x ∈R n2 ( Ax, x) ,J ( x + x) = ϕ (1) = ϕ (0) + ( Ax, x) > J ( x ) ,因此 x 是 J ( x ) 的最小值点.(4 分)2 二（10 分）、对于两点边值问题： ⎨dx dx a(u , v) = ⎰b( p . + q u v)dx = ⎰b fvdx = f (v) , ∀ v ∈ H 1 (a , b )dx dx a a偏微分方程数值解一（10 分）、设矩阵 A 对称正定，定义 J ( x ) = 1 ( Ax , x ) - (b , x ) ( x ∈ R n ) ，证明下2列两个问题等价：(1)求 x ∈ R n 使 J ( x ) = min J ( x ) ;(2)求下列方程组的解：Ax = b解: 设 x ∈ R n 是 J ( x ) 的最小值点,对于任意的 x ∈ R n ,令ϕ(λ) = J ( x + λx) = J ( x ) + λ( Ax - b , x) +λ2(3 分)因此 λ = 0 是 ϕ(λ) 的极小值点 , ϕ ' (0) = 0 ,即对于任意的 x ∈ R n , ( Ax - b , x) = 0 ,特 0别取 x = Ax - b ,则有 ( Ax - b , Ax - b ) =|| Ax - b || 2 = 0 ,得到 Ax = b . (3 分)0 0反 之 , 若x ∈ R n满 足Ax = b, 则 对 于 任 意 的 x,10 0 0评分标准: ϕ(λ) 的表示式 3 分, 每问 3 分,推理逻辑性 1 分⎧d du ⎪Lu = - ( p ) + qu = f x ∈ (a, b )⎪⎩ u (a) = 0, u (b ) = 0其中 p ∈ C 1 ([a , b ]), p ( x ) ≥ min p ( x ) = px ∈[a,b ]min> 0, q ∈ C ([a , b ]), q ≥ 0, f ∈ H 0 ([a , b ])建立与上述两点边值问题等价的变分问题的两种形式：求泛函极小的 Ritz 形式和Galerkin 形式的变分方程。
解 : 设 H 1 = {u | u ∈ H 1 (a , b ), u (a ) = u (b ) = 0} 为求解函数空间 , 检验函数空间 . 取v ∈ H 1 (a, b ) ,乘方程两端,积分应用分部积分得到(3 分)du dv即变分问题的 Galerkin 形式.(3 分)1h2+h2=-1(5分)应用T ayloy展开得到,截断误差为h[∂u+∂u]+O(h4),其阶为O(h2)(3分)A=,F=(4分)0-1-11(3)矩阵为⎪,⎪B= ⎪⎪ -14⎪⎭-14-1令J(u)=1a(u,u)-(f,u)=1⎰b[p(du)2+qu2-fu]dx,则变分问题的Ritz形式为22a dx求u*∈H1(a,b),使J(u*)=m in J(u)0u∈H(4分)评分标准:空间描述与积分步骤3分,变分方程3分,极小函数及其变分问题4分,三（20分）、对于边值问题⎧∂2u∂2u⎪+⎨∂x2∂y2=-1,(x,y)∈G=(0,1)⨯(0,1)⎪⎩u|∂G=0（1）建立该边值问题的五点差分格式（五点棱形格式又称正五点格式），推导截断误差的阶。
（2）取h=1/3，求边值问题的数值解（写出对应的方程组的矩阵形式，并求解）（3）就取h=1/N的一般情况写出对应方程组的系数矩阵（用分块矩阵表示）。
解:(1)区域离散x=jh,y=kh,差分格式为j kuj+1,k -2u+ujk j-1,kuj,k-1-2u+ujk j,k+124412∂x4∂y4jk(2)未知量为U=(u,u,u,u)T,矩阵形式为AU=F,其中11122122⎛4-1-10⎫⎛1⎫⎪ ⎪-140-1⎪1 1⎪-104-1⎪9 1⎪⎪ ⎪⎝4⎭⎝⎭解为u=1(1,1,1,1)T(3分)18⎛B -I ⎝-IB-I-I⎫⎛4-1⎫⎪ ⎪⎪⎪ ⎪B⎭⎝(5分)⎪ = a 四（20 分）、对于初边值问题 ⎪⎨ u ( x ,0) = ϕ ( x ), 0 < x < 1 τ= a 应 用 T a y l o 展 开 得 到 , 误 差 主 项 为 1 ( ∂ u ) k τ - ah ( ∂ u ) k + O (τ 2 + h 4 ) , 阶 为 r τ= aδ 2 (θu k +1 + (1 - θ )u k ) , (3 分)h 2 x 当 θ ≥ 1 格式恒稳定,当 θ < 1 ,稳定条件为 r ≤评分标准:第 1 问 8 分,格式 4 分,截断误差 4.(2) 7 分,方程 4 分,解 3 分.(3)5 分, 形式 3 分,B 的形式 2 分⎧ ∂u ∂ 2u, 0 < x < 1,0 < t ≤ T∂t ∂x 2⎪ u(0, t ) = u (1, t ) = 0,0 ≤ t ≤ T ⎪ ⎩（1）建立向前差分格式（最简显格式），推导截断误差的主项，指出误差阶;（2）写出差分格式的矩阵形式（即 AU k +1 = BU k + τ F 的形式），用矩阵方法分析 格式的稳定性（3）建立六点加权格式，写出计算形式，应用Fourier 方法（分离变量法）分析格式的稳定性。
解:(1) 区域离散,格式为u k +1 - u kj j1δ 2u k h 2 x j, (5 分)2 2 42 ∂t 2 j 12 ∂x 4 jO(τ + h 2)(3 分)(2) A = E, B = diag {r,1 - 2r, r } ,(4 分)稳定条件为 r ≤ 1/ 2(3 分)(3) 格式为u k +1 - u kj jj j1 2 2 1 - 2θ(2 分)五（10 分）、逼近 ∂u + a ∂u = 0 的三层差分格式j j -1 = 0 + a j +1⎨ n +j 1 ⎪⎩v 1 ⎪ = ⎪⎪ 1 ⎪ 1 0 ⎭⎝ w n ⎭w n +1 ⎪放大矩阵为 G = ⎛ ,特征方程为 | λE - G |=0 ⎪⎭ 1u n +1 - u n -1u n - u n j∂t ∂x 2τ2h分析格式的稳定性解:计算形式为 u n +1 = -ar(u n - u n ) + u n -1j j +1j -1j此为三层格式,化为两层格式.令 v n +1 = u n ,则有j j⎧⎪ u n +1 = -ar (u n - u n ) + v n j +1 j -1 j = u njj令 u n = w n e i αjh , v n = w n e i αjh ,代入格式,消去公因子,得到j 1j2⎛ w n +1 ⎫ ⎛ - 2iar sin α h 1 ⎫⎛ w n ⎫ ⎝ 2 ⎭ ⎝ 2- 2ar sin α hi 1 ⎫ ⎝(2 分)(4 分)(2 分)λ + 2ar sin αhi - 1 - 1 λ= λ2 + 2ar sin αhi λ - 1 = 0 , λ 1,2 - 2ar sin αh ± 4 - 4a 2 r 2 sin 2 αh= i2λ λ = 1 , max{| λ |,| λ |} ≤ 1 的充要条件为方程有相同的复根或一对共扼复根 ,即1 2 12∆ = 4 - 4a 2 r 2 sin 2 α h ≥ 0 .考虑到 α 的变化,稳定条件为 | ar |≤ 1 (2 分)六（10分）、建立波动方程∂u=a2∂u的初值问题的显格式，推导截断误差.截断误差为1⎛ ∂u⎫⎪τ2-a2⎛ ∂u⎫⎪h2+O(τ4+h4),阶为O(τ2+h2)4412 ∂t4⎪ ∂x4⎪七（10分）、对于二维抛物型方程∂u=a(∂u+∂u)建立向后差分格式（隐格式），τ=a(δ2u n+1+δ2u n+1)(4分) h2h2+b2h+cu k(a>0) 22∂t2∂x2解:差分格式为u n+1-2u n+u n-1j j jτ2=a21δ2u n,(5分)h2x jn nj ⎝⎭j(5分)22∂t∂x2∂y2指出截断误差阶，分析格式的稳定性。
解:差分格式为u n+1-u njk jkx jk y jk误差阶为O(τ+h2)(3分)放大因子为G(α,β,τ)=1,恒稳定.(3分)αhβh1+4r sin2+4r sin222八（10分）、分析差分格式u k+1-u k j jτ=au k-2u k+u kj+1j j-1u k-u kj+1j-1j的稳定性解:写出计算形式,忽略低阶项2分,写出放大因子3分条件 4μ - 2λ ≥ 0 可以写成 a τ ≤ 1 。
第二个条件可化为 2ντ ≤ 1 ，因此差分格式稳≤ 1, ≤ 1 (3 分)| G |= λ2 sin 2 kh + 1 - 4μ(1 - cos kh) + 4μ 2 (1 - cos kh)2= λ2 (1 - cos kh)(1 + cos kh) + 1 - 4μ(1 - cos kh) + 4μ 2 (1 - cos kh)2= 1 - (1 - cos kh)[4μ - 4μ 2 (1 - cos kh) - λ2 (1 + cos kh)](2 分)von Neumann 条件 | G |≤ 1 变为4μ - 4μ 2 (1 - cos kh) - λ2 (1 + cos kh) ≥ 0即 4μ - 2λ2 - (4μ 2 - λ2 )(1 - cos kh ) ≥ 0只需4μ - 2λ2 ≥ 0,2(λ2 - 4μ 2 ) + 4μ - 2λ2 ≥ 022ν h 2定的条件是a 2τ 2ντ2ν h 2。