第 5章
均匀平面波在无界空间中的传播
本章重点： 1.理想介质中的均匀平面波； 2.均匀平面波在导电媒质中的传播。 本章难点： 1.均匀平面波在磁化铁氧体中的传播。
均匀平面波
5.1 理想介质中的均匀平面波
• 5.1.1 理想介质中的均匀平面波函数 • 沿z轴方向传播的均匀平面波满足的亥姆霍兹方程：


5.2
平面波的极化
y
5.2.1 极化概念 用电场强度E 矢量末端随时间变化的轨迹来描述波的极化。 一般情况下，沿+z方向传播的均匀平面 波， Ex 和 E y 分量都存在，且其振幅和相 位不一定相等。
Ex Exm cos(t kz 1 ) , Ey Eym cos(t kz 2 )
式中：A1 E1m e j1 , A2 E2m e j2
• 瞬时表达式：
E x ( z, t ) Re Ex ( z)e

jt

E1m cos(t kz 1) E2m cos(t kz 2 )
磁场与电场的关系：
H
1

ez E
(5.1.21)
• • 或：
上式中消去t 得 2 2 Ey 2Ex E y Ex 2 cos sin 2 2 E xm E ym E xm E ym 可以证明，椭圆的长轴与 x 轴的夹角为 2 E E ym cos tan2 xm 2 2
Exm E ym
y
x
椭圆极化与圆极化类同，分右旋极化和左旋极化。 ◇ 当 90
E z, t e x E x z, t e x Em cos t kz xE
4 rad/m 3
Em 104 V/m
2f 2108 rad/s
k
?
由条件t=0,z=1/8 m时，电场等于其振幅值。 得 1 0 k xE 0 8 1 4 1 xE k rad 8 3 8 6
k
• （3）求相对介电常数：
r
2 v0
v
2
r
4,
r 0 4 0
⑷求电场振幅中的常数
• 由横波条件： 5 2E y0 4 • 得： • ⑸求磁场强度矢量
H

E0 en 0
3 5 5 0, E y 0 2
1

en E0e
jke n r
Em en 0
沿任意方向传播的平面电磁波
• 在理想介质中传播的均匀平面波矢量为
E
2 103 e x E y 0e y 5e z cos 30 108 t 4 5x 2 y 4 z




• • • • •
⑴求波的传播方向； ⑵求波的频率、波长、相速； ⑶若介质的μ＝μ0，求ε； ⑷求电场振幅中的常数； ⑸求磁场强度矢量。
合成后
2 2 2 2 E Ex Ey E xm E ym cos t E y E ym tan const Ex Exm
合成波电场大小随时间变化， 但矢端轨迹与x轴夹角不变。
5.2.3
圆极化波
若 E x和 E y 振幅相同，相位差90°。则合成波为园极化波。
图 理想介质中均匀平面电磁波的电场和磁场空间分布
电场矢量
E E0e jken r
相伴的磁场 1 H en E
例5.1.1 频率为100MHz的正弦均匀平面波在各向同性的均匀理想介质中沿+z 方向传播，介质的特性参数为 r 4, r 1, 0 。设电场沿x方向，即 E ex Ex 当t=0,z=1/8 m时，电场等于其振幅值 104 V/m 。试求 （1）电场和磁场的瞬时表 达式；（2）波的传播速度；（3）平均坡印廷矢量。 解： （1）以余弦形式写出电场强度表示式
波动方程：
5.3.5 5.3.6
其中γ2= -ω2μεc。
直角坐标系中，对于沿+z 方向传播的均匀平面电磁波，如 果假定电场强度只有x分量Ex，那么式(5.3.5)的一个解为
E ex Eme z
令γ=β-jα，则E=exE0e-j
(β-jα)z=e xE0e
5.3.8
-αze-jβz。显然电场强度的复振幅
1
c
ez E
2
5.3.15


1 5.3.16a 1 2 1 5.3.16b 1 2
2

其中：
c 1 j j
以因子e-αz随z的增大而减小，表明α是说明每单位距离衰减程度
的常数，称为电磁波的衰减常数。β表示每单位距离落后的相位， 称为相位常数。γ=β-jα称为传播常数。因此电场强度的瞬时值可 以表示为
E( z, t ) ex Eme
az
cos(t z 0 )
其中Em、φ0分别表示电场强度的振幅值和初相角，即 j0 因为
o E E E , 0, 90 令 xm ym m 1 2
得
Ex Em cost , Ey Em sin t
y
E
x x
合成后
2 E E t
即
t

合成波电场大小不变， 但矢端轨迹与x 轴夹角 随时间变化。
圆极化的平面波
若以右手的四指随E的矢端运动，则姆指就指出了波的传播方向，表示的圆极
1 90 ,2 0 得到左旋圆极化波。 化波称为右旋圆极化波。显然，
o
5.2.4 椭圆极化波 若 E x和 E y 振幅、相位都不相同。则合成波为椭圆极化波。
令
1 0,2
得 Ex Exm cost , Ey Eym cos t
E0 E0 jkz jkz (ex jey )e (ex jey )e 2 2
上式右边第一项为一左旋圆极化波，第二项为一右旋圆极化波，
而且两者振幅相等，均为E0/2。
5.3 均匀平面波在导电媒质中的传播
5.3.1 导电媒质中均匀平面波
无源、无界的导电媒质中麦克斯韦方程组为
5.2.2 直线极化波 x
直线极化的平面波
取z=0
取 1 2 0
Ex Exm cos(t 1 ) , Ey Eym cos(t 2 ) 若 E x和E y 的相位相同或相差 ，则合成波为直线极化波。 Ex Exm cost , Ey Eym cost
则
4 E z, t ex104 cos 2108 t z V/m 3 6 1 1 104 4 H z, t ez E z, t e y Ex e y cos 2108 t z 60 3 6
A/m
（2） 波的传播速度
1 1 3 108 v 1.5 108 2 4 0 0
m/s
（3） 平均坡印廷矢量
1 Sav Re E H 2
E ex10 e
4 j z 4 6 3
z 104 j H ey e 3 6 60
y y
x x
椭圆、圆与直线极化的 关系
例 5.2.2
证明任一线极化波总可以分解为两个振幅相等旋
向相反的圆极化波的叠加。 解： 假设线极化波沿 +z 方向传播。不失一般性，取x 轴平 行于电场强度矢量E，则
E ( z ) ex E0e
jkz
ex E0e
jkz
1 1 jkz jkz jey E0e jey E0e 2 2
H E jE H jH H 0 E 0
安培环路定律可以写为
H j j E jc E
其中：
c j 1 j
2E 2E 0 2H 2H 0
0
, Eym Ezm Em 时， 椭圆极化 → 圆极化。
椭圆极化的平面波
◇ 当 0 时， 椭圆极化 → 直线极化。 若 E 的变化轨迹在 x 轴上( 0 ) ，称为 x 轴取 向的线极化波。 若 E 的变化轨迹在 y 轴上 ( 90 ) ，称为 y 轴取 向的线极化波。
c 1
1 2 4


1 2
c e
j
称为导电媒质的波阻抗， 它是一个复数。 上式中，


1 arctan 0 ~ 2 4
5.3.14
导电媒质的本征阻抗是一个复数，其模小于理想介质的本征 阻抗，幅角在 0~π/4 之间变化，具有感性相角。这意味着电场强 度和磁场强度在空间上虽然仍互相垂直，但在时间上有相位差， 二者不再同相，电场强度相位超前磁场强度相位。这样磁场强度 可以重写为
• 波矢量： • 沿波矢量
k en k e x k x e y k y e z k z
(5.1.27)
k 方向传播的平面波
E r E me jk r (5.1.28)
• 相伴的磁场强度矢量：
H r 1

e n E me jk r
(5.1.29)
• 横波条件：
d Ex k 2 Ex 0 dz2 d 2Ey dz2 d 2H x dz2 d 2H y k 2Ey 0 k 2H x 0
2
2
(5.1.1)
(5.1.2) (5.1.3)
k Hy 0 dz2
(5.1.4)
方程（5.1.1）的通解：