第六章要求与练习
一、学习要求
1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示.
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法.
（平7
1
（1
（2AB的模；）AB方向上的单位向量
解：1）AB=，AB分别在轴的投影为-3，在8，在z 轴上的分向量2k；（2）AB=77
（4）AB方向上的单位向量12)k.
2、设向量a和b夹角为5=，||8
b=，求|
解：()2220
+=+=++=129，
a b a b a b a b
||||||2||||cos60
()2220
a b a b a b a b
-=-=+-=7.
||||||2||||cos60
3、已知向量{2,2,1}
b=-，求
a=，{8,4,1}
（1）平行于向量a的单位向量；（2）向量b的方向余弦.
解（1）2223
a=+=平行于向量a的单位向量221
±；
{,,}
333
（2）2849
b=+=，向量b的方向余弦为：841
-.
,,
999
4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标.
解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求
（1）垂直于a 和b 的单位向量；（2）向量a 在b 上的投影； （3解（）()6,1,10,137c a b c =⨯=--=，
（2()4
cos ,17
a b a b a b
⋅==⋅；
（3()
sin ,137a b a b a b ⨯=⋅=()
4
,1751
a b =
60b c +=，||3a =，||2b =，||4c =，求a b b c c a ++.
解：(
)
2
22220a b c
a b c a b b c c a ++=+++++=，所以a b b c c a ++=29/2-7、求参数k ，使得平面29x ky z +-=分别适合下列条件： （1（3解：8解：设平面方程为：0Ax By D ++=，将(1,5,1)P -和(3,2,1)Q -代入求得1,1, 2.A B D ===-该平面方程为：20x z +-=.
9、已知平面过(0,0,0)O 、(1,0,1)A 、(2,1,0)B 三点，求该平面方程.
解：设平面方程为：0Ax By Cz ++=，将(1,0,1)A 、(2,1,0)B 代入平面方程得，
1,2,1,A B C ==-=-，该平面方程为20x y z --=.
10、求过点(1,2,1)M ，且垂直于已知两平面0x y +=与510y z +-=的平面方程. 解：两平面的法向量为：()()121,1,0,0,5,1n n ==，所示平面的法向量为：
()()()121,1,00,5,11,1,5n n n =⨯=⨯=-，则所示的平面方程为：540x y z -+-=.
11、把直线1
24x y z x y z -+=⎧⎨
++=⎩
化为对称式方程及参数方程.
解：两平面的法向量为：()()121,1,1,2,1,1n n =-=，则直线的方向向量为：
1s n =，参数12解：()(1,2,2,0,1,n n ==-为：
1s n =，则直线方程为：2234t t t
=-=+=+ 13为：
(2，0，4)，所以直线方程为：231
204x y z -++==，即30
2124
y x z +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩.
14．将xoz 坐标面上的抛物线x z 52=绕x 轴旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程。
解：由坐标面上的曲线绕一坐标轴旋转时生成的曲面方程的规律，所得的旋转曲面的方程为
()x z
y 52
2
2=+±
，即x z y
522
=+。
15．画出下列各方程所表示的曲面：
(1)2
2
2
22⎪⎭
⎫ ⎝⎛=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-a y a x ；(2)14922=+z x ；(3)22x z -=。
指出下列
2=x ；1+x ；
4
=；
(1)14
222
=+-z y x ；(2)()222
y x a z +=-。
解：(1)由xoy 坐标面上的双曲线14
2
2
=-y x ，绕y 轴旋转一周或是yoz 坐标面上的双曲线14
22=+-z y ，绕y 轴旋转一周得到。
(2)是yoz 坐标面上关于z 轴对称的一对相交直线()22
y a z =-，即a y z +=和a y z +-=中之一
条绕z 轴旋转一周；或是xoz 坐标上关于z 轴对称的一对相交直线()22
x a z =-，即a x z +=和
a x z +-=中之一条，绕z 轴旋转一周。
18．指出下列方程组在平面解析几何与空间解析几何中分别表示什么图形？
(1)⎩⎨⎧-=+=3215x y x y ；(2).3
19
42
2⎪⎩
⎪⎨⎧==+y y x
圆柱面
42+x 92
=，即
22x z 轴的。