -=的参数方程是sec tan x a y b θθ=⎧⎨=⎩，其中θ是参数。

抛物线22y px =的参数方程是222x pt y pt⎧=⎨=⎩，其中t 是参数。

过定点()00,x y ，倾斜角为α的直线参数方程为00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩，t 为参数。

（关注几何意义）。

4、圆锥曲线的统一极坐标方程以圆锥曲线的焦点（椭圆的左焦点、双曲线的右焦点、抛物线的焦点）为极点，过极点引相应准线的垂线的反向延长线为极轴，则圆锥曲线的统一极坐标方程为1cos epe ρθ=-，其中e 为离心率，p 是焦点到相应准线的距离。

二、热身练习：1、（07武大）如果椭圆()222210x y a b a b +=>>那么双曲线22221x y a b -=的离心率为（ ） （A（B ）2（C（D ）54【答案】C【解析】圆锥曲线的离心率c e a=， 椭圆中：222c a b =-∴222234a b e a -==，得224a b = 双曲线中：22222254c a b e a a +===，得e =C 。

2、（07武大）点P 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>上的一点，12,F F 为椭圆两焦点，那么12F P F P ⋅的最小值为（ ）（A ）22a b - （B ）2b（C ）222a b -（D ）222b a -【答案】D【解析】本题可以直接用坐标法来处理，解答如下：设点()[]()()()12,,,:,0,:,0P x y y b b F c F c ∈--坐标为∵∴()()2222222222122=,,2,a b F P F P x c y x c y x y c y b b a b b-⎡⎤⋅+⋅-=+-=-+∈-⎣⎦ 所以答案选择D 。

3、（11复旦）椭圆2212516x y +=上的点到圆()2261x y +-=上的点距离的最大值是（ ）（A ）11（B（C ）（D ）9【答案】A【解析】由平面解析几何的知识，椭圆2212516x y +=上的点到圆()2261x y +-= 上的点距离的最大值=椭圆上的动点到圆心的最大距离+圆的半径。

设椭圆上点的坐标()5cos ,4sin P θθ，圆的圆心()0,6O ，则：PO ===10≤=（当sin 1θ=-时取等号）∴所求距离的最大值=10+1=11。

4、（11卓越）已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，ABC ∆三个顶点都在抛物线上，且ABC ∆的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4200x y +-=，则抛物线方程为（ ） （A ）216y x = （B ）28y x =（C ）216y x =-（D ）28y x =-【答案】A【解析】设抛物线方程为px y 22=，则⎪⎭⎫⎝⎛0,2p F ，联立直线与抛物线方程消去y 得： ()02008082=++-x p x ，88021p x x +=+，122py y +=- 从而根据点⎪⎭⎫ ⎝⎛--2,88011p p A 在抛物线px y 22=上得：880222p pp +=⎪⎭⎫⎝⎛- 解得：8=p 或0（舍去），故选A 。

三、真题精讲：精选近年真题中较典型的题目，考查常用知识方法的例题，5-6道，中等与较难的比例为2：1。

例1、（11卓越）已知椭圆的两个焦点为()11,0F -、()21,0F，且椭圆与直线y x =切。

（1）求椭圆的方程；（2）过1F 作两条互相垂直的直线12,l l ，与椭圆分别交于P 、Q 及M 、N ，求四边形PMQN 面积的最大值与最小值。

【解析】（1）由题知：221a b =+ 所以可设椭圆方程为222211x y b b+=+∵椭圆与直线y x =∴方程组222211x y b b y x ⎧+=⎪+⎨⎪=-⎩只有一个解，即方程())22242211230b x b x b b +-+-++=有两个相等的实数根所以)()()()222426214212380b b b b b b ⎡⎤∆=-+-+-++=-=⎣⎦解得21b =所以椭圆方程为2212x y += （2）当PQ 斜率不存在（或为0）时，1=22PMQN S PQ MN ⋅=四边形 当PQ 斜率存在（且不为0）时，设为k ，则MN 的斜率为1k-（0k ≠） 所以PQ 的方程为y kx k =+设PQ 与椭圆的交点坐标()()1122,,P x y Q x y 、，联立方程2212y kx k x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩∴12x x 、为方程()2222214220k x k x k +++-=的根∴12PQ x =-==同理MN =所以42242421211=44225224104PMQN k k k S PQ MN k k k k ⎛⎫++⋅==- ⎪++++⎝⎭四边形 22114124410k k ⎛⎫ ⎪=- ⎪⎪++⎝⎭因为221448k k +≥，当且仅当21k =时等号成立。

所以2211164,21294410k k ⎛⎫ ⎪⎡⎫-∈ ⎪⎪⎢⎣⎭⎪++⎝⎭综上所述，PMQN S 四边形的面积的最小值为169，最大值为2。

例2、（11华约）双曲线()222210,0x y a b a b -=>>，是左、右焦点，P是右支上任一点，且12212,3F PF F PF S π∆∠==。

（1） 求离心率e ；（2） 若A 为双曲线左顶点，Q 为右支上任一点，是否存在常数λ使22QAF QF A λ∠=∠恒成立？【解析】（1）在12PF F ∆中，有()()1222212121222cos 3PF PF a F F PF PF PF PF π⎧-=⎪⎨=+-⋅⎪⎩双曲线定义余弦定理 ∴()22212121221cos 43F F PF PF PF PF c π⎛⎫=-+⋅-= ⎪⎝⎭∴22212444PF PF c a b ⋅=-=∴1222121sin 23PF F S PF PF π∆=⋅== 所以223b a =，2c a ==∴2ce a== （2）由（1）知双曲线的方程为：222213x y a a-=不妨先设2QF x ⊥轴，此时Q 点的坐标为()2,3a a∴223AF a QF ==，2QAF ∆为等腰直角三角形，2212QAF QF A ∠= 下面证明12λ=。

令()sec tan Q a ϕϕ则2tan QF A ∠==2tan QAF ∠==∴()()()2222sec1sec1tan22sec2sec4sec13tan1QAFϕϕϕϕϕϕϕϕ++∠===-+++--⎝⎭()()()2sec1tan2sec1sec2QF Aϕϕϕϕ+===∠-+-所以，存在常数12λ=，使2212QAF QF A∠=∠恒成立。

注：设P是椭圆22221x ya b+=（或是双曲线22221x ya b-=）上一点，12F PFθ∠=（12F F、分别是左右焦点），则1222tan cot22PF FS b bθθ∆⎛⎫= ⎪⎝⎭或。

例3、（08武大）已知A、B两点在椭圆22:1xC ym+=()1m>上，直线AB上两个不同的点P、Q满足::AP PB AQ QB=，且P点坐标为()1,0。

（1）若2m=，求证：点Q在椭圆准线上；（2）若m为大于1的常数，求点Q的轨迹方程。

【解析】（1）证明：设()()()332211,,,,,yxQyxByxA若xAB⊥轴，则1::==QBAQPBAP，即QP,两点重合，与已知矛盾；设kKAB=，则3223121,1xxkQBxxkAQ-+=-+=当2=m时，则()0,1P为椭圆:C1222=+yx的右焦点；则2211222,222xexaBPxexaAP-=-=-=-=；QBAQPBAP::=3122322112221222xxkxxxkx-+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-+⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∴其中由图形可知：()()03132>-⋅-xxxx，化简可以得到23=x，即点Q在准线上；（2）解：设()1:-=x k y l AB ，则()()()()()()1,,1,,1,332211---x k x Q x k x B x k x A()()11111221221-+=-+-=x k x k x AP ，同理1122-+=x k PB ；2321x x k QB -+=，1321x x k AQ -+=；QB AQ PB AP ::=()()()()()()132223121111x x x k x x x k --+=--+∴即()()()()13223111x x x x x x --=-- 由图像()()()()0,011132321>--<--x x x x x x 于是：()()()()011132231=--+--x x x x x x 整理得到：()()222121213-++-=x x x x x x x ； 联立()⎪⎩⎪⎨⎧-==+1122x k y y m x ，消去y 得：()()01212222=-+-+k m x mk x mk()2221222111,12mk k m x x mk mk x x +-=+=+()()()m m k m k m k m k m k k m x x x x x x x =-++-+-=-++-=∴21214112222222222121213从求解过程中发现，不论Q 点的纵坐标3y 为何值，点Q 的横坐标均为m ； 故：Q 点的轨迹方程为m x =；例4、、（10武大）对于抛物线24y x =上的两相异点A 、B ，如果弦AB 不平行于y 轴且其垂直平分线交x 轴于点P ，那么称弦AB 是点P 的一条相关弦。