的射影分别为椭圆 C1 、 C2 ，记椭圆 C1 、 C2 的离心率分别为 e1 、 e2 ，则 e12 e22 的
取值范围是（ ）
A. [1 , 3) 34
B. [1 , 5) 34
C. [1 , 3) 24
D. [1 , 5) 24
三. 解答题
17. 如图，直四棱柱 ABCD A1B1C1D1 的底面是菱形， AA1 4 ， AB 2 ， BAD 60 ， E 、 M 、 N 分别
2020-2021 学年上海中学高三上数学周测卷 01 2020.09
一. 填空题
1. 函数 y 4 log2 x 的定义域为 2. 复数 i(1+i) 的实部为 3. 计算： lim | 5n 20 |
n 2n 4. 已知等比数列{an} 各项均为正数，满足 a2 2 ， a8 a3 a5 ，则公比 q 5. 已知 f (x) 是定义在 R 上的周期为 3 的奇函数，且 f (2) 2 f (8) 1，则 f (2020) 的值
f60 (95) |120 95 | 25 . 由题意， f60 (x) {| 60 x |,|120 x |}min ，∴分类讨论，
当| 60 x | |120 x | ，即 x 90 时， f60 (x) | 60 x | ；当| 60 x | |120 x | ，
18.（1） T ；（2） f (x)max 1
3 2
，
f
( x)min
3 1
.
2
19.（1）投放点 1(120,0) ， 2 (60,0) ， f60 (10) 表示与 B(10,0) 距离最近的投放点（即 2 ）
的距离，∴ f60 (10) | 60 10 | 50 ，同理分析， f60 (80) | 60 80 | 20 ，
20.（1） x2 y2 1 ；（2） ( 4
62 ,
3 ) ；（3） y 1 (x 2
3) .
16 4
33
3
21.（1）6、3、8；（2）证明略；（3）存在.
5
在何处才能比建在中点时更加便利？
3
20.
x2 已知椭圆 C :
a2
y2 b2
1 （ a 0 ， b 0 ）的左右焦点分别为 F1 、 F2 ，过 F1 的直线 l
交椭圆 C 于 A 、 B
两点，其中△ ABF2 的周长为 16，且当 AB 与 x 轴垂直时， AB 的长为 2.（1）求椭圆 C 的
an1
an 2
an m
an为偶数 . an为奇数
（1）若 m 5 ，写出 a8 、 a9 、 a10 ；
（2）求证：数列{an} 单调递增的充要条件是 m 为偶数；
（3）若 m 为奇数，是否存在 n 1满足 an 1 ？请说明理由.
4
2020 上海中学高三上数学周测卷 01 参考答案
一. 填空题
该市的医院共可收治 4000 名新冠肺炎患者，若继续按照这样的规律发展，该市因新冠肺炎
疫情发生“医疗资源
挤兑”现象只需要约（ ）A. 7 天
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B. 10 天
C. 13 天
D. 16 天
16. 如图， 、 、 是由直线 l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角 l
大小为 60°， 在二面角 l 内绕直线 l 旋转，圆 C 在 内，且圆 C 在 、 内
{x1x2 | x1, x2 X } ；
与 X 相等的集合的序号是
9. 设函数 f (x) sin(x ) （ 0 ），若关于 x 的方程 f (x) 1在区间[0, ] 上有且仅 6
有两个不相等的实根，则 的最大整数值为
10. 已知正数 x 、 y 满足 x y 2 ，若 a x2 y2 恒成立，则实数 a 的取值范围是 x 1 y 2
给出下列结论：
①“水滴”图形与 y 轴相交，最高点记为 A ，则点 A 的坐标为 (0, 3) ； ② 在集合 P 中任取一点 M ，则 M 到原点的距离的最大值为 4； ③ 阴影部分与 y 轴相交，最高点和最低点分别记为 C 、 D ，则 | CD | 3 3 ；
其中正确的序号是
二. 选择题
13. 设 、 是非零向量，则“ 、 共线”是“
”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既非充分也非必要条件
14. 设函数 f (x) cos2 x bsin x ，则“ b 0 ”是“ f (x) 的最小正周期为 ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要
11. 已知 a,b R ，函数 f (x) x2 ax b | x2 ax b | 的最小值为 b2 ，则 b 的取值范围 2
是
12. 已知集合 P {(x, y) | (x cos )2 ( y sin )2 4,0 }，由集合 P 中
所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”，
标准方程；
（2）当 F2 AB 90 时，点 A 在 x 轴上方，求点 A 的坐标；
（3）若直线 AF2 交 y 轴于 M ，直线 BF2 交 y 轴于 N ，是否存在直线 l ，使得△ ABF2 的面
积与△ MNF2 的面积
相等？若存在，求出直线 l 的方程，若不存在，请说明理由.
21. 设 m 为正整数，各项均为正整数的数列{an} 定义如下： a1 1，
ft (x) 与坐标轴围成的面积如阴影部分所示，
∴ S 1 t2 1 (120 t)2 3 t2 60t 3600 ，
24
4
由题意， S S(60) ，即 3 t2 60t 3600 2700 ， 4
解得 20 t 60 ，即垃圾投放点 2 建在 (20,0) 与 (60,0) 之间时，比建在中点时更加便利
是 BC 、 BB1 、 A1D 的中点.
（1）证明： MN ∥平面 C1DE ；（2）求直线 AM 与平面 C1DE 所成角的大小.
2
18. 已知函数 f (x) 2sin(x )cos x . 3
（1）求函数
f
(x)
的最小正周期；（2）当
x [
,
] 时，求函数
f
(x)
的最大值与最小值.
即
x
90
时，
f60 (x)
| 120
x
| ；综上，
f60 (x)
| 60 x | |120 x
|
x 90 x 90
| t x | x 0.5(120 t)
（2）由题意， ft (x) {| t x |,|120 x |}min ，∴ ft (x) | 120 x |
， x 0.5(120 t)
44
19. 有一条长为 120 米的步行道 OA ， A 是垃圾投放点 1 ，若以 O 为原点， OA 为 x 轴正半
轴建立直角坐标系，
设点 B(x,0) ，现要建设另一座垃圾投放点 2 (t,0) ，函数 f1(x) 表示与 B 点距离最近的垃圾
投放点的距离.
（1）若 t 60 ，求 f60 (10) 、 f60 (80) 、 f60 (95) 的值，并写出 f60 (x) 的函数解析式； （2）若可以通过 f1(x) 与坐标轴围成的面积来测算扔垃圾的便利程度，面积越小越便利， 问：垃圾投放点 2 建
为
6. 已知向量
，
，则 在 上的投影为
7. 函数 y sin x cos x （ x R ）的单调递增区间为
8. 已知 Q 为有理数集，设集合 X {x | x a b 2, a,b Q, x 0}，在下列集合中：
①
{
2x | x X }；②
{2 | x X }；③ x
{x1 x2 | x1, x2 X }；④
条件
15. 当急需住院人数超过医院所能收治的病人数量时就会发生“医疗资源挤兑”现象，在新
冠肺炎爆发期间，境外某市每日下班后统计住院人数，从中发现：该市每日因新冠肺炎住院
人数均比前一天下班后统计的住院人数增加约 25%，但每日大约有 200 名新冠肺炎患者治
愈出院，已知该市某天下班后有 1000 名新冠肺炎患者住院治疗，
1. (0,16] 6. 5
2. 1
5
3.
2
7. [2k , 2k 3 ](k Z)
4
4
1
4. 2
5.
3
8. ①②④
9. 4
10. (, 4]
5
11. [0,1]
12. ①③
二. 选择题
13. B
14. C
15. C
16. C
三. 解答题
34 17.（1）证明略；（2） arcsin .
34