即：
g X F s i cn o F x c s y o F c sc oo s s
g Y F s i sn iF x n s y iF n cs ois n
g Z F co F s sin
⒋ 力沿坐标轴分解
若以 Fx ,Fy ,Fz 表示力沿
直角坐标轴的正交分量，则：
FFxFyFz
⒈ 力矩的大小 ； ⒉ 力矩的转向 ； ⒊ 力的作用线与 矩心所组成的平面的 方位 。
[例] 力P1， P2 ， P3 对汽车反镜 绕球铰链O点的 转动效应不同
二、力对点的矩的矢量表示 在平面问题中，力对点的矩是代数量；而在空间问题中， 由空间力对点的矩的三要素知，力对点的矩是矢量。
⒈ 力矩矢的表示方法
⒈ 若 R'0,MO0则力系可合成为一个合力，力系合力R 等于主矢 R ' ，合力 R 通过简化中心O点。（此时主矩与简 化中心的位置有关，换个简化中心，主矩不为零)
⒉ 若 R'0,MO0 , R'MO 时， 可进一步简化，将MO变成( R'',R) 使R'与R'‘ 抵消只剩下R
(MORd) 由于做 M O R d, dM R OM R O ' , 合 R 力 F i
g 方向： com sx(F ), co s m y(F ), co m sz(F )
m O (F )
m O (F )
m O (F )
§4-4 空间一般力系向一点简化
把研究平面一般力系的简化方法拿来研究空间一般力系的 简化问题，但须把平面坐标系 扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有 空间一般力系 F1,F2,Fn
定理:
RxXi RyYi RzZi
空间力系的合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一
轴上投影的代数和。
⑵ 合力的解析求法
大小：R R x 2 R y 2 R z 2( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
方向： co sR x, co sR y, co g sR z
R
R
R
三、空间汇交力系的平衡 ⒈ 平衡的充要条件 空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
y
二、力偶矩用矢量表示 ⒈ 力偶矩矢 空间力偶三要素可以用一个矢量表示，该矢量称为力偶矩 矢。 ⒉ 力偶矩矢表示方法 ⑴ 大小：矢量的长度表示力偶矩的大小； ⑵ 矢量的方位：与力偶作用面的法线方位相同 ⑶ 矢量的指向：与转向的关 系服从右手螺旋定则。或从力偶矢 的末端看去，力偶的转向为逆时 针转向。
⒉难点
空间矢量的运算，空间结构的几何关系与立体 图。
工程中常常存在着很多各力的作用线不在同一平面内的力 系，即空间力系，空间力系是最一般的力系。
(a)图为空间汇交力系；(b)图为空间任意力系； (b)图中去掉风力后为空间平行力系。
迎面 风力
侧面 风力
b
§4-1 空间汇交力系
一、力在空间轴上的投影与分解： 1.力在空间的表示
解析求法
大小： M OM O2x M O2y M O2z
方向： co ' sM O,c x o ' sM O,c y o gsM Oz
M O
M O
M O
注意：因主矩等于各力对简化中心之矩的矢量和， 所以它的大小和方向与简化中心有关。
三、结论 空间一般力系向任一点O 简化 ，一般可以得到一力和
一力偶 ；该力作用于简化中心 ，其大小及方向等于该力系的 主矢 ，该力偶之矩矢等于该力系对于简化中心的主矩 。
⒊ 合成空间汇交力系 汇交力系合力
Ro F1F2Fn Fi F1F2 Fn Fi R
⒋ 合成附加力偶系 空间力偶是自由矢量，总可汇交于O点。 附加力偶的合力偶矩
Mo m1m2mn mi mo(F1)mo(F2)mo(Fn) mo(Fi)
二、主矢与主矩
1. 主矢：指原空间一般力系各力的矢量和 Fi 。
Fz
而： F x X i,F y Y j,F z Z k
Fy
所以： FX iYjZk
Fx
⒌ 已知力的投影求该力
大小： FX2Y2Z2
方向： co sX, co sY, co g sZ
F
F
F
⒍ 注意 力在坐标轴上的投影是代数量；而力沿直角坐标轴的分量及 力在坐标平面上的投影是矢量。
二、空间汇交力系的合成 ⒈ 几何法
§4-5 空间一般力系简化结果的讨论
空间一般力系向一点简化得一主矢和主矩，下面针对主 矢、主矩的不同情况分别加以讨论。
一、力系平衡 若 R'0,MO0, 则该力系平衡（下节专门讨论）。 二、力系简化为一个合力偶 若 R'0,MO0则力系可合成一个合力偶，其矩等于原力 系对于简化中心的主矩MO。此时主矩与简化中心的位置无关。 三、力系简化为一个合力
RFi0
⑴ 几何法平衡充要条件 几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
⑵ 解析法平衡充要条件 解析法平衡充要条件为：
X0 Y0 亦称为 空间汇交力系的平衡方程
Z0
三个独立的方程，只能求解三个未知量
§4-2 空间力偶系
一、空间力偶三要素 决定空间力偶对刚体的作用效应,除力偶矩的大小、力偶的 转向外,还必须确定力偶作用面的方位，作用面的方位不同，则 空间力偶对物体的作用效应也不同，所以空间力偶对刚体的作 用效应取决于下列三要素： ⒈ 力偶矩的大小 ； ⒉ 力偶作用面的方位 ； ⒊ 力偶的转向 。
§4–1 空间汇交力系 §4–2 空间力偶系 §4–3 力对点的矩与力对轴的矩 §4–4 空间一般力系向一点的简化 §4–5 空间一般力系简化结果的讨论 §4–6 空间一般力系的平衡方程及应用 §4–7 平行力系的中心与物体的重心 习题课
本章重点、难点
⒈重点
力在空间直角坐标轴上的投影和力对轴之矩。 空间力系平衡方程的应用。 常见的空间约束及约束反力。
g 即：m O (F )co s m z(F )
[m O (F)z]m z(F)
四、力对点的矩的解析求法
又由于 m O (F )rF [m O (F )xi] [m O (F )y]j [m O (F )zk ]
m x (F )i m y (F )j m z(F )k
所以力对点O的矩为：
大小： m O ( F ) m O ( F ) m x ( F ) 2 m y ( F ) 2 m z ( F ) 2
与平面汇交力系的合成方法相同，也可用力多边形方法求
合力。
R F 1 F 2 F 3 F n F i
即：合力等于各分力的矢量和
(由于力多边形是空间力多边形，合成并不方便，一般不采 用此方法合成）
⒉ 解析法 ⑴ 合力投影定理
由于 F iX ii Y ij Z ik 代入上式
合力 R X ii Y ij Z ik
即RFi
主矢 R 的
解析求法
主矢大小: R'R' R'2xR'2yR'2z (X)2(Y)2(Z)2
主矢方向: c o s R X ',c o s R Y ',cgo s R Z '
注意：
因主矢等于原力系各力的矢量和,所 以它与简化中心的位置无关。
⒉ 主矩：指原空间一般力系对简化中心之矩的矢量和
§4--1 工程中的空间力系问题 §4--2 力在空间坐标轴上的投影 §4--3 力对轴之矩 §4--4 空间力系的平衡方程 §4--5 重心坐标公式
力的三要素： 大小、方向、作用点
大小： F F
g
O
Fxy
方向：
由、、g 三个方向角确定 或由仰角 与方位角 来确定。
作用点： 物体和力矢的起点或终点
⑴ 力矩矢大小 ：
mO(F) mO(F) Fd 2AOB面积
⑵ 力矩矢方位： 与该力和矩心组成的平面 的法线方位相同
⑶ 力矩矢的指向：与转向 的关系服从右手螺旋定则。或从 力矩矢的末端看去，物体由该力 所引起的转向为逆时针转向。
⒉ 力对点的矩的矢积表达式 ⑴ 导出 如果r 表示A点的矢径，则：
⒉ 证明

力对点的矩矢在通过该点的 任意轴上的投影等于这力对于该 轴的矩。这就是力对点之矩与对 通过该点轴之矩的关系。
由m 于 O(F)2AO 面 B积
通过O点作任一轴Z，则： m z(F ) m O (F x)y 2 O 'B 'A 由几何关系：
Oc A go B O s'B 'A
g ∴ 2O c A o 2 B O s'B ' A
mo(Fi) 。 即 M o m o(F i)
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系:
M O [ x m O ( F i) ] x m x ( F i) ; M O [ y m O ( F ) ] y m y ( F ) ;M O [ z m O ( F ) ] z m z ( F )
主矩 M O
的接触之点。
⒉ 一次投影法（直接投影法）
由图可知： X F cos , Y F cos , Z F cos g
其中c： os,cos,cosg 分别称为
力F对应于 x, y,z三轴的方向余弦
⒊ 二次投影法（间接投影法）
当力与各轴正向间夹角不易
确定时，可先将 F 投影到xy 面上，然后再投影到x、y 轴上。
i jk
mO(F)rF x y z (yZ zY )i(zX x)Zj(xY yX )k X Y Z [m O(F)x]i[m O(F)y]j[m O(F)z]k
二、力对轴的矩
⒈ 实例
⒉ 定义 力使物体绕某一轴转动效应的量度,称为力对该 轴之矩.
m z(F ) m O (F x)y F xy d 2 O 'B '的 A 面积 它是代数量，正负规定 + –