FA Q B
1.两端固定单元，在A端发生一个顺时针的转角 A 。
A
由力法求得
M AB 4
MAB A
4i
B MBA
2i
M BA
EI A 4i A L EI 2 A 2i A L
2.两端固定单元，在B端发生一个顺时针的转角 B 。
M
B
由力法求得
M BA 4 M AB
C
有两个刚结点B、C，由于忽略轴向 变形，B、C点的竖向位移为零，B、C 点的水平位移相等，因此该结构的未 知量为：B C BC
F
A
D
例4.E
D
有两个刚结点E、F、D、C，由于 忽略轴向变形， E、F、D、C 点的竖 向位移为零， E、F 点及D、C 点的水 C 平位移相等，因此该结构的未知量为： E F C D EF CD
第7章
载作用下内力的计算。
位移法
基本要求：熟练掌握位移法解题的基本原理和超静定梁、刚架在荷 掌握位移法方程建立的两种途径：一是利用直接平衡法
建立平衡方程，便于理解和手算；二是利用基本体系建
立典型方程，为矩阵位移法打基础，便于用计算机电算。 掌握对称性的利用。 教学内容：﹡位移法的基本概念 ﹡等截面直杆的形常数和载常数 ﹡位移法的基本未知量和基本体系 ﹡位移法方程
二、位移法与力法的区别 1.主要区别是基本未知量选取不同 力法：多余未知力作为基本未知量；
位移法：结点位移(线位移和角位移)作为基本未知量。
注意：力法的基本未知量的数目等于超静定次数，而 位移法的基本未知量与超静定次数无关。 2.建立的基本方程不同 力法：由变形协调条件建立位移方程； 位移法：由平衡条件建立的平衡方程。
45o D
B 45o
C
结点位移与杆端位移分析 BD伸长：
2 2
△
DA伸长： DC伸长：
FP
2 2
杆 端 位 移 分 析
由材料力学可知：
FNDB EA EA 2 FNDA FNDC L 2L 2
杆端力与杆端 位移的关系
由结点平衡：
NDB
Y 0
2 2 建立力的 FNDB FNDC FNDA FP 2 2 平衡方程 NDA NDC EA(2 2) D FP 2L Fp 位移法方程 2 PL 由方程解得： (2 2) EA
B
A
结论：刚架（不带斜杆的）一个结点一个转角，一层一个侧移。
例5. A
B
C
有两个刚结点B、C，由于 忽略轴向变形及B、C点的约 D 束，B、C点的竖向、水平位 移均为零，因此该结构的未 知量为： B C
例6. A
B 桁架杆件要考虑轴向变形。因 此每个结点有两个线位移。该结构的 未知量为： AH AV BH BV DH .
Δ
a
Δ
§7.4
例1:
位移法举例
BA杆 M BA
EI 4 B L EI 2 B L
q B
EI EI
C
杆长为：l
A 解：1.确定未知量 未知量为:
M AB
3.建立位移法方程
B
取B结点，由 M B
0
,得:
2.写出杆端力的表达式 BC杆 M Bc
qL2 7i B 0 8
EI qL2 3 B L 8
该题有一个刚结点，因此有一个转角位移。水平线位移 的分析方法：假设B结点向左有一个水平位移△，BC杆平 移至B’C’，然后它绕B’转至D点。
D
Δ
B E C
A
注意： (1)铰处的转角不作基本未知量。 (2)剪力静定杆的杆端侧移也可不作为基本未知量。 (3)结构带无限刚性梁时，即EI∞时，若柱子平行， 则梁端结点转角为0；若柱子不平行，则梁端结 点转角可由柱顶侧移表示出来。 （4）对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的， 柱子等高或不等高，柱顶线位移都相等。
﹡位移法计算连续梁和刚架
﹡位移法计算对称结构
§7.1 位移法的基本概念
一、 位移法是计算超静定结构的另一种基本方法。 结构
在外因作用下
内力 产生 变形
内力与变形间存在关系
分析超静定结构时，有两种基本方法： 第一种： 以多余未知力为基本未知量；先求其反力或内力，然后计 算位移——力法。 第二种： 以结点未知位移为基本未知量；先求其位移，然后再计算 内力——位移法。
3
2
1
结点转角的数目：7个
独立结点线位移的数目：3个
D
E
A
B
C
C
D
刚架结构，有两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何不变，无结点线位移。
A
B
刚架结构，有两个刚结点C、D， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×3－2×4=1， 铰结体系几何可变，有一个线位移。
A D E
A D E
B两个刚结点D、E， 故有两个角位移，结点线位移由铰 结体系来判断，W=3×4－2×6=0， 铰结体系几何瞬变，有一个线位移。
例10.
B’
△
C’
C D
结论：
该题有两个未知量：B 其中BA杆的线位移为：△ BC杆的线位移为： Sin
B

A
分析方法：
4. 解方程，得:
qL2 B 56i
6. 画弯矩图 ql2 14 B ql2 8 ql2 28 C
5. 把结点位移回代，得杆端弯矩
3iqL qL qL M BC 56i 8 14 4iqL2 qL2 M BA 56i 14 qL2 M AB 28
2
2
2
A
M图
例2.
q
A
F1P C
ql2/12
q
C
ql2/12
θA
EI=常数
A
ql 2 F1P 12
4 EI A l 4 EI A l
l
F11 A
2 EI A l
B
l
ql2/24 A C 5ql2/48
B
θA
4 EI A l
2 EI A l
θA
C F11
4 EI A 4 EI A l l
A
MAB A
B
由力法求得
M AB 3i A M BA 0
MBA
5.一端固定一端铰结单元，在B端发生一个向下的位移。 A B △ MBA
由力法求得
M AB M BA 0
3EI 3i L2 L
MAB
6.一端固定一端滑动单元，在A端发生一个顺时针的转角。
A
M AB
变换式上式可得杆端内力的刚度方程（转角位移方程）： M AB 4i A 2i B 6i l M BA 2i A 4i B 6i l
由平衡条件得杆端剪力：见图（d)
M A B A
M B A B
(d)
FB Q A
M AB M BA FQAB FQBA l 6i 6i 12i A B 2 l l l
1、基本未知量θB、θC
40
4m 4m
46.9 43.5 20kN/m 24.5 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ 62.5 C A 4I i=1 B 5I 1 A C B 3.4 1 1
14.7
4I 1 9.8 1
D D
2、列杆端力表达式
ql 2 20 4 2 mBA 40 kN .m 8 2 8 52 ql 20 mBC 41.7 kN .m MBA 12 12 mCB 41.7 kN .m
D C
例7. A
EA=∞
B
C 例8. A EA=∞ D E F B
D
排架结构，有两个铰结点A、B， 由于忽略轴向变形，A、B两点的竖 向位移为零，A、B两点的水平位移 相等，因此该结构的未知量为： AB 两跨排架结构，有四个结点 A、B、C、D，同理A与B点、D与 C点的水平位移相同，各结点的 竖向位移为零，但D结点有一转 角，因此该结构的未知量为： AB DC D
l/2
§7.3 位移法的基本未知量
一、位移法基本未知量 独立的结点位移：包括角位移和线位移 ●结点：指杆件与杆件的交结处，不包括支座结点。 ●杆件：等截面的直杆，不能是折杆或曲杆。 ●为了减少未知量，忽略轴向变形，即认为杆件的EA=∞。 结点角位移数：刚结点的数目 独立结点线位移数：铰结体系的自由度
0
-i
3i
l2
0
A
θ=1
B
2.由荷载求杆端内力——固端弯矩和固端剪力（载常数）
单跨超静定梁简图
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
MAB
B
MBA
A P A
ql 2 12
Pl 8
ql 2 12
Pl 8
B
q
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
A P A B
B
ql 2 8
3Pl 16
0
0
l/2
C G
例9. C
D E C
D E
该题的未知量为
C D E CH DV
A
B
A
B
对图示有斜杆的刚架，未知量分析的方法是：对于转角 位移，只需数刚结点，一个刚结点一个转角位移。对于线位 移，首先把所有的刚结点变成铰结点，然后再加链杆，使其 变成无多余约束的几何不变体系，加了几根链杆，就是有几 个线位移。
§7.2 等截面直杆的刚度方程
一、杆端力和杆端位移的正负规定 1.杆端转角φ、杆两端相对位移Δ以使杆件顺时针转动 为正号。 2.杆端弯矩，对杆端顺时针转动为正号；对支座或结点 逆时针转动为正号。杆端剪力以使作用截面顺时针转 动为正号。 二、形常数和载常数 形常数：由单位杆端位移引起的单跨超静定梁的杆端力 载常数：由荷载引起的固端力