第五周周测试卷答案1.设集合S ＝{x |(x －2)(x －3)≥0}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝( ) A.[2，3] B.(－∞，2]∪[3，＋∞) C.[3，＋∞)D.(0，2]∪[3，＋∞)1.D [S ＝{x |x ≥3或x ≤2}，T ＝{x |x ＞0}，则S ∩T ＝(0，2]∪[3，＋∞).]2.命题“∀x ∈[0，＋∞)，x 3＋x ≥0”的否定是( ) A.∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ＜0 B.∀x ∈(－∞，0)，x 3＋x ≥0 C.∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0＜0 D.∃x 0∈[0，＋∞)，x 30＋x 0≥02.C [把全称量词“∀”改为存在量词“∃”，并把结论加以否定，故选C.]3. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧a ·2x，x ≥0，2－x ，x ＜0(a ∈R )，若f [f (－1)]＝1，则a ＝( )A.14B.12C.1D.23.A [因为－1＜0，所以f (－1)＝2－(－1)＝2，又2＞0，所以f [f (－1)]＝f (2)＝a ·22＝1，解得a ＝14.]4．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是( )(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11, lg 2≈0.30) A ．2018年 B ．2019年 C ．2020年D ．2021年解析：选B 设2015年后的第n 年，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由130(1＋12%)n ＞200，得1.12n ＞2013，两边取常用对数，得n ＞lg 2－lg 1.3lg 1.12≈0.30－0.110.05＝195，∴n ≥4，∴从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元．5. 对于图象上的任意点M ，存在点N ，使得OM →·ON →＝0，则称图象为“优美图象”.下列函数的图象为“优美图象”的是( ) A.y ＝2x ＋1 B.y ＝log 3(x －2) C.y ＝2xD.y ＝cos x5.D [在y ＝2x ＋1图象上取点M (0，2)，因为y ＝2x ＋1>0，所以在y ＝2x ＋1图象上不存在点N ，使OM →·ON →＝0，排除A ；在y ＝log 3(x －2)图象上取点M (3，0)，因为x >2，所以在y ＝log 3(x －2)图象不存在点N ，使OM→·ON →＝0，排除B ；在y ＝2x 图象上取点M (1，2)，在y ＝2x 图象上不存在点N ，使OM→·ON →＝0.排除C.故选D.]6.已知函数f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)和函数g (x )＝sin π2x ，若f (x )与g (x )两图象只有3个交点，则a 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，92 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，17∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，92 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，12∪(3，9) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫17，13∪(5，9) 6.D [函数g (x )＝sin π2x 的周期为T ＝2ππ2＝4，在同一直角坐标系中作出函数f (x )与g (x )两图象(如图)，要使两图象只有3个交点，当a >1时，须有log a 5<1且log a 9>1， 解得5<a <9；当0<a <1时，须有log a 3>－1且log a 7<－1， 解得17<a <13，则a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫17，13∪(5，9)，故选D.]7. 偶函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称，f (3)＝3，则f (－1)＝________. 7.38. 函数f (x )＝32x －a ·3x ＋2，若x >0时f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________.8. (－∞，22) [令3x ＝t (t >1)，∴f (t )＝t 2－a ·t ＋2>0即a <t ＋2t 恒成立，而t ＋2t ≥22当且仅当t ＝2时，等号成立， ∴a <2 2.]9.如果对定义在R 上的函数f (x )，对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，则称函数f (x )为“H 函数”.给出下列函数①y ＝e x＋x ；②y ＝x 2；③y ＝3x －sin x ；④f (x )＝⎩⎨⎧ln|x |，x ≠0，0，x ＝0.以上函数是“H 函数”的所有序号为________.9.②③ [∵对任意两个不相等的实数x 1，x 2，都有x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)恒成立，∴不等式等价为(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，即函数f (x )是定义在R 上的增函数.①函数y ＝e x ＋x 在定义域上为增函数，满足条件. ②函数y ＝x 2在定义域上不单调，不满足条件.③y ＝3x －sin x ，y ′＝3－cos x >0，函数单调递增，满足条件.④f (x )＝⎩⎨⎧ln|x |，x ≠0，x ，x ＝0.当x >0时，函数单调递增，当x <0时，函数单调递减，不满足条件.综上满足“H 函数”的函数为②③，故答案为：②③.]10. 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧|ln （－x ）|，x <0，x 2－4x ＋3，x ≥0，若H (x )＝[f (x )]2－2bf (x )＋3有8个不同的零点，则实数b 的取值范围为________.10.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [由题意知x <0时，y ＝f (x )－kx 只有一个零点，即k ＝－x ＋12>12；当x ≥0时，y ＝f (x )－kx 有两个零点，即方程k ＝ln （1＋x ）x有两个不同的实根；而ln(1＋x )<x ，所以k <1，所以实数k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.]29.(3，2] [f (x )＝⎩⎨⎧|ln （－x ）|，x <0，x 2－4x ＋3，x ≥0，的图象如图，若H (x )＝[f (x )]2－2bf (x )＋3有8个零点，则H (x )＝0有两个不同解，则0<f (x )≤3，令t ＝f (x )，则t 2－2bt ＋3＝0有两个不同解且0<t ≤3，令g (t )＝t 2－2bt ＋3，∴g (t )＝0在(0，3]上有两个不同解，∴⎩⎨⎧4b 2－12>0g （0）>0g （3）≥0⇒⎩⎨⎧b <－3或b >33>0b ≤2⇒3<b ≤2，∴b ∈(3，2].]11．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12(－x )，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数，所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4， 解得－5<x <5，即不等式的解集为(－5，5)．12. 已知函数f (x )＝(2－a )ln x ＋1x ＋2ax (a ∈R )． (1)当a ＝0时，求f (x )的极值； (2)求f (x )的单调区间．解析：(1)∵当a ＝0时，f (x )＝2ln x ＋1x ， f ′(x )＝2x －1x 2＝2x －1x 2(x >0)，∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数． ∴f (x )的极小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2－2ln2，无极大值．(2)f ′(x )＝2－a x －1x 2＋2a ＝(2x －1)(ax ＋1)x 2(x >0)．①当a ≥0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞上是增函数； ②当－2<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12和⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，＋∞ 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1a 上是增函数； ③当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上是减函数； ④当a <－2时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞和⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－1a 上是减函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ，12上是增函数．13. 知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数．解析：(1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }，∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)， ∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g(x)在(3，＋∞)单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点．故g(x)在(0，＋∞)只有1个零点．。