第三章习题答案1.分别用梯形公式、Simpson公式、Cotes公式计算积分1,I=⎰并估计误差。

解：1）用梯形公式有：()()110.51[10.5]10.42678242f f⎛-≈+=+≈⎝⎭⎰()()()333333220.512.6042107.36571012124Tb aE f fηηη-----⎛⎫''=-=--=⨯≤⨯⎪⎝⎭事实上，()()()()()()110.430964410.50.510.4267767210.50.510.00418772Tf x II f fE f f f===-≈+=⎡⎤⎣⎦-∴=-+=⎡⎤⎣⎦⎰⎰2）Simpson公式()110.53111410.43093 642122f f f⎛-⎡⎤⎛⎫⎛⎫≈++=+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭⎰[]()()44744211111522 1.1837710180218028Sb a b aE f fηη--⎛⎫--⎪⎛⎫--⎛⎫=-=--≤⨯⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎝⎭3122()''()48T f fb aE事实上，()()()10.510.50.510.5410.000030462SE f f f f-⎡+⎤⎛⎫=-++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰3）由Cotes公式有：()() ()111537270.5321232719084814.9497525.2982210.3923029.9332670.43096180f f f f f-⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈++++⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=++++=⎰15732127)18088()6116211294522 2.697410945464C E f η--⎛⎫⨯ ⎪⎛⎫=-⨯-≤⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭7(6)945*42()()82Cf b aEf事实上，()0.0000003C E f =2．证明Simpson 公式()2.8具有三次代数精度。

证明：()()()()()()333344444224446243baa b a b f x x f a a f f b bxb a f x dx b a a b b a f a f f b ++⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-===-⎡+⎤-⎛⎫=++=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰b a令，则，，左边右边故该公式的代数精度是。

而当()4f x x =时左侧：()()45515b b f x dx x dx b a a a ==-⎰⎰ 右侧：()()()44455432234446268552232a b b a a b b a f a f f b a b b a a b a b a b ab ⎡⎤+-⎡+⎤-⎛⎫++=+⨯+⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦---+-=左侧不等于右侧。

所以Simpson 具有三次代数精度.3.分别用复化梯形公式和复化公式Simpson 计算下列积分.(1)21,804x dx n x =+⎰，（3）,4n =⎰，6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ解：（1）用复化梯形公式有：10188b a h n --===，()()[]12345672128888888102(0.0311280.0615380.0905660.117650.142350.164380.18361)0.20.111416n h T f a f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⨯+++++++=由复化Simpson 公式有：()()()()811123135702()146444488881020.0615380.117650.1643840.0311280.0905660.412350.183510.2240.11157S f f f f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++++++⎢⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⨯+++⨯++++⎡⎤⎣⎦=()()12112,100x e dx n x--=⎰解：删去 解（3）：,4n =⎰由复化梯形公式有：()()()()()()()()4912,412192357213217.2277b a h n T f f f f f --====⨯++++=++⨯≈由复化Simpson 公式有：()()()()()()()()414192543762132417.32203S f f f f f =⨯++++=⨯++≈（4）解：6,sin 4602=-⎰n d ϕϕπ由复化梯形公式：0356219.1]36362)0([36)]()(2)([25,4,3,2,1,,3660651516=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++==+==-=-=∑∑==πππϕϕππf k f f b f f a f h T k kh a n a b h k k k k由复化Simpson 公式：035763886.1,035834878.13672365,4,3,2,1,0,2,,3231456215216664==⎪⎭⎫⎝⎛+==+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=∑∑=+=+S k f H k hf h H H T S k kk k k πππϕϕϕ4．给定求积节点012113,,,424x x x ===试推出计算积分()10f x dx ⎰的插值型求积公式，并写出它的截断误差。

解：()10120113424f x dx A f A fA f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰10011013224,11133424413144111332424x x A dx x x A dx ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭==-⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰考虑到对称性，有20A A =，于是有求积公式()121311[]34432f x dx f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰由于原式含有3个节点，故它至少有2阶精度。

考虑到其对称性，可以猜想到它可能有3阶精度。

事实上，对3f x =原式左右两端相等：333130213111[]344324x dx ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰ 此外，容易验证原式对4f x =不准确，故所构造出的求积公式有3阶精度。

5．给定积分2sin I xdx π=⎰。

（1） 利用复化梯形公式计算上述积分值，使其截断误差不超过3110;2-⨯ （2） 取同样的求积节点，改用复化Simpson 公式计算时，截断误差是多少？ （3） 如果要求截断误差不超过610-，那么使用复化Simpson 公式计算时，应将积分区间分成多少等分？解：(1) 33''''22()()()()1296nTb a E f f f n n πηη-=-=- ()f x =sin x ,'''()cos ,()sin f x x f x x ==-∴3322()sin ,0,96962n TE f nn πππφη⎡⎤=≤∈⎢⎥⎣⎦当误差3()0.510nT E f -≤⨯时，n ≥25.6, 所以取n =26。

25h :h=[(0)()2()]52221T f f f x n k k ππ⇒=++∑=则12325{012[sin()sin()sin()...sin()]}25252525252πππππ=⨯++++++0.9465= （2）1S 4''''42E []()()()sin()n 180218022nh f f ππηη=-=-⨯⨯b-a 11S 44922E []()(26)()710n 18022n 18022n f n ππππ-≤⨯⨯=⇒⨯⨯=⨯则 1S 462(3)E []()10n 18022nf ππ-≤⨯⨯≤ 7.6=8n n ≥⇒则6．用Romberg 求积方法计算下列积分，使误差不超过510-。

（11x e dx -⎰；（2）20sin x xdx π⎰；（3）3⎰;(4)12041dx x +⎰解（1）：dx ex⎰-12π112111212422()[0,1]:(0)(1)]0.771743332()[01]:110.68439656,()0.728069946,2210.7135121533()[01]:131]0.705895578,()0.442a T f f b H f T T H S T T c H f f T T H =+=⎛⎫===+= ⎪⎝⎭=-=⎛⎫⎛⎫=+==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在上用梯形公式，二等分，四等分716982762,101052.3,713271669.0141144,713271674.0141144713272634.03134,714200166.0)(21711417571.0]87858381[412]10[)(713272026.0141144,713287034.0313457111323312242224844484122221142--<⨯=-=---==---==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==---==-=C R C C R S S C T T S H T T f f f f H d S S C T T S π八等分：，将计算可以停止。

解（2）：dx x x ⎰π20sin956833201.5)(21,9788642.6242:]20[)(018385352.7141144,579736267.63134934802201.4)(21,869604401.9]232[:]20[)(03134,0)(21,0)(2:]20[)(0)]2()0([22:]20[)(448341222212422242212111211-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+==---=-=-=-=+=-=-=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+====+=∑=H T T i f H ，d S S C T T S H T T f f H ，c T T S H T T f H ，b f f T ，a i πππππππππππππππ八等分将四等分将二等分将上用梯形公式得在283132311.6141144,284030929.63134202231497.6)(21,447629792.6484]20[)(266954014.6141144278695129.6141144,2975102.6313442822481688816708132331224222484-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=---=-=---=-=-=∑=S S C T T S H T T i f H ，e C C R S S C T T S i ππππ十六等分将581116266125455244844483163381623222163264323232643103215255124444243833482162281632161616321501614244123433210105.9Y -Z 283185304.6Y 141Y 144Z ,283185304.6X 141X 144Y 283185304.6R 141R 144,283185304.6141144283185292.6141144,283188551.63134278137899.6)(21,293289853.6163216:]20[)(283185209.6141_144283185288.6141144,283185356.6141144283184528.6141144,283237428.63134262985945.6)(21,323740394.68168]20[)(283266463.6141144,283202742.6141144--==<⨯=-=---=-=---=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=--=-=---=-=---=-=---=-=-=-=+=-=⎪⎭⎫⎝⎛+=-=---=-=---=∑∑X C C R S S C T T S H T T i f H ，g X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R i i ππππππππ六十四等分将三十二等分将（3）解:⎰+321dx x x20762073.10141144,20722396.10313426636719.10][21,08893752.10438343:]3,0[)(20457443.10141144,20127249.10313444379685.10)[21,71622377.9]4943[23:]3,0[)(1517434.103134,17136992.11)(21,11249037.8233:]3,0[)(23024947.14)]0()3([23]30[)(22422248444830412222124222421211211=---==-==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==---==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛==+=∑=S S C T T S H T T k f H d S S C T T S H T T f f H c T T S H T T f H b f f T ，a k 八等分将四等分将二等分将上用梯形公式在计算可以停止三十二等分将十六等分将56111525512444424383348216228163216161632150161424412343324282248168708816813233110104.1,20759219.1014114420759219.10141144,20759219.1014114420759223.10141144,20759091.10313421126074.10)(21,20025127.10163323163:]30[)(20759364.10141144,20759393.1014114420759435.10141144,2075712.1031342222702.10)(21,1781732.108316383:]30[)(20766908.101411442--==<⨯=-=---==---==---==---==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛+==---==---==---==-==+==⎪⎭⎫ ⎝⎛+==---=∑∑X Y X X Y R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，f R R X C C R S S C T T S H T T i f H ，e C C R i i 解（4）:dx x ⎰+10214141585784.3141144141594094.3141144,141592502.33134148988495.3)(21,146800518.348141:]10[)(142117647.3141144,141568627.33134131176471.3)(21,162352941.3]4341[21:]10[)(133333333.33134,1.3)(21,2.321:]10[)(3)]0()1([21:]10[)(13233122422248444834122221242224212111211=---==---==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛+==---==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛==-==+==⎪⎭⎫⎝⎛==+=∑=C C R S S C T T S H T T i f H ，d S S C T T S H T T f f H ，c T T S H T T f H ，b f f T ，a i 八等分将四等分将二等分将上用梯形公式在7816880281684842234242121334411()[01]:1113.14289473,() 3.1409416138168241413.141592652, 3.14159266233414141413.141592639, 3.141592666414141416i e i H f T T H S T T C S S R C C X R R X R =⎛⎫=+==+= ⎪⎝⎭=-==-=--=-==-=-----=∑，十六等分65.881010,--⨯<算可以停止。