合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化， 合振动的振幅随时间作缓慢的周期性的变化，振 动出现时强时弱的拍现象 拍现象。 动出现时强时弱的拍现象。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 拍频:单位时间内强弱变化的次数。 ω2 − ω1 γ= = γ 2 − γ1 2π
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
同方向同频率的两个简谐振动的合成
C
r A
O
r a1
r r a3 α a2
α
r a4 α
rα a5
M
X
因各个振动的振幅相同且相差依次恒为 α ，上图 为圆心的圆周上， 中各个矢量的起点和终点都在以 C为圆心的圆周上， 为圆心的圆周上 根据简单的几何关系， 根据简单的几何关系，可得
∠OCM = Nα
同方向同频率的两个简谐振动的合成
x1
t
x2
t
x
t
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
反相迭加，合振幅最小。 反相迭加，合振幅最小 当A1=A2 时，A=0。 。 (3)通常情况下，合振幅介于 通常情况下， 通常情况下 和 之间。 之间。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 例15-4 N个同方向、同频率的简谐振动，它们的振幅相等， 15初相分别为0, , 2a, 依次差一个恒量a， 初相分别为0, a, 2 , ..., 依次差一个恒量 ，振动表达式可 写成
求它们的合振动的振幅和初相。 求它们的合振动的振幅和初相。
采用旋转矢量法可使问题得到简化， 解:采用旋转矢量法可使问题得到简化，从而避开 烦琐的三角函数运算。 烦琐的三角函数运算。 根据矢量合成法则， 个简谐振动对应的旋转矢 根据矢量合成法则，N个简谐振动对应的旋转矢 量的合成如下图所示： 量的合成如下图所示：
在三角形∆ 在三角形 OCM中,OM 的长度就是和振动位移矢 量的位移, 就是和振动的初相， 量的位移,角度 ∠MOX 就是和振动的初相，据此得
Nα A = 2OCsin 2
考虑到 a = 2OCsin
α
Nα α A = asin sin 2 2 φ = ∠MOX = ∠COX − ∠COM 1 1 N −1 = (π −α) − (π − Nα) = α 2 2 2 同相合成) 当 α = 0 时(同相合成)，有 A = Na, φ = 0 。
合位移： x = x1 + x2 = Acos(ωt + φ0 ) 合位移：
2 A = A2 + A2 + 2A A2 cos(φ20 − φ10 ) 1 1
合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。 合振动仍然是简谐振动，其方向和频率与原来相同。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同方向同频率的两个简谐振动的合成
两个简谐振动合成得： 两个简谐振动合成得：
x = x 1+ x 2
x = 2Acos(
ω2 − ω1
2
t)⋅ cos(
ω2 + ω1
2
t + φ0 )
同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
因ω1
~ ω2 , ω2 − ω1 << ω1 或 ω2 , 有
ω2 + ω1
≈ ω1 ≈ ω2
2 在两个简谐振动的位移合成表达式中， 在两个简谐振动的位移合成表达式中，第一项随时 间作缓慢变化, 间作缓慢变化, 第二项是角频率近于 ω1或ω2 的简谐函 数。合振动可视为是角频率为 (ω1 + ω2 ) 2 、振幅为 2Acos (ω2 − ω1)t 2 的简谐振动。 的简谐振动。
§15-5 同方向的简谐振动的合成
1.同方向同频率的两个简谐振动的合成
设一质点同时参与沿同一方向(x轴 的两个独 设一质点同时参与沿同一方向 轴)的两个独 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为： 立的同频率的简谐振动，两个振动位移为：
x1 = A cos(ωt + φ10 ) 1
x2 = A2 cos(ωt + φ20 )
旋转矢量图示法
矢量沿X 轴之投影表征了合运动的规律。 矢量沿 轴之投影表征了合运动的规律。
同方向同频率的两个简谐振动的合成
讨论： 讨论： (1) 当 ∆φ=φ 20−φ10=2kπ (k=0 及 正 负整数)，cos(φ20-φ10)=1, 有 负整数 同相迭加，合振幅最大。 同相迭加，合振幅最大。 (2)当 ∆φ=φ 20−φ10=(2k+1)π (k=0及 当 及 正负整数), 正负整数 cos(φ20-φ10)=0, 有
2
2.同方向不同频率的两个简谐振动的合成 拍
当两个同方向简谐振动的频率不同时， 当两个同方向简谐振动的频率不同时，在旋转矢 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同，二者 量图示法中两个旋转矢量的转动角速度不相同， 的相位差与时间有关， 的相位差与时间有关，合矢量的长度和角速度都将随 时间变化。 时间变化。 很接近， 两个简谐振动的频率ω1和 ω 2很接近，且 ω 2 > ω1