6、函数之函数的单调性函数单调性的相关知识点：一：函数的单调性的定义。

（设函数)(x f y =的定义域为I ）。

1.增函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。

当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是增函数。

相应的区间D 为函数)(x f 的单调递增区间。

2.减函数：如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值2121x x x x <，且、。

当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,那么称函数)(x f 在区间D 上是减函数。

相应的区间D 为函数)(x f 的单调递减区间。

3.单调性：如果一个函数)(x f 在某个区间上是增函数或是减函数，就说这个函数)(x f 在这个区间上具有单调性，或者说函数在区间上是单调的。

二：证明或判断单调性的方法与步骤。

1. 定义法：（1）取值。

（2）作差变形。

（3）定号。

（4）下结论。

2. 导数法：（1）求导。

（2）判断导函数f ′(x )的符号。

若f ′(x ) > 0，则函数为增函数。

若f ′(x ) < 0，则函数为减函数。

3. 图像法：主要用来判断。

三：函数单调性的有关性质。

若函数)()(x g x f 、在区间D 上具有单调性，则在区间D 上具有以下性质。

1. 函数C x f x f +)()(与具有相同的单调性。

2. 函数)()(x af x f 与，当0>a 时，具有相同的单调性，当0<a 时，具有相反的单调性。

3. 当函数)(x f 恒不等于0时。

函数)()(1x f x f 与具有相反的单调性。

4. 当函数0)(≥x f 时。

函数)()(x f x f 与具有相同的单调性。

5. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则：)()(x g x f +为某个区间上的增（减）函数。

6. 若)(),(x g x f 均为某个区间上的增（减）函数，则)()(x g x f •：当两者都恒大于零时，是增（减）函数；当两者都恒小于零时，是减（增）函数。

7. 奇函数在原点的两侧具有相同的单调性，偶函数在原点的两侧具有相反的单调性。

8. 互为反函数的两个函数具有相同的单调性。

9. 若)(x f 在区间D 上为增函数，且D x x ∈21,。

则：()[]0)()()3(0)()()()2()()(1212121212121>-->-⋅-<⇔<x x x f x f x f x f x x x f x f x x10. 若)(x f 在区间D 上为减函数，且D x x ∈21,。

则：()[]0)()()3(0)()()()2()()(1212121212121<--<-⋅->⇔<x x x f x f x f x f x x x f x f x x题型一、判断基本初等函数的单调性1、下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是( ) A ．y ＝1－x 2 B ．y ＝x 2＋x C ．y ＝－－x D ．y ＝x x －1答案 D解析 选项D 中，y ＝x x －1＝1＋1x －1.易知其在(－∞，1)上为减函数．故选D ．2、下列四个函数中，在定义域上不是单调函数的是( ) A ．y ＝－2x ＋1 B ．y ＝1x C ．y ＝lg x D ．y ＝x 3答案 B解析 y ＝－2x ＋1在定义域R 上为单调递减函数；y ＝lg x 在定义域(0，＋∞)上为单调递增函数；y ＝x 3在定义域R 上为单调递增函数；y ＝1x 在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数，但在定义域内不单调，故选B ．3、函数f (x )＝log 0.5(x ＋1)＋log 0.5(x －3)的单调递减区间是( )A ．(3，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－∞，－1) 答案 A解析 由已知易得⎩⎨⎧x ＋1>0，x －3>0，即x >3，又0<0.5<1，∴f (x )在(3，＋∞)上单调递减．四：复合函数单调性的判断方法：1. 复合函数的定义：形如：[])(x g f y =的函数称为复合函数。

令：)(x g t =称为内层函数。

)(t f y =为外层函数。

2. 判断方法。

（同增异减）题型二、用定义判断函数的单调性。

1、讨论函数xx x f 1)(+=的单调性（引出对勾函数模型）2、证明：函数1)(3+-=x x f 在),(+∞-∞上是减函数。

3、判断函数g (x )＝－2xx －1在(1，＋∞)上的单调性．题型三、求函数的单调区间。

类型1、数形结合求函数的单调区间。

1、函数f (x )＝|x －2|x 的单调递减区间是( )A ．[1,2]B ．[－1,0]C ．[0,2]D ．[2，＋∞)答案 A解析 由于f (x )＝|x －2|x ＝⎩⎨⎧x 2－2x ，x ≥2，－x 2＋2x ，x <2.结合图象可知函数的单调递减区间是[1,2]．2、求函数 y ＝－x 2＋2|x |＋1 的单调区间： 解 由于y ＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0，即y ＝⎩⎨⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0.画出函数图象如图所示．由图象可知，函数的单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1，0]和[1，＋∞)．3、求函数 f (x )＝|x 2－4x ＋3| 的单调区间：解 先作出函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，由于绝对值的作用，把x 轴下方的部分翻折到上方，可得函数y ＝|x 2－4x ＋3|的图象．如图所示．由图可知f (x )在(－∞，1]和[2,3]上为减函数，在[1,2]和[3，＋∞)上为增函数，故f (x )的增区间为[1,2]，[3，＋∞)，减区间为(－∞，1]，[2,3]．4、32)(2++-=x x x f5、)1()(-=x x x f6、9696)(22++++-=x x x x x f7、如果函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间]4,(-∞上减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A ：3-≤a B ：3-≥a C ：5≤a D ：5≥a8、若2)(+-=b x x f 在),0[+∞上是增函数，则实数b 的取值范围是 0≤b 。

类型2、复合函数单调区间的求法。

1、求函数y ＝log 12(x 2－3x ＋2)的单调区间：解 令u ＝x 2－3x ＋2，则原函数可以看作y ＝log 12 u 与u ＝x 2－3x ＋2的复合函数．令u ＝x 2－3x ＋2>0，则x <1或x >2.∴函数y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的定义域为(－∞，1)∪(2，＋∞)．又u ＝x 2－3x ＋2的对称轴x ＝32，且开口向上，∴u ＝x 2－3x ＋2在(－∞，1)上是单调减函数，在(2，＋∞)上是单调增函数． 而y ＝log 12u 在(0，＋∞)上是单调减函数，∴y ＝log 12 (x 2－3x ＋2)的单调递减区间为(2，＋∞)，单调递增区间为(－∞，1)．2、求函数f (x )＝13－2x －x 2的单调区间：解 ∵3－2x －x 2>0，∴－3<x <1.由二次函数图象(图略)可知f (x )的递减区间是(－3，－1]，递增区间为[－1,1)．3、函数)4(log )(231x x x f -=的单调递增区间为 。

4、函数)32(log )(221+--=x x x f 的单调递减区间为 。

5、函数xxx f +-=11)(的递减区间是 。

6、函数5422)(++-=x x x f 的递增区间 。

7、函数f (x )＝x 2＋x －6的单调增区间是类型3、导数法求函数的单调区间。

1、函数42)(23++-=x x x x f 的单调递增区间 。

2、函数x x x f ln 2)(-=的减区间 。

题型四、利用函数的单调性比较大小1、已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c >a >bB ．c >b >aC ．a >c >bD ．b >a >c答案 D解析 由题意知y ＝f (x )图象关于x ＝1对称，且当x >1时，y ＝f (x )是减函数，∵a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，∴f (2)>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12>f (3)，即b >a >c ，故选D ．2、设函数f (x )＝x 2＋x ＋a (a >0)满足f (m )<0，则( )A ．f (m ＋1)＝0B ．f (m ＋1)≤0C ．f (m ＋1)>0D ．f (m ＋1)<0 答案 C解析 ∵f (x )图象的对称轴为x ＝－12，f (0)＝f (－1)＝a ，∴f (x )的大致图象如图所示．结合图象，由f (m )<0，得－1<m <0，∴m ＋1>0，∴f (m ＋1)>f (0)>0.故选C ．3、已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上是增函数，则f (－1)与f (a 2－2a ＋3)的大小关系是( )A．f(－1)≥f(a2－2a＋3)B．f(－1)＝f(a2－2a＋3)C．f(－1)>f(a2－2a＋3)D．f(－1)<f(a2－2a＋3)答案D解析a2－2a＋3＝(a－1)2＋2≥2，由偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上是增函数，可得f(－1)＝f(1)<f(a2－2a＋3)，故选D．题型五、利用单调性求参数的值或范围1、若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为()A．－3B．－2C．－1D．1答案B解析∵f(x)＝(x－1)2＋m－1，∴f(x)在[3，＋∞)上是增函数，f(x)min＝f(3)＝3＋m，∵3＋m＝1，∴m＝－2.2、已知函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，－1]C．[－1，＋∞)D．[1，＋∞)答案A解析因为函数f(x)在(－∞，－a)上是单调函数，所以－a≥－1，解得a≤1.故选A．3、函数y＝－2x2－4ax＋3在区间[－4，－2]上是单调函数，则a的取值范围是()A．(－∞，1]B．[4，＋∞)C．(－∞，2]∪[4，＋∞)D．(－∞，1]∪[2，＋∞)答案C解析函数y＝－2x2－4ax＋3的图象的对称轴为x＝－a，由题意可得－a≤－4或－a≥－2，解得a≤2或a≥4，故选C．4、若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞) D ．(0,1]答案 D解析 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．故选D ．5、已知f (x )＝⎩⎨⎧(3a －1)x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1答案 C解析 由f (x )在R 上单调递减， 则有⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，(3a －1)＋4a ≥0，解得17≤a <13.6、函数y ＝2－x x ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)答案 D解析 ∵函数y ＝2－x x ＋1＝3－x －1x ＋1＝3x ＋1－1，∴当x ∈(－1，＋∞)时，函数是减函数，又当x ＝2时，y ＝0，∴－1≤m <2，故选D ．7、已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)答案 C解析 要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C ．8、设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0，若f (0)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2]答案 D解析 ∵当x >0时，f (x )的最小值为f (1)，∴当x ≤0时，f (x )的最小值为f (0)，∴⎩⎨⎧a ≥0，a 2≤2＋a ，即⎩⎨⎧a ≥0，a 2－a －2≤0，解得0≤a ≤2.9、设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，已知m >0，n <0，且f (m )<f (n )，那么一定有( )A ．m ＋n <0B ．m ＋n >0C ．f (－m )>f (－n )D ．f (－m )·f (－n )<0答案 B解析 因为m >0，所以－m <0.由函数f (x )为偶函数，得f (m )＝f (－m )，故不等式f (m )<f (n )可化为f (－m )<f (n )．又函数f (x )在(－∞，0)上是增函数，－m <0，n <0，所以－m <n ，即m ＋n >0.故选B ．10、若f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，则( )A ．f (3)<f (1)<f (－2)B ．f (3)<f (－2)<f (1)C ．f (－2)<f (1)<f (3)D ．f (1)<f (－2)<f (3)答案 B解析 ∵对任意的x 1，x 2∈[0，＋∞)且x 1≠x 2，有f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1<0，∴当x ≥0时，函数f (x )为减函数，∴f (3)<f (2)<f (1)，又f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴f (3)<f (－2)<f (1)．故选B ．11、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，ax，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)答案 C解析由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥1，a <0，－1－a －5≤a ，解得－3≤a ≤－2，即实数a 的取值范围为[－3，－2]．12、已知函数f (x )＝e |x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是________.答案 (－∞，1]解析 f (x )＝⎩⎨⎧e x －a ，x ≥a ，e a －x ，x <a ，当x ≥a 时，f (x )单调递增，当x <a 时，f (x )单调递减，又f (x )在[1，＋∞)上是增函数，所以a ≤1.13、是否存在实数a ，使函数f (x )＝log a (ax 2－x )在区间[2,4]上是增函数？如果存在，求a 的范围．a > 114、若ax x x f 2)(2+-=与1)(+=x ax g 在区间上都上[1,2]减函数，则实数a 的取值范围是( )A ：)1,0()0,1( -B ：]1,0()0,1( -C ：)1,0(D ：]1,0(15、已知)2log()(ax x f -=在[0,1]上是减函数，则a 取值范围是（ ） A ：)1,0( B ：)2,1( C ：)2,0( D ：),2[+∞ 16、已知21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上是增函数，则a 取值范围是 a > 1/2 。