南京大学2008年数学分析考研试题一 设()f x 为1R 上的周期函数，且lim ()0x f x →+∞=，证明f 恒为0。

二 设定义在2R 上的二元函数(,)f x y 关于x ，y 的偏导数均恒为零，证明f 为常值函数。

三 设()n f x (1,2,...)n =为n R 上的一致连续函数，且lim ()()n n f x f x →∞=，1x R ∀∈，问：()f x 是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

四 是否存在[0,1]区间上的数列{}n x ，使得该数列的极限点（即聚点）集为[0,1]，把极限点集换成(0,1)，结论如何？请证明你的所有结论。

五 设()f x 为[0,)+∞上的非负连续函数，且()f x dx +∞<+∞⎰，问()f x 是否在[0,)+∞上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。

六 计算由函数211()2f x x =和22()1f x x =-+的图像在平面2R 上所围成区域的面积。

七 计算积分222(22)x xy y R edxdy -++⎰⎰。

八 计算积分xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰，其中Ω为如下区域：3{(,,):0,0,0,}x y z R x y z x y z a Ω=∈≥≥≥++≤，a 为正常数。

九 设0n a >(1,2,...)n =，1nn k k S a ==∑，证明：级数21nn na S ∞=∑是收敛的。

十 方程2232327x y z xy z +++-=在(1,2,1)-附近决定了隐函数(,)z z x y =，求2(1,2)zx y∂-∂∂的值。

十一 求函数333(,,)f x y z x y z =++在约束条件2x y z ++=，22212x y z ++=下的极值，并判断极值的类型。

十二 设1[0,1]f C ∈，且(0)(1)0f f ==，证明：112201[()][()]4f x dx f x dx '≤⎰⎰。

十三 设()f x 为[0,]π上的连续函数，且对任意正整数1n ≥，均有 0()cos 0f x nxdx π=⎰，证明：f 为常值函数。

南京大学2008年数学分析考研试题解答一 证明 设()f x 的周期为T ，0T >，则有()()f x nT f x +=，由条件知，()lim ()0n f x f x nT →∞=+=，结论得证。

二 证明 因为0fx∂=∂，0f y ∂=∂，f x ∂∂，f y∂∂在2R 上连续，对任意2(,)x y R ∈，有 (,)(0,0)f x y f -(,)(,)f fx y x x y y x yθθθθ∂∂=⋅+⋅∂∂0=， 所以(,)(0,0)f x y f =，即(,)f x y 为常值函数。

三 解 ()f x 未必为连续函数。

反例：()1n n nxf x x=+，()n f x 在1R 上连续，又lim ()1n x f x →∞=，所以()n f x 在(,)-∞+∞上一致连续，0,11lim ()(),121,1n x x f x f x x x →∞⎧<⎪⎪===⎨⎪>⎪⎩， 显然()f x 在(,)-∞+∞上不连续。

四 解（1）存在。

取[0,1]中的有理数形成的点集{}n I r =，则有[0,1]I '=。

（2）不存在。

假若存在{}n I x =，使得(0,1)I '=，由于I '是闭集，而(0,1)为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。

五 未必有()f x 在[0,)+∞上有界，未必有lim ()0x f x →+∞=。

六 解显然两曲线的交点横坐标为1x =，2x =2211)]2S x x dx =-+-20321)2x dx =-+312(2x x =-+312[2=-+=七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。

由2x e dx +∞--∞=⎰222(22)x xy y R e dxdy -++⎰⎰22()x y x dx e e dy +∞+∞--+-∞-∞=⎰⎰22()x y x e dx e dy +∞+∞--+-∞-∞=⎰⎰2x dx --∞=⎰=π=。

八 解xyzdxdydz Ω⎰⎰⎰aa xa x ydx dy xyzdz ---=⎰⎰⎰十 解22920x x x z z y z ++-=，24920y y z z x z ++-=， 218920y x xy xy zz z z z z ++-=。

十一 解 333222()(2)(12)L x y z x y z x y z λμ=+++++-+++-2320Lx x xλμ∂=++=∂， 2320Ly y yλμ∂=++=∂，2320Lz z zλμ∂=++=∂， 2223()32()0x y z x y z λμ++++++=，3123220λμ⋅++⋅=， 36340λμ++=。

十二 证明 0()(0)()()xxf x f f t dt f t dt ''=+=⎰⎰，11222()()(())xxf x f t dt x f t dt ''≤≤⎰⎰，1222()()()xf x x f t dt x f t dt ''≤≤⎰⎰，于是112222011()()()22f x dx f x dx '≤⎰⎰， 11()(1)()()xxf x f f t dt f t dt ''=-=-⎰⎰，1111222()()(1)(())xxf x f t dt x f t dt ''≤≤-⎰⎰，122()(1)()f x x f t dt '≤-⎰，1122210211()()()22f x dx f x dx ''≤⎰⎰，故有111122222121()()()()4f x dx f x dx f x dx f x dx '≤+≤⎰⎰⎰⎰。

十三 证明 作函数()F x ，()F x 是周期为2π的偶函数， 当(0,)x π∈时，()()F x f x =，则()F x 在(,0)(0,)ππ-上连续，在[,]ππ-可积。

12()cos ()cos 0n a F x nxdx F x nxdx πππππ-===⎰⎰，(1,2,...)n =002()a f x dx ππ=⎰，1()sin 0n b F x nxdx πππ-==⎰， 01(cos sin )()2n n n a a nx b nx F x ∞=++∑， 001()(cos sin )22N N n n n a aS x a nx b nx ==++=∑，{()}N S x 在2[,]L ππ-中收敛于()F x ，2lim ()()0N N F x S x dx ππ-→∞-=⎰，20()02aF x dx ππ--=⎰，200()02af x dx π-=⎰，由()f x 在[0,]π上连续，知20()02af x -=，即得0()2a f x =，()f x 在[0,]π上为常值函数。

南京大学2009年数学分析考研试题1 开区间(0,1)内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。

2 若级数1nn a∞=∑收敛，则是否有21nn a∞=∑收敛，是请证明；否请举反例。

3 设,0a b >，求n4 求2011lim()sin x x x x→-。

5 若函数()f x 在[0,1]上可导，则()f x '是否一定有界，是请证明；否请举反例。

6 函数:f R R →连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。

7 函数()f x 在[0,1]上有二阶导数，(0)0f =，(1)1f =，()0f x ''<， 求证：()f x x ≥，[0,1]x ∈。

8 函数(,)f x y 是一个2C 函数，000(,)z x y =，计算02002(,)1lim [(,)(,)]h B z h h f x y dxdy f x y h π+-→-⎰⎰。

9 计算xdydz ydzdx zdxdy ∑++⎰⎰，其中∑是八分之一球面2222{(,,):,,0,}x y z x y z x y z R ≥++=，方向朝外。

10 、已知()f x 是[,]ππ-上有界变差函数，求证：1,()n n a b O n=， 其中,n n a b 是()f x 的傅里叶系数。

南京大学2009年数学分析考研试题解答1 解 尽管(0,1)中的有理数的个数是可数的，但(0,1)中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于(0,1)中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若(0,1)中的有理数按由小到大的顺序排成了一列 123...r r r <<<，12(,)r r 中应没有有理数了，而12(,)r r 中仍有有理数122r r +，矛盾。

2 解 由级数1nn a∞=∑收敛，未必退出21nn a∞=∑收敛。

反例：设(1)nn a =- 显然1nn a∞=∑收敛，但21nn a∞=∑发散。

3 解 设max{,}M a b =则有M ≤≤，n M =，由夹逼定理，知n max{,}M a b ==。

4 解 2011lim()sin x x x x →-20sin lim sin x x xx x →-=30sin lim x x x x→-=20cos 1lim3x x x →-=0sin lim6x xx →-= 16=-。

5 解 由()f x 在[0,1]上可导，即()f x '在[0,1]上存在， 但()f x '未必在[0,1]上有界。

反例：221sin ,(0,1]()0,0x x f x xx ⎧∈⎪=⎨⎪=⎩，1)n f '=--， ()f x '在[0,1]上无界。

6 证明 不妨设0x 是()f x 的唯一的极小值点，则存在0δ>，当00x x δ<-<时，有 0()()f x f x >， 我们要断言，对所有x R ∈，0()()f x f x ≥。

用反证法，假若存在1x R ∈，使得10()()f x f x <，不妨设10x x <，由连续函数的介值性，存在01(,)x x ξ∈，使得0()()f f x ξ=，()f x 在0[,]x ξ的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以0()f x 是最小值，结论得证。