平衡位置 o 处： k l mg sin 在 x 处：合力
F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin

F kx

k 2 , T 2 m m k
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
2
对作小角度摆动的单摆:

g l , T 2 l g
J ml



l
max cos( t )
例 若单摆最大摆角为5°，起始状态 如图， 则由旋转矢量图可知：
, cos(
2
36 g l t
m
t 0
)
2
max
o 2 0 2 A 0 2

g l , T 2 l g
J ml



l
max cos( t )
m
mgl 0 J
0
2
0 cos ( t )

mgl J
, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. 光滑平面上的复合弹簧：

x1 x 2 x k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2

k m
k1k2 m(k1 k2 )

F kx
k 2 , T 2 m m k
x 0 x ▲
2
( 请看录像 )
438
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
§9.2 常见的简谐振动
阻尼振动
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
一、简谐振动的判断
满足下列条件之一的振动即为简谐振动：
▲ x A cos(t )
▲ F kx
试证明下图中系统角频率为：

k1 k 2 m
k1
m
k2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )



C
M mgl sin mgl

作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
x 0 x ▲
2
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
1. 简谐振动满足： ▲ x A cos(t ) ▲ F kx
即作简谐运动：
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2. k1 x1 k2 x 2
k1k 2 k1 k 2 x kx
k1
k2
m
o
F
x
x
F k2 x 2

k m
k1k2 m(k1 k2 )
x 0 ▲ x
2
F 为合外力，x 为离开平衡位置的位移，k 为常数。
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：
平衡位置 o 处： k l mg sin 在 x 处：合力
F T mg sin
x
mg
x o
T k( x l ) kx mg sin

F kx

2 ▲ x A cos(t ) ▲ F kx ▲ x x 0
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
二、常见的简谐振动
1. 光滑斜面上的弹簧振子：



C
M mgl sin mgl
mgl 0 J
2 0
mgl J
mg
0 cos ( t )

, T 2
J mgl
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
2
对作小角度摆动的单摆:
x 0 x
2
即系统作简谐振动！
mg

k (m1 m2 M ) 2
( the end )
作者：杨茂田 Chapter 9. 机械振动
§9. 2 常见的简谐振动 阻尼振动
3. 复摆与单摆： 设 复摆作小角度摆动。
M J J d
2
dt
2
J
( M 为重力矩 )