南京大学硕士研究生入学考试数学分析试题2000年一、求下列极限1）设nn n x x x ++=+3)1(31，（01>x 为已知），求n n x ∞→lim ；2）22)(lim 220yxy x y x +→→；3）⎰+∞→xx dt tt12cos lim ； 4）⎰⎰≤+→-22222220)cos(1lim r y x xy r dxdy y x erπ.二、设)(x f 在[]1.1-上有二阶连续偏导数，0)0(=f ，令xx f x g )()(=，())0()0(,0f g x '=≠，证明1）)(x g 在0=x 处连续，且可导，并计算)0(g '； 2）)0(g '在0=x 处也连续.三、设t e e t f t ntn 3sin )1()(---=，()0≥t ，试证明1）函数序列(){}t f n 在任一有穷区间[]A ,0上和无穷区间[]+∞,0上均一致收敛于0； 2）30lim 1sin 0.t t nn e e tdt -+∞-→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰四、设对任一A>0,)(x f 在[]A ,0上正常可积，且0)(0≠⎰+∞dt t f 收敛，令(),0,)()()(0≥-=⎰⎰+∞x dt t f dt t f x xxϕ试证明)(x ϕ在()+∞,0内至少有一个零点.五、计算积分())0(,sin cos ln )(2222>+=⎰a dx x x a a I π.六、试求指数λ，使得dy r yx dx r y x λλ22-为某个函数()y x u ,的全微分，并求()y x u ,，其中22y x r +=.七、计算下列曲线积分和曲面积分)1()()()⎰+++-++=cdz z y x dy y x dx z y x I ,223其中c 为1222=+y x 与z y x -=+222的交线，从原点看去是逆时针方向.)2()()()2222222:,R c z b y a x S dxdy z dzdx y dydz x I S=-+-+-++=⎰⎰.八、设()ln n n u x x x =,[]0,1x ∈1) 试讨论1()n n u x ∞=∑在](0,1上的收敛性和一致收敛性；2) 计算11ln n n x xdx ∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑⎰.九、设222exp ,0,0(,)0,0,0x t t x f x t t t x ⎧⎡⎤⎛⎫-+>>⎪⎢⎥ ⎪=⎨⎝⎭⎣⎦⎪=>⎩ 0()(,)I x f x t dt ∞=⎰ (0)x >1）讨论()I x 在()0,+∞上的一致收敛性，并证明20lim ()2x x I x e dx π++∞-→==⎰2）计算()I x .2001年数学分析一、求下列极限 1） 设),2(,43,011≥+==-n a a a n n 求n n a ∞→lim ；2） yx y x e y x 12201lim +-→+∞→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++；3） 设[],,)(,B b a A C x f B A <<<∈试求⎰-+→bah dx hx f h x f )()(lim4） 设)(x f 在)1,0(内可导，且),1,0(,1|)(|∈∀<'x x f 令)2)(1(≥=n nf x n ，试证明nn x ∞→lim 存在有限 二、设,1)0(,)(),(2=∈+∞-∞g Cx g 令⎪⎩⎪⎨⎧≠-='=时当时当0,cos )(0),0()(x x xx g x g x f 1） 讨论处的连续性；在0)(=x x f2） 求.0)(),(处的连续性在并讨论=''x x f x f三、设[][],1,0,1)(0,0)0(,)(1,01∈∀≤'<=∈x x f f C x f 试证明对一切[]1,0∈t ，成立[]⎰⎰≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡tt dx x f dx x f 0320)()( 四、求下列积分1） 计算反常积分⎰+∞-=0sin dx x xe I x ； 2） 计算曲面积分⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 222，其中S 为锥面()h z y x ah z ≤≤+=0,22222那部分的外侧五、求212arctan )(x x x f -=在0=x 处的幂级数展开式，并计算∑∞=+-=012)1(n nn S 之值六、设0,1,111≥>++=+x k x x k x nnn .1) 证明级数∑∞=+-0)1(n n n x x绝对收敛；2) 求级数()∑∞=+-11n n n x x之和.七、设dt t I ⎰+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=0224exp ),(βαβα，其中βα,满足不等式43222-≤+-βαα. 1） 讨论含参变量积分),(βαI 在区域432:22-≤+-βααD 上的一致收敛性 2） 求),(βαI 在区域D 上的最小值.南京大学2002年数学分析试题 一、定0a ，0a ≠k π（k ∈Z ）,设1+n a =sin n a (n=0,1,2,…).1) 求∞→n lim n a ；2）求lim∞→n 21nna . 二、设f(x) ∈]1,0[C ,在}0{\)1,1(- 内可微，且)0(+'f 及)0(-'f 存在有限,而数列}{},{n n b a满足条件,101<<<<-n n b a 且∞→n lim n a =∞→n lim n b =0，求证存在子序列}{},{k k n n b a及正数p,q,p+q=1,使 ∞→n lim)0()0()()(-+'+'=--f q f p a b a f b f kk k k n n n n三、设)(x f 在]1,1[-上（R ）可积，令⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=01,10,)1()(x e x x x nx nn 当当ϕ1） 证明函数)()(x x f n ϕ在]1,1[-上（R ）可积； 2） 又若)(x f 在x=0还是连续的，求证∞→n lim⎰-=11)0()()(2f dx x x f n n ϕ 四、证明⎰∑∞=+-=1011)1(n n n xn dx x . 五、试以u 为因变量，ηξ,为自变量，对方程y zxz ∂∂=∂∂22 进行变量代换z y x y u yy x ⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-==4exp ,1,2ηξ.六、已知⎰∞+-=0212πdx e x ，求()⎰+∞->00cos 2a bxdx e ax 之值. 七、计算()()()⎰⎰++++++++=Sdxdy b a z dzdx a c y dydz c b x I 222，其中S 为半球面()()()c z R c z b y a x ≥=-+-+-,2222的上侧.八、设)(),(),(t t t p ψϕ是区间],[b a 上的连续函数，)(),(t t ψϕ单调增加，0)(>t p ，试证1）⎰⎰⎰⎰⋅≤⋅b abab abadt t t t p dt t p dt t t p dt t t p ;)()()()()()()()(ψϕψϕ2）若0)(,)(],[>∈t F C t F b a 且单调减少，证明⎰⎰⎰⎰≤babab abadtt F dtt F dtt tF dtt F t )()]([)()]([22（2005年5月27日sciphi 输入）南京大学2003年数学分析 一、下列极限1) 设0>a ，求∞→n limnn a +1；2) 设),3,2,1(,2,211 =+==+n x x x n n ，求∞→n lim n x ；3) +∞→n lim .112xx e x -⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+二、过p(1,0)点作抛物线的切线2-=x y ，求：1） 切线方程；2） 由抛物线、切线及x 轴所围成的平面图形面积； 3） 该平面图形分别绕x 轴和y 轴旋转一周的体积。
三、对任一,00>y 求)1()(00x x y x y-=ϕ在（0,1）中最大值，并证明该最大值对任一,00>y 均小于任一1-e 。
四、设f(x)在),0[+∞上有连续导数，且0)0(,0)(<>≥'f k x f ，试证：f(x)在),0(+∞内仅有一个零点。
五、计算下列积分1） 设⎰≥++=102)0(1)1ln()(ααdx x x a I ，求);1()(I I 和α' 2） ⎰⎰++++=Sz y x zdxdyydzdx xdydz I 23222)(，其中S 为上半球面)0(2222≥=++z a z y x 的外侧。
六、设⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤≤-=01,10,)1()(x e x x x nx nn 当当ϕ)(x f 在]1,1[-上（R ）可积.1） 求∞→n lim )(x n ϕ，并讨论)}({x n ϕ在]1,1[-上的一致收敛性；2） 求∞→n lim⎰-11)()(dx x x f n ϕ（要说明理由）七、设∑∞==)(n nnx ax f 的收敛半径+∞=R ，令∑==nk kk n x a x f 0)(，试证明))((x f f n 在[a,b] 上一致收敛于())(x f f ，其中[a,b]为任一有穷闭区间.。