函数的单调性__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________1、 通过已学过的函数模型，特别是二次函数，理解函数的单调性；2、 掌握单调性的判断方法，并能简单应用；一、函数单调性的定义1、图形描述：对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上，若其图像为从左到右的一条上升的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递增函数；若其图像为从左到右的一条下降的曲线，我们就说函数)(x f 在区间D 上为单调递减函数。

2、定量描述对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值21,x x ， （1）若当1x <2x 时，都有1()f x <)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是增函数； （2）若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在区间D 上是减函数。

3、单调性与单调区间若函数y =)(x f 在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f 在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f 的单调区间。

此时也说函数是这一区间上的单调函数。

在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的。

特别提醒：1、函数是增函数还是减函数，是对定义域内某个区间而言的。

有的函数在一些区间上是增函数，而在另一些区间上不是增函数.例如函数2x y =（图1），当[)0,x ∈+∞时是增函数，当(],0x ∈-∞时是减函数。

而有的函数在整个定义域上都是单调的。

2、函数的单调区间是其定义域的子集；3、21,x x 应是该区间内任意的两个实数，忽略需要任意取值这个条件，就不能保证函数是增函数（或减函数）。

二、用定义证明函数的单调性：定义法证明函数在某个区间上是增（减）函数是最基本方法其步骤是： 1、取量定大小：即设21,x x 是区间上的任意两个实数，且1x <2x ；2、作差定符号：即()()12f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形；3、判断定结论： 即根据定义得出结论。

三、判断较复杂函数的单调性的几条有用的结论 1、函数()y f x =-与函数()y f x =的单调性相反 2、当()f x 恒为正或恒为负时，函数()1y f x =与函数()y f x =的单调性相反 3、在公共区间内，增函数+增函数=增函数，增函数-减函数=增函数，减函数-增函数=减函数。

四、复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有以上规律还可总结为：“同增异减”。

类型一用定义证明函数的单调性例1：证明：函数f (x )＝2x 2＋4x 在(－∞，－1]上是减函数． 解析：设x 1<x 2≤－1，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(2x ＋4x 2)－(2x ＋4x 1) ＝2(x －x )＋4(x 2－x 1) ＝2(x 2－x 1)(x 1＋x 2＋2)．∵x 1<x 2≤－1，x 1＋x 2＋2<0，∴Δy <0. ∴f (x )在(－∞，－1]上是减函数． 答案：见解析练习1：证明函数f (x )＝－x 在定义域上是减函数答案：设x 1、x 2是[0，＋∞)内的任意两个实数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝－x 2－(－x 1)＝x 1－x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2x 1＋x 2＝x 1－x 2x 1＋x 2.∵x 1－x 2＝－Δx <0，x 1＋x 2>0，Δy <0. ∴f (x )＝－x 在[0，＋∞)上是减函数．练习2： 设函数f(x)=,用单调性定义证明在（-1，+ ）上是减函数。

答案：设任意x 1∈(－1，＋∞)，x 2∈(－1，＋∞)，且x 1<x 2.f (x 2)－f (x 1)＝x 2＋2x 2＋1－x 1＋2x 1＋1＝x 1－x 2x2＋1x 1＋1类型二 证明含参数的函数的单调性 例2：已知函数f (x )＝axx 2－1(a 为常数且a ≠0)，试判断函数f (x )在(－1,1)上的单调性．解析 任取x 1、x 2，使得－1<x 1<x 2<1， 则Δx ＝x 2－x 1>0. Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝a x 1x 2＋1x 1－x 2x 21－1x 22－1，∵－1<x 1<x 2<1，∴x 1x 2＋1>0，x 21－1<0，x 22－1<0，∴x 1x 2＋1x 1－x 2x 21－1x 22－1<0，∴当a >0时，f (x 2)－f (x 1)<0，故此时函数f (x )在(－1,1)上是减函数， 当a <0时，f (x 2)－f (x 1)>0， 故此时f (x )在(－1,1)上是增函数．综上所述，当a >0时，f (x )在(－1,1)上为减函数， 当a <0时，f (x )在(－1,1)上为增函数． 答案：增函数．练习1：判断函数f (x )＝ax(a 为常数且a ≠0)在(0，＋∞)上的单调性．答案：当a >0时， f (x )在(0，＋∞)上是减函数，当a <0时， f (x )在(0，＋∞)上是增函数．练习2：判断函数()()20x af x a x-+=>在(),0-∞上的单调性答案：单调递减函数类型三 证明抽象函数的单调性例3：已知函数y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (x )<0(x >0)，试判断F (x )＝1f x在(0，＋∞)上的单调性，并证明．解析：F(x)在(0，＋∞)上为减函数．下面给出证明：任取x1、x2∈(0，＋∞)，且Δx ＝x2－x1>0. ∵Δy ＝F (x 2)－F (x 1)＝1f x 2－1f x 1＝f x 1－f x 2f x 2f x 1，又y ＝f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且Δx ＝x 2－x 1>0， ∴Δy ＝f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)， ∴f (x 1)－f (x 2)<0.而f (x 1)<0，f (x 2)<0，∴f (x 1)f (x 2)>0， ∴F (x 2)－F (x 1)<0，∴F (x )在(0，＋∞)上为减函数． 答案：减函数练习1：已知函数y ＝f(x)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0(x>0)，试判断F(x)＝f ²(x)在(0，＋∞)上的单调性，并证明答案：增函数练习2： 函数f(x)＝x ²＋2x ＋3在[－1，＋∞)的单调性为____ 答案：增函数。

类型四 求函数的单调区间例4：求函数y ＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)的单调区间，并画出函数的大致图象．解析：设x 1、x 2是任意两个不相等的正数，且x 1<x 2，则Δx ＝x 2－x 1>0， Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋1x 2)－(x 1＋1x 1)＝(x 2－x 1)＋x 1－x 2x 1x 2＝(x 2－x 1)x 1x 2－1x 1x 2.由于0<x 1<x 2，则x 2－x 1＝Δx >0，x 1x 2>0， 当x 1、x 2∈(0,1]时，有x 1x 2－1<0，此时Δy <0； 当x 1、x 2∈(1，＋∞)时，有x 1x 2－1>0，此时Δy >0，即函数y ＝x ＋1x，x ∈(0，＋∞)的单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)．函数的大致图象如图所示．答案：单调减区间(0,1]，单调增区间是(1，＋∞)。

练习1：求函数f (x )＝11－x 的单调区间．答案：单调递增区间为(－∞，1)和(1，＋∞)．练习2：函数()211x x y x -=--的单调递减区间是答案： [)1,2和()2,+∞ 。

类型五 利用单调性解不等式例5：已知y ＝f (x )在定义域(－1,1)上是减函数，且f (1－a )<f (a 2－1)，求a 的取值范围． 解析：由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－1<1－a <1，①－1<a 2－1<1，②1－a >a 2－1，③由①得0<a <2，由②得0<a 2<2，∴0<|a |<2， ∴－2<a <2，且a ≠0.由③得a 2＋a －2<0，即(a －1)(a ＋2)<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1>0a ＋2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a －1<0a ＋2>0，∴－2<a <1.综上可知0<a <1， ∴a 的取值范围是0<a <1. 答案：0<a <1.练习1：已知f (x )是定义在[－1,1]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，求x 的取值范围．答案： x 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1≤x <32. 练习2：函数f (x )在(－∞，＋∞)上是减函数，且a 为实数，则有( ) A ．f (a )<f (2a ) B ．f (a 2)<f (a ) C ．f (a 2＋1)<f (a )D ．f (a 2－a )<f (a )答案：C ，类型六 用单调性求最值例6: 求f (x )＝x ＋x －1的最小值．解析：f (x )＝x ＋x －1的定义域为[1，＋∞)， 任取x 1、x 2∈[1，＋∞)，且x 1<x 2，Δx ＝x 2－x 1>0， 则Δy ＝f (x 2)－f (x 1)＝(x 2＋x 2－1)－(x 1＋x 1－1) ＝(x 2－x 1)＋(x 2－1－x 1－1) ＝(x 2－x 1)＋x 2－x 1x 2－1＋x 1－1＝(x 2－x 1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x 1－1＋x 2－1.∵Δx ＝x 2－x 1>0,1＋1x 1－1＋x 2－1>0，∴f (x 2)－f (x 1)>0.∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1. 答案：1练习1: 已知f (x )＝1x －1，x ∈[2,6]，求函数f (x )的最大值和最小值． 答案：f (x )max ＝f (2)＝1, f (x )min ＝f (6)＝15.练习2: 函数1y x =+在[]2,2-上的最大值与最小值分别为 。