微分几何
一、判断题
1、两个向量函数之和的极限等于极限的和（√）
2、二阶微分方程22A(,)2B(,)B(,)0u v du u v dudv u v dv ++=总表示曲面上两族曲线.（?）
3、若4()s t 具有固定长的充要条件是对于()s t 的微商与()s t 平行（5、等距变换一定是保角变换6、连接曲面上两点的所有曲线段中，测地线一定是最短的7、常向量的微商不等于零（89()s t 上一点（10、曲线上的正常点的切向量是存在的（11、曲线的法面垂直于过切点的切线（12、单位切向量的模是1（131415二、16、曲面上的一个坐标网，其中一族是测地线
17、螺旋线x=2cost,y=2sint,z=2t,在点（1，0，0）的法平面是___y+z=0,. 18.设给出1
c 类曲线:)(t r r =,.b t a ≤≤则其弧长可表示为⎰'b
a dt t r )(
19、已知33{cos ,sin ,cos 2}r x x x =，02x π
<<
，则α=1
{3cos ,3sin ,4}5
x x --，β={sin ,cos ,0}x x ，
γ=1{4cos ,4sin ,3}5x x --，κ=
625sin 2x ，τ=8
25sin 2x。
20、曲面的在曲线，如果它上面每一点的切点方向都是渐近方向，则称为渐进曲线。
21、旋转面r ={()cos ,()sin ,()t t t ϕθϕθψ},他的坐标网是否为正交的?____是_____(填“是”或“不是”).
22、过点平行于法方向的直线叫做曲面在该点的_____法线_____线. 23.242526.27.28.29{cos r u v =第二基本形式为
21236
u -+:du 的法曲率
241517-30同或对称。
3132.一个曲面为可展曲面的充分必要条件为此曲面为单参数平面族的包络
三、综合题
33．求曲线t te z t t y t t x ===,cos ,sin 在原点的密切平面，法平面，切线方程。
解：},,cos ,sin {t te t t t t r =
在原点处0=t
在原点处切平面的方程为:
即0=-+Z Y X 法平面的方程为: 即0=+Z Y 切线方程为 即
1
10Z Y X == 34、求曲面33z x y =-的渐近曲线。
则 u r {0,1,v r =-4||9u v u v r r n r r u ⨯=
=⨯uu r =0uv r =，{0,0,}vv r v =-
4
4
6991
uu u L n r u v =⋅=
++，0uv M n r =⋅=，4
9vv N n r u =⋅=
因渐近曲线的微分方程为 即udu 0udu vdv ±=
∴ 3322
()u v -=+35.解:r =r E u =36.解: =},sin ,sin cos ,cos {cos θϕθϕθ 又由于 所以 因而得到
37.如果曲面的第一基本形式,)
(2
222
22
c v u dv du ds +++=计算第二类克力斯托费尔符号.
解:因为
222)(1c v u E ++=
,0=F ,2
22)
(1
c v u G ++= 所以 所以
,22221
12c v u v E E v ++-==
Γc v u u G G u ++-==Γ2
22
1222, 38解E u-v-39曲线Γ曲线Γ12
12du du r r ds ds
α=+ 记 a 22,i j
ij i j
da a du =+Γ∑ α沿Γ平行移动0α=⇔ 120,0Da Da =
⇔ Γ为测地线
40.求证在正螺面上有一族渐近线是直线,另一族是螺旋线. 解:因为},,sin ,cos {bv v u v u r =
由于,0==N L 所以,正螺面的曲纹坐标网是渐进网,则一族渐近线是 这是螺旋线,另一族渐近线是 这是直线.
41、设空间两条曲线Γ和C 的曲率处处不为零，若曲线Γ和C 可以建立一一 对应，且在对应点的主法线互相平行，求证曲线Γ和C 在对应点的切线夹固定角.
证 设 :()r r s Γ=，:()r r s **Γ=，则由//ββ*知ββ*=±，
从而0αβ*
⋅=，0αβ*
⋅=，
()0d ds ds ds
αακβακαβ**
***⋅=⋅+⋅= ∴ constant αα*⋅=，即 cos ,C αα*=
42证明:所以r 因为r 即)(t e 43求证Γ是一条平面曲线证:(,)r r u v =，Γ,r n θ=，则cos r n θ⋅=，两边求导，得d 0d n
n r
s
τβ⋅+=， 由Γ为曲率线知d //d n r ，即
d d //d d n r s s α=，因此d d 0d d n n r n r r s s
τβκ⋅=⋅=-⋅=. 若0τ=，则Γ为平面曲线；
若0n β⋅=，则因Γ为曲面∑上的一条曲率线，故d d n n r κ=.而
0n n n κκβκβ=⋅=⋅=，所以d 0n =，即n 为常向量.于是Γ为平面曲线.
44、求圆柱螺线},sin ,cos {bt t a t a t R =）
（在3
π
=t 处的切线方程。
解},
,cos ,sin {)(},,sin ,cos {)(b t a t a t r bt t a t a t -='=r 3
π
=
t 时，有}.,2,23{)3(3,23},2{3b a
a r
b a -
='=⎪⎭
⎫ ⎝⎛πππ
πr 所以切线的方程为 即
45解：'r r 从t=0=
46解：因而
47、曲面上一点（非脐点）的主曲率是曲面在点所有方向在法曲率中的最大值和最小值。
证明设，由欧拉公式知和可以交换坐标如果),(2121v u K K k k >< 于是 因此
同样又可以得到 由此 即
这就是说，主曲率12,k k 是n k 法曲率的最大值和最小值。
48、曲面的第一基本形式为22)()(dv u G du u E I +=。
求证：（1）u-曲线是测地线；
（2）
049、R I 对于空间合同变换的组合来说是单位元素；
（4）空间任何合同变换一定有逆变换，而且这个逆变换还是空间合同变换。
50、沿曲线面上一条曲线平行移动时，保持向量的内积不变。
证明：沿曲线（C ）给出两个平行的向量场，在曲面上取正交坐标网（则,,21u u ） 所以
51、设曲线()t r r C =:)(是具有周期ω的闭的正规平面曲线，如果把参数换成自然参数，则它的周
期是()
,0
/
dt t L r ⎰
=ω
L 的闭曲线的周长.
证明()()dt t r t s t /
0⎰+=+ω
ω
=()(),/
/
dt t r dt t r t ⎰
⎰
++ω
ω
ω
因为
()()t r t r =+ω，
s (52a z 0•
z 即
()()()⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧=••0,,000s s s y x a ，
这表示()
即与轴垂直于,0z a s 方向l 正交。
53、单位球面上的曲线()C ，若,0≠k g 则
其中1±=ε.
证明设单位球面上的曲线()()由于.:s r r C =
12=r ， 从而有
a r •=0，
所以 即
1+kr -
•
k
k
若令则有
k
k
•
所以
=k g。