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南京大学2005级数学系数学分析2期末(AB卷合一)

南京大学2005级数学系数学分析(二)期末测试
说明:前四道大题共100分,最后一题为附加题。

考试时间共120分钟。

未特别标明A 、B 卷的题目为公用题。

一、叙述题(20分)
1. 设:n m f → 为多元向量值函数,0n x ∈ .叙述f 在0x 可微的定义.
(10分)
2. (A 卷)叙述正项级数Cauchy 判别法(也叫根值判别法)的条件及结论,并举一
个不能用Cauchy 判别法判别收敛性的例子.
(10分)
(B 卷)叙述正项级数d ’Alembert 判别法(也叫比值判别法)的条件及结论,并举一个不能用d ’Alembert 判别法判别收敛性的例子.
(10分)
二、判断题(20分):判断下列级数的敛散性并说明理由.
(A 卷)1.1cos n n ∞
=∑
(5分)
2.2
1
1sin
n n

=∑
(5分)
3.2
2
1(ln )
n n n ∞
=∑
(5分)
4.1(1)ln 12n
n n ∞
=⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦

(5分)
(B 卷)1.2
1sin n n ∞=∑
(5分)
2.1
n ∞
=-∑ (5分) 3.2
1ln n n n

=∑
(5分)
4.1(1)ln 12n
n n ∞
=⎡⎤
-+⎢⎥⎣⎦

(5分)
三、计算题(20分)
1. 方程2232327x y z xy z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =.

2
(1,2)z x y
∂-∂∂的值. (10分)
2. (A 卷)求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件0x y z ++=,22212x y z ++=下
的极值.
(10分)
(B 卷)求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=,22212x y z ++=下的极值.
(10分)
四、证明题(40分)
1. (A 卷)设级数1
n n n a ∞
=⋅∑收敛.证明:级数1
n n a ∞
=∑也收敛.(提示:Abel 判别法)(10
分)
(B 卷)
设级数1
n n a ∞
=∑收敛.证明:级数1
n n a ∞
=∑也收敛.(提示:Abel 判别法)(10分)
2. (A 卷)
设(0,1)λ∈为固定的实数,:n
f →
为可微的多元函数,且2
1n
j j
f
x λ=⎛⎫
∂≤
⎪ ⎪
∂⎝⎭
∑.证明: i 、
()(),,n
f x f y x y x y λ-≤-∀∈
;
ii 、 当1n =时,存在唯一的x ∈ ,使得()f x x =.
(10分)
(B 卷)
设(0,1)λ∈为固定的实数,12(,,,):n
n
n f f f f =→ 为可微映射,
且2
,1n i i j j
f x λ=⎛⎫
∂≤ ⎪ ⎪∂⎝⎭
∑.证明:
i 、
()(),,n
f x f y x y x y λ-≤-∀∈
;
ii 、 存在唯一的n x ∈ ,使得()f x x =.
(10分)
3. 设1α>,0n a >,记1
n
n i
i S a
==∑,1,2,.n = .证明级数1
n n n
a S α

=∑
总是收敛的.
(提示:可利用积分判别的思想.)
(10分) 4. 设()ij A a =为n 阶实正定对称方阵,(1,2,,)i b i n = 为实数.考虑n
上的函数
12,1
1
(,,,)n
n
n ij
i j i i
i j i f x x x a
x x b x
===
-
∑∑ .证明:
(i) f 在n 上有唯一的最小值点; (ii)
f 的最小值为,1
1
4
n
ij
i j i j a b b =-
∑,这里ij
a 是A 的逆矩阵在ij 位置的元素.
(10分)
五、附加题(10分)
(A 卷)设:n n f → 为可微的一一映射,f 的Jacobi 矩阵非退化,并且f 的逆映射f -1
连续.证明:f -1也是可微的.
(B 卷)设:n f → 为可微的多元函数,且(0,,0)0f = . 证明:存在任意可微次的多元函数:(1,2,,)n i g i n →= ,使得
1212121
(,,,)(,,,),(,,,)n
n
n i
i n n i f x x x x
g x x x x x x ==
⋅∀∈∑
.。

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