扬州中学2019届高三考前调研测试试题（数学）2019．5全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第一部分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知集合{}11A x x =-<<，}20|{<<=x x B ，则=B A ▲． 2．若复数iiz +-=11，则z 的实部是▲． 3．高三某班级共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，先将学生按01至48进行随机编号，再用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大编号为45，则抽到的最小编号为▲．4．执行右侧程序框图．若输入的值为4，的值为8，则执行该程序框图输出的结果为▲．5．从集合{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}中任取一个数记为x ，则x 2log 为整数的概率为▲．6．设⎩⎨⎧<--≥+=0,10,1)(2x x x x x f ,5.07.0-=a ,7.0log 5.0=b ，5log 7.0=c ,则比较)(),(),(c f b f a f 的大小关系▲．（按从大到小的顺序排列） 7．已知R b a ∈,，且a －3b ＋6＝0，则2a ＋18b 的最小值为▲．8．若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开，其展开图是半径为3，圆心a b（第4题）角为23π的扇形，则该圆锥的体积为▲． 9．设实数,x y 满足0121x y x y x y -⎧⎪+⎨⎪+⎩≥≤≥，则y x 32-的最大值为▲．10、已知数列{}n a 与2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭均为等差数列（n N *∈），且12a =，则10=a ▲． 11. 已知双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x ，过原点作一条倾斜角为6π直线分别交双曲线左、右两支P ,Q 两点，以线段PQ 为直径的圆过右焦点F ,则双曲线离心率为▲．12．在面积为26的ABC ∆中，32=⋅，若点M 是AB 的中点，点N 满足2=，则⋅的最大值是▲ .13. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2eln x ，x>0，x 3＋x ， x ≤0，若函数g(x)＝f(x)－ax 2(a ∈R )有三个零点，则a 的取值范围是▲.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）在正方体1111D C B A ABCD -中,O 是底面ABCD 对角线的交点．求证：（1） 111//D AB O C 面； (2) 111D AB C A 面⊥16．（本小题满分14分）已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．求：（1）函数()f x 的解析式；（2）已知212=⎪⎭⎫ ⎝⎛αf ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα6132sin 的值．17．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆方程为1422=+y x，圆C ：222)1(r y x =+-．（1）求椭圆上动点P 与圆心C 距离的最小值；（2）如图，直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，且与圆C 相切于点M ，若满足M 为线段AB 中点的直线l 有4条，求半径r 的取值范围．19. （本小题满分16分）已知函数xx x g x x f 1)(,ln )(-==． （1）①若直线1+=kx y 与x x f ln )(=的图像相切, 求实数k 的值；②令函数|)(|)()(x g x f x h -=，求函数)(x h 在区间]1,[+a a 上的最大值． （2）已知不等式)()(2x kg x f <对任意的),1(+∞∈x 恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）数列{a n }中，对任意给定的正整数n ，存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，且i n ≠，j n ≠，则称数列{}n a 具有性质P ．（1）若仅有3项的数列1,,a b 具有性质P ，求a b +的值； （2）求证：数列{}2019nn +具有性质P ；（3）正项数列{}n b 是公比不为1的等比数列．若{}n b 具有性质P ，则数列{}n b 至少有多少项？请说明理由．第二部分（加试部分） （总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效． 21．（A ） [选修4-2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知点A 在变换T ：3x x x y y y y '+⎡⎤⎡⎤⎡⎤→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦作用后，再绕原点逆时针旋转90︒，得到点B ．若点B 的坐标为(4,3)-，求点A 的坐标．（B ）[选修4-4:坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()4πθρ=∈R ，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为4cos ,1cos 2x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标.22．（本小题满分10分）高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图），并且每一排钉子数目都比上一排多一个，一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央．从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两钉的间隙，又碰到下一排铁钉．如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球．（1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？（2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X ，求X 的分布列与数学期望．23．（本小题满分10分） 已知数列{}n a 满足111(*)122n a n N n n n=+++∈++． （1）求123,,a a a 的值；（2）对任意正整数n ，n a 小数点后第一位数字是多少？请说明理由．54321扬州中学2019届高三考前调研测试试题参考答案（数学）2019．5第一部分一、填空题1． }21|{<<-x x 2．0 3． 03 4． 4 5． 526．)()()(c f b f a f >> 7．418．3 9． 2 10． 20 11. 2 12． 62338-13. (){}2-1,0 14.34 二、解答题15． （1）连接A 1C 1，设A 1C 1∩B 1D 1=O 1，连接AO 1，∵ABCD-A 1B 1C 1D 是正方体 ∴A 1ACC 1是平行四边形∴A 1C 1∥AC 且A 1C 1=AC又∵O 1，O 分别是A 1C 1，AC 的中点，∴O 1C 1∥AO 且O 1C 1=AO∴O 1C 1OA 是平行四边形∴C 1O ∥AO 1，AO 1⊂平面A 1B 1D 1，C 1O ⊄平面A 1B 1D 1， ∴C 1O ∥面A 1B 1D 1；（2）∵CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，∴CC 1⊥B 1D 1，又∵A 1C 1⊥B 1D 1，∴B 1D 1⊥平面A 1C 1C 即B 1D 1⊥A 1C ， 同理可证AB 1⊥A 1C ，又B 1D 1∩AB 1=B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1；16．解：（1）由题意得：3327212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：256ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩ 又sin 02sin 42A B A B π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩∴5()2sin(2)26f x x π=++（2）由212=⎪⎭⎫⎝⎛αf 得4365sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πα，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2652sin 6132sin ππαπα8165sin 21652cos 2-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=παπα．17． 解：（1）PC min ＝63（1） 当AB 的斜率不存在与圆C 相切时，M 在x 轴上，故满足条件的直线有两条；当AB 的斜率存在时，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0) 由⎩⎨⎧x 124＋y 12＝1x 224＋y 22＝1 两式相减得y 1－y 2x 1－x 2·y 1＋y 2x 1＋x 2＝－14即k AB ·y 0x 0＝－14,由题可知直线MC 的斜率肯定存在，且k MC＝y 0x 0－1， 又MC ⊥AB ,则k AB ＝－x 0－1y 0，所以－x 0－1y 0·y 0x 0＝－14，x 0＝43，因为M 在椭圆内部，则x 024＋y 02＜1，0＜y 20＜59 ，所以r 2＝(x 0－1)2＋y 02＝19＋y 02∈(19，23) ，故半径r ∈(13，63) .〖教学建议〗（1）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题方法1：利用d ＝r ；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．2.直线与椭圆有两交点位置关系判断方法1：联立方程组利用△＞0 ；方法2：弦中点在椭圆内部.（2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线AB 为y ＝kx ＋m 联立椭圆得(1＋4k 2)x 2＋8km x ＋4m 2－4＝0(*) ，利用韦达定理得M (－4km4k 2＋1，m 4k 2＋1，由MC ⊥AB 得m ＝－4k 2＋13k 由(*)△＞0得m 2＜4k 2＋1 ，将m ＝－4k 2＋13k代入解得k 2＞15 ，所以r ＝|k ＋m |k 2＋1＝131＋1k 2∈(13，63) .19. 解（1）设切点(x 0，y 0)，f '(x )＝1x .所以⎩⎨⎧y 0＝ln x 0y 0＝kx 0＋1k ＝1x 0所以x 0＝e 2，k ＝1e 2.（2）因为g (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上单调递增，且g (1)＝0．所以h (x )＝f (x )－|g (x )|＝ln x －|x －1x |＝⎩⎨⎧ln x ＋x －1x ，0＜x ＜1，ln x －x ＋1x ，x ≥1．当0＜x ＜1时，h (x )＝ln x ＋x －1x ，h '(x )＝1x ＋1＋1x2＞0，当x ≥1时，h (x )＝ln x －x ＋1x ，h '(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＜0，所以h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，且h (x )max ＝h (1)＝0． 当0＜a ＜1时，h (x )max ＝h (1)＝0； 当a ≥1时，h (x )max ＝h (a )＝ln a －a ＋1a ．（3）令F (x )＝2ln x －k (x －1x )，x ∈(1，＋∞)．所以F '(x )＝2x －k (1＋1x 2)＝－kx 2＋2x －k x 2． 设φ(x )＝－kx 2＋2x －k ，①当k ≤0时，F '(x )＞0，所以F (x )在(1，＋∞)上单调递增，又F (1)＝0，所以不成立； ②当k ＞0时，对称轴x 0＝1k，当1k ≤1时，即k ≥1，φ(1)＝2－2k ≤0,所以在(1，＋∞)上，φ(x )＜0，所以F '(x )＜0， 又F (1)＝0，所以F (x )＜0恒成立；当1k ＞1时，即0＜k ＜1，φ(1)＝2－2k ＞0，所以在(1，＋∞)上，由φ(x )＝0，x ＝x 0， 所以x ∈(1，x 0)，φ(x )＞0，即F '(x )＞0；x ∈(x 0，＋∞)，φ(x )＜0，即F '(x )＜0， 所以F (x )max ＝F (x 0)＞F (1)＝0，所以不满足F (x )＜0恒成立． 综上可知：k ≥1.20．解：（1）∵数列1,,a b 具有性质P ∴1ab a b =⎧⎨=⎩∴11a b =⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩∴2a b +=或2a b +=-； ……………………3分（2）假设存在不相等的正整数,i j ()i j <，使得n i j a a a =，即201920192019n i jn i j =⋅+++（*） 解得：(2019)i nj i n +=-，取1i n -=，则存在1(2020)i n j n n =+⎧⎨=+⎩，使得（*）成立∴数列{}2019nn +具有性质P ； ……………………8分（3）设正项等比数列{}n b 的公比为q ，0q >且1q ≠，则11n n b b q -=⋅． ∵数列{}n b 具有性质P∴存在不相等的正整数,i j ()i j <，i n ≠，j n ≠，使得11111i j b b q b q --=⋅⋅⋅，即121i j b q +-=，且3n ≥∵1j i >≥，且,*i j N ∈∴21i j +-≥ 若21i j +-=，即11b q=∴21b =，3b q = 要使11i j b b b q ==，则21q必为{}n b 中的项，与11b q =矛盾；∴21i j +-≠ 若22i j +-=，即121b q =∴21b q=，31b =，4b q =， 要使121i j b b b q ==，则31q 必为{}n b 中的项，与121b q =矛盾；∴22i j +-≠ 若23i j +-=，即131b q =∴221b q =，31b q=，41b =，5b q =，26b q =，37b q =，这时对于1,2,,7n =，都存在n i j b b b =，其中i j <，i n ≠，j n ≠．∴数列{}n b 至少有7项． ……………………16分第二部分（加试部分）21．（A ）解：设(,)A x y ，则A 在变换T 下的坐标为(3,)x y y +，又绕原点逆时针旋转90︒对应的矩阵为0110-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，……………………4分 所以01341033x y y y x y -+--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，得433y x y -=-⎧⎨+=⎩，解得94x y =-⎧⎨=⎩ 所以点A 的坐标为(9,4)-．……………………10分 （B ）解：直线l 的直角坐标方程为y x =．由方程4c o s ,1c o s 2x y αα=⎧⎨=+⎩可得22212c o s 2()48x y x α===，又因为1c o s 1α-≤≤，所以44x -≤≤．所以曲线C 的普通方程为21(44)8y x x =-≤≤…………………6分将直线l 的方程代入曲线方程中，得218x x =，解得0x =，或8x =（舍去）所以直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标为(0,0)．…………………10分22．解：（1）记“小球落入4号容器”为事件A ，若要小球落入4号容器，则在通过的四层中有三层需要向右，一层向左． ∴34411()()24P A C ==…………………3分（2）落入4号容器的小球个数X 的可能取值为0,1,2,3．∴3127(0)(1)464P X ==-=，1231127(1)(1)4464P X C ==⨯-=，223119(2)()(1)4464P X C ==⨯-=311(3)()464P X ===∴X 的分布列为……………7分272791483()012364646464644E X =⨯+⨯+⨯+⨯==………………9分答：落入4号容器的小球个数X 的数学期望为34．………………10分23．解：（1）112a =，2712a =，33760a =………………2分 （2）12,a a 小数点后第一位数字均为5，3a 小数点后第一位数字为6………………3分 下证：对任意正整数(3)n n ≥，均有0.60.7n a << 注意到11111021221(21)(22)n n a a n n n n n +-=+-=>+++++ 故对任意正整数(3)n n ≥，有30.6n a a ≥>………………5分 下用数学归纳法证明：对任意正整数(3)n n ≥，有10.74n a n≤- ①当3n =时，有3371110.70.70.760124343a ==-=-≤-⨯⨯，命题成立； ②假设当*(,3)n k k N k =∈≥时，命题成立，即10.74k a k≤- 则当1n k =+时，11110.7(21)(22)4(21)(22)k k a a k k k k k +=+≤-+++++∵1111104(21)(22)4(1)4(1)4(1)22k k k k k k k k k --=->+++++++ ∴1114(21)(22)4(1)k k k k ->+++∴11110.70.74(21)(22)4(1)k a k k k k +≤-+≤-+++ ∴1n k =+时，命题也成立；综合①②，任意正整数(3)n n ≥，10.74n a n≤-． 由此，对正整数(3)n n ≥，0.60.7n a <<，此时n a 小数点后第一位数字均为6．所以12,a a 小数点后第一位数字均为5，当3,*n n N ≥∈时，n a 小数点后第一位数字均为6．…10分。