高三数学试题第I卷(选择题共40 分)符合题目要求的一项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出1•若集合A {x|0 x 3}，B {x| 1 x 2}，则AU B(A){x| 1 x 3} (C) {x|0 x 2} (B){x| 1 x 0} (D){x|2 x 3}2 .在复平面内，复数旦对应的点的坐标为1 i(A) (1,1) ( B) ( 1,1) (C) ( 1, 1) (D) (1, 1)3 .下列函数中，在区间(0,)上单调递增的是(A) y x 1 (B) y (x 1)2(C) y sinx 1(D) y x"4 •执行如图所示的程序框图，输出的S值为(A)2(B)6(C)30(D)2705 .若log 2 a log^b 2，则有(A) a 2b (B) b 2a (C) a 4b6 •一个棱长为2的正方体被一个平面截去一部分后，剩余几何体的三视图如图所示，则截去.的几何体是(A)三棱锥(B)三棱柱(C)四棱锥7.函数f (x) sin(xn )的图象记为曲线c.则“ f(o) f( n”是“曲线C关于直线x -对称”的xx210.已知双曲线—a2每1的一个焦点是F(2,0)，其渐近线方程为b3x , 该双曲线的方程是11.向量a,b 在正方形网格中的位置如图所示.如果小正方形网格的边长为1，那么a b _____ .12•在△ ABC 中，a 3, C , △ ABC 的面积为①空，则b ______________ ; c3 413.已知点M(x,y)的坐标满足条件x 1 < 0,x y 1> 0,设O 为原点，则 OM 的最小值是 x y 1 > 0.14.已知函数f(x)2x x, 2 w x w c,1若c 0 ,贝y f(x)的值域是, c x w 3. ；若 f(x)的值域是［丄,2］，则实数c 的取值范围是4第H 卷(非选择题共110 分)(A )充分而不必要条件 (B )必要而不充分条件 (D )既不充分也不必要条件&已知 A , B 是函数y2x的图象上的相异两点 .若点则点 A , B 的横坐标之和的取值范围是(A ) ( ,1)(B ) ( , 2) (C )1y 2的距离相等，(D) ( , 4)、填空题：本大题共 6小题，每小题5分，共30 分.9 .若函数f(x) x(x b)是偶函数，则实数b(C )充分必要条件 A , B 到直线 (,3)三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分13分)已知函数f (x) 2sin2 x cos(2x n).(I)求f (x)的最小正周期；(n)求证：当x [0,n]时，f (x) > 丄.2 216. (本小题满分13分)1已知数列｛a n｝是公比为-的等比数列，且a2 6是印和a3的等差中项.3(I)求｛a n｝的通项公式；(n)设数列｛a n｝的前n项之积为T n，求T n的最大值.17. (本小题满分13分)某市高中全体学生参加某项测评，按得分评为A, B两类(评定标准见表1).根据男女学生比例，使用分层抽样的方法随机抽取了10000名学生的得分数据，其中等级为A1的学生中有40%是男生，等级为A的学生中有一半是女生.等级为A和A的学生统称为A类学生，等级为B1和B2的学生统称为B类学生.整理这10000名学生的得分数据，得到如图2所示的频率分布直方图.表1 图2(I)已知该市高中学生共 20万人，试估计在该项测评中被评为 A 类学生的人数；(n)某5人得分分别为45,50,55,75,85 .从这5人中随机选取2人组成甲组，另外 3人组成乙组，求“甲、乙两组各有1名B 类学生”的概率；(川)在这10000名学生中，男生占总数的比例为 51% , B 类女生占女生总数的比例为 k i , B类男生占男生总数的比例为 k 2 .判断k 1与k 2的大小.(只需写出结论)18. (本小题满分14分)如图，在三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，AB 平面AA 1C 1C , AA 1 AC .过AA 1的平面交B 1C 1 于点E ，交BC 于点F .(I)求证：AC 平面ABC 1 ; (n)求证：AA//EF ;A 20 <x 5019. (本小题满分14分)(I)求椭圆C 的方程及离心率；(n)设点Q 在椭圆C 上.试问直线x y 4 0上是否存在点P ，使得四边形PAQB 是平 行四边形？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，说明理由.20. (本小题满分13分)已知函数f(x) x 2lnx 2x .(I)求曲线y f(x)在点(1,f(1))处的切线方程； (n)求证：存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o ,f(x o ))处的切线的斜率为f(2) f(1)；(川)比较f(1.01)与2.01的大小，并加以证明.(川)记四棱锥BAA 1 EF 的体积为V ,三棱柱 ABC的值.2 2已知椭圆C:务告1(aa 2b 2b 0)过 A(2, 0) , B(0,1)两点.ABC 的体积为V.若v i '求北京市西城区2017 —2018学年度第一学期期末高三数学(文科)参考答案及评分标准2018.1一、选择题: 本大题共8小题，每小题5分，共40分.1. A2. B3. D4. C5. C6. B7. C8. B二、填空题: 本大题共6小题，每小题5分，共30分.29. 010. x2- 111. 43.2 1 112. 1 ; .1313. 14. [ —, ) ；[―,1]2 4 2注：第12, 14题第一空2分，第二空3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分15. (本小题满分13分)解：(I)因为f(x) 2sin2x cos(2x n)3n n1 cos2x (cos2x cos sin 2x sin ) ［ 4 分］3 33sin2x -cos2x 1 ［ 5 分］2 2 3sin(2 x16. (本小题满分13分)解：(I)因为a 2+ 6是a 1和a 3的等差中项，所以 2(a 2 6) a 1 a 3. ［ 2 分］1因为数列｛a n ｝是公比为1的等比数列，3所以2(旦6) a 1去,［4分］3 9解得a 1 27 . ［ 6分］所以 an d q n1 (3)n 4. ［ 8分］(n)令 a n > 1，即(^广4》1，得 n < 4 , ［10 分］3故正项数列｛a n ｝的前3项大于1,第4项等于1，以后各项均小于1. ［11分］ 所以当n 3，或n 4时，T n 取得最大值，［12分］ T n 的最大值为T 3 T 4耳a 2 a 3 729 . ［13分］17. (本小题满分13分) 解：(I)依题意得，样本中B 类学生所占比例为(0.02 0.04) 10 60% , [ 2分]所以A 类学生所占比例为 40% . [ 3分]所以 f(x)的最小正周期T2n~2 (n)因为2x所以 sin(2x¥，［12分］所以 f(x) >2.［13分］因为全市高中学生共20万人，所以在该项测评中被评为A类学生的人数约为8万人.[4分](H)由表1得，在5人(记为a,b, c, d,e)中，B类学生有2人(不妨设为b, d ).将他们按要求分成两组，分组的方法数为10种.[6分]依次为：(ab,cde),(ac,bde),( ad,bce),(ae,bcd),(bc, ade),(bd,ace),(be, acd),( cd,abe), (ce,abd),(de,abc) . [ 8 分]所以“甲、乙两组各有一名B类学生”的概率为6 3. [10分]10 5(川)k1 k2. [ 13 分]18. (本小题满分14分)解：(I)因为AB 平面AA1C1C，所以AC AB . [2分]在三棱柱ABC A1B1C1中，因为AA1 AC，所以四边形AA1C1C为菱形，所以AC AC1 . [3分]所以AC 平面ABC1. [5分](H)在三棱柱ABC A1B1C1中，因为A1A//B1B , A1A 平面BB1C1C , [6 分]所以A,A〃平面BB1C1C . [8分]因为平面AA1EF I平面BB1C1C EF ,所以AA//EF . [10 分](川)记三棱锥B1 ABF的体积为V，三棱柱ABF 厲B1E的体积为V3.因为三棱锥B1 ABF与三棱柱ABF A1B1E同底等高，所以业1, [11分]V3 3所以百1冷2V3 V3 3V 3 13 1 . 所以一 .[12分]V 6 2 4ABE 与三棱柱 ABC A i B 1C 1等高,所以△ ABF 与厶ABC 的面积之比为19. （本小题满分14分）解：（I ）由题意得，a 2, b 1 . ［2分］2 所以椭圆C 的方程为—y 21 . ［3分］4设椭圆C 的半焦距为c ，则c . —b 2 3 , ［ 4分］ 所以椭圆C 的离心率e -乜.［5分］a 2(H)由已知，设 P(t,4 t) , Q(x 0,y 0)18 2此时P （—,），或P （2,2） •经检验，符合四边形 PAQB 是平行四边形,5 518 2所以存在P （7，），或P （2,2）满足题意.［14分］5 520. （本小题满分13分）解：(I)函数f(x) x 2lnx 2x 的定义域是(0,),导函数为 f (x) 2xln x x 2．［ 1 分］若PAQB 是平行匹 【边形, 则 uua PA uu u PB所以（2t,t 4) (t,t 3) (X 0 t, 整理得 X 02 t,y ot 3 .[10分］将上式代弋入 2 X 4y 024 ,得(2t)2 4(t 3)2 4 , [11 分]整理得 5t 2 28t 36 0 ,解得t 18 或t2 . [13 分］5uurPQ , [ 8 分]y 0 4 t), 因为V 1, 因为三棱柱ABF所以BFBC所以 f (1) 1，又f (1) 2 ，所以曲线y f (x)在点(1,f (1))处的切线方程为y x 1 . ［ 3分］(n)由已知f(2) f (1) 41 n 2 2 . ［ 4 分］所以只需证明方程2xln x x 2 4ln2 2在区间(1,2)有唯一解．即方程2xlnx x 4ln2 0在区间(1,2)有唯一解．［ 5分］设函数g(x) 2xln x x 4ln 2，［ 6 分］则g (x) 2ln x 3 ．当x (1,2)时，g (x) 0，故g(x)在区间(1,2)单调递增.［7分］又g(1) 1 4ln 2 0，g(2) 2 0，所以存在唯一的x0 (1,2)，使得g(x0) 0．［ 8分］综上，存在唯一的x o (1,2)，使得曲线y f(x)在点(x o,f(x。