正视图侧视图俯视图玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{|20}A y y =->，集合2{|20}B x x x =-≤，则A B 等于（A ）[0,)+∞（B ）(,2]-∞（C ）[0,2)(2,)+∞（D ）∅（2）若复数i12ia +-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则实数a 的值为 （A ）2 （B ）15 （C ）12- （D ）25-（3）若2tan =α，则α2sin 1的值等于（A ）45- （B ）45 （C ）54-（D ）54（4）若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线， 则a b +=（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（5）下列命题中，真命题的个数有 ①21,04x R x x ∀∈-+≥； ②10,ln 2ln x x x∃>+≤； ③“a b >”是“22ac bc >”的充要条件； ④22x x y -=-是奇函数.（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个（6）一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的全面积是 （A ）624+（B ）64+（C ）224+（D ）24+（7）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12F F A 、，是双曲线渐近线上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1AF 的距离为113OF ，则渐近线的斜率为（AB或C ）1或1-（D或 （8）在ABC ∆中，1AB =，3AC =，D 是BC 边的中点，则AD BC ⋅=（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1（9）已知函数()1,021,0.x x f x x ->=+≤⎪⎩，若关于x 的方程()20f x x k +-=有且只有两个不同的实根，则实数k 的取值范围为 （A ）(]1,2- （B ）(](),12,-∞+∞ （C ）(]0,1 （D ）[)1,+∞（10）6(42)xx -+的展开式中的常数项是 （A ）1（B ）6（C ）15（D ）20（11）数列{}n a 的首项为1，数列{}n b 为等比数列且1n n na b a +=，若10112b b ⋅=，则21a = （A ）20（B ）512（C ）1013（D ）1024（12）设函数()f x 满足()(),f x f x -=且当0x ≥时，1()()4xf x =，又函数()sing x x x π=，则函数()()()h x f x g x =-在1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的零点个数为（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡上. （13）抛物线2y x =与直线20x y -+=所围成的图形的面积为．（14）从某学习小组10名同学中选出3人参加一项活动，其中甲、乙两人都被选中的概率是．（15）已知抛物线24x y =的焦点为F ，准线与y 轴的交点为,M N 为抛物线上的一点，且满足NF MN λ=，则λ的取值范围是． （16）已知三棱锥ABC D -的顶点都在球O 的球面上,,4=AB ,3=BC ,BC AB ⊥,12=AD 且AD ⊥平面ABC ,则三棱锥BOD A -的体积等于．468三．解答题：本大题共6小题，共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（12分）在ABC ∆中，角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，sin cC =， （Ⅰ）求A 的大小；（Ⅱ）若6=a ，求b c +的取值范围.（18）（12分）某地区因干旱缺水，政府向市民宣传节约用水，并进行广泛动员.三个月后，统计部门在一个小区随机抽取了100户家庭，分别调查了他们在政府动员前后三个月的月平均用水量（单位：吨），将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）（Ⅰ）已知该小区共有居民10000户，在政府进行节水动员前平均每月用水量是48.9610⨯吨，请估计该小区在政府动员后比动员前平均每月节约用水多少吨；（Ⅱ）为了解动员前后市民的节水情况，媒体计划在上述家庭中，从政府动员前月均用水量在[12,16)范围内的家庭中选出5户作为采访对象，其中在[14,16)内的抽到X 户，求X 的分布列和期望.（19）（12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点M 是A 1B 的中点，点N 是B 1C 的中点，连接MN ．（Ⅰ）证明：MN //平面ABC ；（Ⅱ）若AB =1，AC =AA 1=3，BC =2， 求二面角A —A 1C —B 的余弦值的大小．（20）（12分）已知(,0)F c 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的右焦点，圆222:()F x c y a -+=与x 轴交于E D 、两点，B 是椭圆C 与圆F 的一个交点，且动员后 动员前 C11BD =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）过点B 与圆F 相切的直线l 与C 的另一交点为A ，且ABD △的面积为13，求椭圆C 的方程.（21）（12分）设()ln(1)f x x ax =++（a R ∈且0a ≠）． （Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若1a =，证明：(0,5)x ∈时，9()1xf x x <+成立．选考题（本小题满分10分）请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. （22）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为4cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，得曲线2C 的极坐标方程为6sin 8cos 0ρθθ+-=（0ρ≥）． （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）直线l ： 232x ty t λ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩ (t 为参数)过曲线1C 与y 轴负半轴的交点，求与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程.（23）选修4-5：不等式选讲 已知()|2|f x x =-（Ⅰ）解不等式：()30x f x +>；（Ⅱ）对任意()3,3x ∈-，不等式()f x m x <-成立，求实数m 的取值范围.玉溪一中高2014届高三第一次月考数学试卷参考答案（理科）一、选择题：1、A2、A3、B4、C5、C6、A7、D8、A 9、A10、C 11、D 12、C 二．填空题： 13. 9214、15115、]1,22[16、12 三．解答题：（17）（12分）解：sin sin c aC A ==从而sin A A =，tan A =0A π<<，∴3A π=．．．．．．．．．．．．．．．．．5分（Ⅱ）法一：由已知：0,0b c >>，6b c a +>= 由余弦定理得：222362cos()33b c bc b c bc π=+-=+-22231()()()44b c b c b c ≥+-+=+（当且仅当b c =时等号成立） ∴（2()436b c +≤⨯，又6b c +>， ∴612b c <+≤，从而b c +的取值范围是(6,12].．．．．．．．．．．12分法二：由正弦定理得：6sin sin sin3b cB Cπ===.∴b B =，c C =，2sin )sin sin()3b c B C B B π⎤+=+=+-⎥⎦31sin 12cos 22B B B B ⎫⎫==+⎪⎪⎪⎪⎭⎝⎭12sin 6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. ∵5666B πππ<+<，∴612sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即612b c <+≤（当且仅当3B π=时，等号成立） 从而b c +的取值范围是(6,12]．．．12分（18）（12分）解：（Ⅰ）根据直方图估计该小区在政府动员后平均每户居民的月均用水量为 (10.01530.03050.10570.20090.120110.030)2 6.88⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=（吨）于是可估计该小区在政府动员后比动员前平均每月可节约用水4448.9610 6.8810 2.0810⨯-⨯=⨯（吨）………………………………………6分（Ⅱ）由动员前的直方图计算得月平均用水量在[12,14)范围内的家庭有6户，在[14,16)范围内的有3户，因此X 的可能取值有0,1,2,3，565961(0)12621C P X C ====， 143659455(1)12614C C P X C ====， 2336596010(2)12621C C P X C ====， 323659155(3)12642C C P X C ====， 所以X∴10123211421423EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……………………………12分(19)（12分）（Ⅰ）证明：连接AB 1，∵四边形A 1ABB 1是矩形，点M 是A 1B 的中点， ∴点M 是AB 1的中点；∵点N 是B 1C 的中点， ∴MN //AC ，∵MN ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ， ∴MN //平面ABC ．…………………6分（Ⅱ）解 ：（方法一）如图，作1AD A C ⊥，交1A C 于点D ，由条件可知D 是1A C 中点，连接BD ，∵AB =1，AC =AA 1=3，BC =2， ∴AB 2＋AC 2= BC 2，∴AB ⊥AC ，∵AA 1⊥AB ，AA 1∩AC =A ，∴AB ⊥平面11ACC A∴AB ⊥A 1C , ∴A 1C ⊥平面ABD ，∴1BD AC ⊥∴ADB ∠为二面角A —A 1C —B 的平面角，在111AA AC Rt AA C AD A C ⋅∆===中， 12B C B A== ， 16A C =， 在等腰1CBA ∆中，D 为1A C中点，2BD =， ∴ABD ∆中，90BAD ∠=︒， ABD Rt ∆中，tan AB ADB AD ∠==， ∴二面角A —1A C —B 的余弦值是515…………12分 （方法二） 三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，∴11AB AA AC AA ⊥⊥，，1AB =，AC =2BC =， ∴222AB AC BC +=，∴AB AC ⊥C1C1如图，建立空间直角坐标系，则A(0,0,0), B(0,1,0), C(3,0,0), A1(0,0,3)，如图，可取)0,1,0(==为平面1AAC的法向量，设平面1A BC的法向量为(,,)b m l n=，则10,0,10BC b AC b BC⋅=⋅==-又，）,1AC=，则由0,BC b⋅=,01=⋅A又,ll n m⎧-=⎪∴∴===，不妨取m=1，则b=，可求得cos,a b<1A AC BD∴--二面角…12分（20）解：（Ⅰ）由题意，(0,)B b∵BD=，90EBD∠= ，得12BE ED a==，由2222()BE c a b a=-+=，得2a c=，即椭圆C的离心率12e=………（4分）（Ⅱ）C的离心率12e=，令2a c=，b=，则2222:143x yCc c+=直线l BF⊥，设:l y x=+由2222143x y c c y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得24(,)13A c -，AB =又点(3,0)D c 到直线l 的距离30332c cd c -+==，ABD ∆的面积12S AB d =⋅132c =⋅==，解得c =故椭圆22:186x y C +=………（12分）(21)（12分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为(0,)+∞，21(1)1()(1)ax a x f x ax a x x-++'=+-+=，（1）当01a <<时，()0f x '>解得01x <<或1x a >；()0f x '<解得11x a<< 所以函数()f x 在(0,1)，1(,)a+∞上单调递增，在1(1,)a 上单调递减；（2）当1a =时，()0f x '≥对0x >恒成立，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（3）当1a >时，()0f x '>解得1x >或10x a <<；()0f x '<解得11x a<< 所以函数()f x 在1(0,)a ，(1,)+∞上单调递增，在1(,1)a上单调递减. ……（6分）（Ⅱ）证明:不等式等价于2ln 201xx x x -++<+因为1x >12x +=<，因此221ln 2ln 2112x x x x x x x x x +-++<-++++ 令21()ln 212x x g x x x x +=-+++，则322352122()(1)x x x g x x x --++'=+令3235()2122h x x x x =--++得：当1x >时295()4022h x x x '=--+<， 所以()h x 在(1,)+∞上单调递减，从而()(1)0h x h <=. 即()0g x '<， ∴()g x 在(1,)+∞上单调递减，得:()(1)0g x g <=，∴当1x >时，212()21xf x x x <-+（12分）（22）解：（Ⅰ）曲线1C 的普通方程为：221169x y +=； ……………… 2分由6sin 8cos 0ρθθ+-=得26sin 8cos 0ρρθρθ+-=，∴曲线2C 的直角坐标方程为：22860x y x y +-+= ……………… 4分 (或：曲线2C 的直角坐标方程为：2(4)(3)25x y -++= )（Ⅱ）曲线1C ：221169x y +=与y 轴负半轴的交点坐标为(0,3)-， 又直线l 的参数方程为：232x t y t λ=+⎧⎪⎨=-+⎪⎩，∴02332tt λ=+⎧⎪⎨-=-+⎪⎩，得34λ=， 即直线l 的参数方程为：23324x ty t =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩得直线l 的普通方程为：34120x y --=， …………… 6分 设与直线l 平行且与曲线2C 相切的直线方程为：340x y k -+= ……… 7分 ∵曲线2C 是圆心为(4,3)-，半径为5的圆，得121255k++=，解得1k =或49k =- ……………… 9分故所求切线方程为：3410x y -+=或34490x y --= …………… 10分 (23) 解：（Ⅰ）不等式为|2|30x x -+>当2x ≥时，不等式为2230x x -+>，即2(1)20x -+>，此不等式恒成立，故2x ≥， …………… 2分当2x <时，不等式为2230x x -++>，得13x -<<，故12x -<<， ∴原不等式的解集为：{1}x x >- …………… 4分 （Ⅱ）不等式()f x m x <-为|2|x x m -+< 由于2y x x =-+(2)(0)(2)(02)(2)(2)x x x x xx x x x ---≤⎧⎪=--+<≤⎨⎪-+>⎩ 22(0)2(02)22(2)x x x x x -+≤⎧⎪=<≤⎨⎪->⎩…………… 7分 作出函数|2|y x x =-+的图象如右，当33x -<<时，228x x ≤-+<，所以对任意()3,3x ∈-，不等式()f x m x <-成立，则8m ≥. …… 10分。