第十章位移法
§10－1 概述
位移法——以结点位移（线位移，转角）为基本未知量的方法。

基本概念：以刚架为例（图10-1）
基本思路：以角位移Z1为基本未知量
平衡条件——结点1的力矩平衡
位移法要点：一分一合
①确定基本未知量（变形协调）基本体系－独立受力变形的杆件
②将结构拆成杆件－杆件分析（刚度方程－位移产生内力、荷载产生内力）
③将结构杆件合成结构：整体分析——平衡条件——建立方程
§10－2 等截面直杆的转角位移方程
单跨超静定梁——由杆端位移求杆端力——转角位移方程
矩阵形式
一、端（B端）有不同支座时的刚度方程
（1）B端固定支座
（2）B端饺支座
（3）B端滑动支座
二、由荷载求固端力（3*，4，11*，12，19，20）
（1）两端固定
（2）一端固定，一端简支
（3）一端固定，一端滑动（可由两端固定导出）
三、一般公式
叠加原理杆端位移与荷载共同作用
杆端弯矩：（10-1）
位移法意义（对于静定、超静定解法相同）
基本未知量－被动（由荷载等因素引起）
→按主动计算——位移引起杆端力＋荷载的固端力
→结点满足平衡
正负号规则——结点转角（杆端转角）
弦转角——顺时针为正
杆端弯矩
位移法三要素：
1.基本未知量－独立的结点位移
2.基本体系－原结构附加约束，分隔成独立变力变形的杆件体系。

3.基本方程－基本体系在附加约束上的约束力（矩）与原结构一致
（平衡条件）
§10－3基本未知量的确定
角位移数＝刚结点数（不计固定端）
线位移数＝独立的结点线位移
观察
几何构造分析方法——结点包括固定支座）变铰结点
铰结体系的自由度数＝线位移数
――即使其成为几何不变所需添加的链杆数。

§10－4典型方程及计算步骤
典型方程（10－5、6）
无侧移刚架的计算
无侧移刚架－只有未知结点角位移的刚架（包括连续梁）（△＝0） 有侧移刚架计算
有侧移刚架――除结点有位移外还有结点线位移
求解步骤：
（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，
（2）作荷载、Z i = 1 —— ()()01i P i i M M ∆∆==、图
（3）求结点约束力矩：荷载 —— 自由项R Ip ，及ΔJ = 1 —— 刚度系数 k IJ
（4）建立基本方程：[k IJ ]{ Z i } + { R Ip } = {0} —— 附加约束的平衡条件 求解Z i （Δi ）
(5) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=
§10－5 直接建立位移法方程
求解步骤：
（1）确定基本未知量：Z i （按正方向设基本未知量）——基本体系，
（2）写杆端弯矩（转角位移方程）
（3）建立位移法方程—— 附加约束的平衡，求解Z i
(4) 叠加法作i i P Z M M M ∑+=
§10－6 对称性利用
对称结构
对称荷载作用 —— 变形对称，内力对称
（M 、N 图对称，Q 图反对称——Q 对称）
反对称荷载作用 —— 变形反对称，内力反对称
（M 、N 图反对称，Q 图对称——Q 反对称）
—— 取半跨
对称结构上的任意荷载 ——对称荷载＋反对称荷载
§10－7支座位移和温度改变时的计算
一、支座位移的计算
超静定结构：支座有已知位移 —— 引起内力
位移法计算：基本未知量、（基本体系）、基本方程及解题步骤与荷载作用时一样 区别在于固端力——自由项： R 1P ——荷载引起
R 1C —— 支座位移引起
二、温度改变时的计算
与支座位移相同，超静定结构：温度改变 —— 内力
固端力（相当荷载作用）（表11—1，5、11、15）
Δt = t 1 — t 2 ——M 图，受拉面在温度铰低一侧。

同时还有轴向变形（不能忽略）：t0=(t1+t2)/2（平均温度变化）
l t 0α=∆ ——本杆不产生M ，但产生结点位移，使其它杆产生侧移——固端弯矩
§10－8小结
一、位移法的基本概念
二、基本公式
三、解题步骤
四、对称结构
五、支座移动与温度变化的计算
六、超静定（静定）结构位移的计算
对偶：
位移法 力法
1.基本未知量 结点转角，线位移 多余未知力
2.基本体系 加约束 撤除约束
位移：被动→主动 多余约束力：被动→主动 在原作用（荷载，支座，温度等）
和约束位移（基本未知量） 和多余约束力（基本未知量）
共同作用下，与原结构的受力、变形相同
3.基本方程 附加约束处、约束力 撤除约束处位移 与原结构相同
平衡条件 位移变形条件。