第六章7、设X 1，X 2，…X n 为总体X~N （μ，σ2）的样本，求E[21)(x x ni i-∑=]，D[21)(∑=-ni ix x ]。

解：E[21)(x x ni i -∑=]=（n-1)E[11-n 21)(x x ni i-∑=]=(n-1)σ2因为)1(~)(2212--∑=n X x xni iσ所以 D[21)(∑=-ni ix x ]=])([212σ∑=-ni ix xD =σ22（n-1)8、设X 1，X 2，…X 5为总体X~N （0，1）的样本，（1）试确定常数c 1、d 1，使得)(~)()(2254312211n x x x d x x c χ++++并求出n ；（2）试确定常数c 2、d 2，使得),(~)()(2543222212n m F x x x d x x c +++。

解：（1）212)(1x x n S n i i -=∑=且总体为X~N （0，1），所以c 1=21，d 1=31因为2χ分布具有可加性，即若X i ~2χ（i=1，……k ），且各样本相互独立，则)(~121∑∑==ki i ki in xχ，所以n=2。

（2）因为)2,0(~21N x x +，)3,0(~)(543N x x x ++，)1,0(~221N x x +， )1,0(~3543N x x x ++且相互独立， 所以221]2[x x ++2543]3[x x x ++)2(~2χ 因为)2(~22221χx x +，)1(~3)(22543χx x x ++ 所以)1,2(~)(2)(325432221F x x x x x +++，所以)1,2(,2322F d c =10、设X 1，X 2，…X n ，X n+1为总体X~N （μ，σ2）的样本的容量为n+1的样本，)(11~,1221x x n s x n x i n i i --==∑=试证：（1）)1(~~1ˆ1---=+n t sxx n n T n （2）)1,0(~21σn n N x x n +-+ （3）)1,0(~21σnn N x x -- 证明：（1）因为),(~),1(~~)1(),,(~212222σμχσσμN x n s n n N x n +-- 所以)1,0(~1),1,0(~121N nn xx n n N x x n n +-+-++σσ 所以)1(~)1(~)1(1221---+-+n t n sn n n x x n σσ，即)1(~~1ˆ1---=+n t s x x n n T n （2）因为),(~),,(~212σμσμN x nN x n + 所以)1,0(~21σnn N x x n +-+ （3）因为∑∑==--=-=-ni i n i i x n x n n x n x x x 21111111，011)(1)(1)11(22121=--=--=--∑∑∑===ni n i i n i i n n n x E n x E n n x n x n n E μμ2222221121)1()11(σσσnn nn n x n x n n D ni n i i -=+-=--∑∑== 所以)1,0(~21σnn N x x --15、设X 1，X 2，…X n ，1为总体X 的样本，如果X 具有下列密度函数（其中参数均未知）试分别求这些参数的矩估计量与极大似然估计量。

（1）⎩⎨⎧≤>=-0,00,),(2x x e x x λλλϕ 0>λ （2）⎪⎩⎪⎨⎧≤>--2,02,1),()2(x x ex x βββϕ 0>β解：（1）λλλ2)(02==⎰-dx xe x X E xx ，所以λ的矩估计量是：x2ˆ=λ似然函数∏∏=--=∑===ni x i nx ini ni iiex ex x L 12121)()(λλλλ对数似然函数∑∏==-+=ni in i i xx n L 11)ln(ln 2)(ln λλλ02)(ln 1=-=∑=ni i x n L d d λλλ，所以λ的极大似然估计是：x2ˆ=λ（2）2)()2(2+==--⎰βββdx exX E x x，所以β的矩估计量是2ˆ-=x β似然函数：∑===-----=∏ni i i x n x ni ieex L 12)2(1)(βββββ对数似然函数：∑=---=ni i x n L 12ln )(ln βββ02)(ln 12=-+-=∑=n i i x n L d d ββββ，所以β的极大似然估计是：2ˆ-=x β 18、设总体X~N （μ，σ2），X 1，X 2，…X n ，为X 的样本（1）求k ，使得统计量∑=-=ni i x x k1221)(ˆˆσ是2σ的无偏估计，（2）求c ，使得统计量∑-=+-=112121)(ˆˆn i i i x xcσ是2σ的无偏估计。

解：（1）由于nk x A x n x k x x k n i ni i i ∙-=-=-=∑∑==)()()(ˆ22211222σ而22222222)]([)()(,)(μσμσμ+=+=+==nX E x D x E A E所以22222222)1()()()()ˆ(σμσμσσ=-=--+=-=k n nnk x E A E E所以11-=n k （2）21211212)()()]([)()(σ=+=-+-=-++++i i i i i i i i x D x D x x E x x D x x E所以222112)1()(σ-=-∑=+n c x x E c i i i ，故当11)1(22-=-=n n c 时，2111)(i n i i x x c -∑-=+是2σ的无偏估计。

21、设总体X 服从二项分布B （N ，P ），X 1，X 2，…X n ，为其样本，求参数P 的最小方差无偏估计。

解：)),(ln ()(22p p x f E p I ∂∂-=此时X 的概率函数为：2222)1(),(ln ,1),(ln ,)1(),(p xN p x p p x f p x N p x p p x f p p p x f xN xxN C ----=∂∂---=∂∂-=- )1()1()1()()1()()1(]))1([()(22222222p p N p p p Np X D p p N p X E p p N p p pN x E p I -=--=-=--=--=所以P 的无偏估计的方差下界是nN p p )1(-，若以样本均值x 作为P 的估计，显然Nx是P 的无偏估计，所以Nxp=ˆ是P 的最小方差无偏估计。

23、求X~N （μ，σ2），σ2已知，问需抽取容量n 为多大的样本才能使μ得置信度为α-1的置信区间长度不大于L ？解：μ的置信度为α-1的置信区间为)(21nx σμα-±，区间长度为nσμα212-，由22121)2(2ααμσσμ-->⇒<L n L n第七章025.0975.0-116845.289055.293.417)1(}{}{1.0)16(993.417)1()(:,3,,ˆ),1(~ 4.93}.{s 9055.2:,9:,0~82975.0222212229055.200222112020012222122222222120217212202====⨯=-=>===⇒<⨯-=≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧<=∴⎭⎬⎫⎩⎨⎧<===-<===-==βχσχσβαχχασσχσχχσβασσσβσαασσ故）（，又得不真接受故有得为真拒绝）（为：根据题意可知，拒绝域为检验统计量即。

和求犯两类错误的概率的拒绝域为）的样本，假设（为总体，，、设nS n k k nS p H H p n k k nS p H H p k nS x x x x W nS n nS W H H N X X X X o n o o10、从甲、乙两煤矿各取若干样品，得其含碳率（%）为：甲 24.3 20.8 23.7 21.3 17.4 乙18.216.920.216.718.2假定含碳率服从正态分布，且2221σσ=，问甲、乙两煤矿的含碳率有无显著差异（α=0.05）？ 的含碳率无明显差异。

，即认为甲、乙两煤矿接受下知，在显著水平故由而由观测值可算得：或拒绝域：，检验法，得拒绝域为：采用：假设：解：依题意，要求检验0975.02/1975.0025.02/22212/122212/2221251222512121222112221001.06.976.3104.0,6.9)4,4()4,4(104.06.91)4,4(1)4,4()1,1(79.3977.1505.7~~)1,1(~~)1,1(~~977.1)(41~,505.7)(41~08.185.21:,H F F F F n m F S S n m F S S n m F S S X Xi S X Xi S X X F H H =<<======--==-->--<=-==-===≠=--∑∑ασσσσαααα19、观察得两样本值如下： A20.5427.3329.1621.3424.4120.9829.9517.38B 26.27 25.09 21.85 23.39 28.41 22.60 24.64 13.62问两样本是否来自同一个总体（05.0=α）？ 解：检验假设：)()(:),()(:211210x F x F H x F x F H ≠= 其中)(),(21x F x F 分别为A 、B 的分布函数，因为0)8()(3)3,5min(),min(05.0==>==-+S n S n n α故接受0H ,即来自同一个总体。

22、某药治疗效果如下 年龄 疗效 儿童 成年老年 ∙i n显著 58 38 32 128 一般 28 44 45 117 较差23 18 14 55 j n ∙10910091300解：题r=s=q=3,且91,100,109,55,117,128321321======∙∙∙∙∙∙n n n n n n 由此算得检验统计量的观测值为：91128)3009112832(100128)30010012838(109128)30010912858([3002222⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-⨯=χ10055)3001005518(10955)3001095523(91117)3009111745(100117)30010011744(109117)30010911728(22222⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+⨯⨯-+9155)300915514(2⨯⨯-+=300⨯（0.0095+0.0017+0.004+0.017+0.0021+0.0085+0.0015+0.0020+0.0014）=14.31 而31.14507.15)8()1)(1)(1(22295.01=>==----χχχαq s r所以接受0H ，即与年龄有关。