第八章 平面解析几何（时间120分钟，满分150分）、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的）1 .抛物线y 2= ax （a 丰0）的焦点到其准线的距离是C • |a|解析：由已知焦点到准线的距离为 p =鸟 答案：B2.过点A(4, a)与B(5 , b)的直线与直线 y = x + m 平行，则|AB| =B. .2b — a解析：由题知 ----- =1, •- b — a = 1.5— 4 •••|AB|= (5-4)2+ (b — a)2= 2. 答案：B答案:ax + 2by — 2 = 0(a >0, b >0)始终平分圆 x 2 + y 2— 4x — 2y — 8 = 0 的周长，则* + f 的 最小值为 ()A . 1B . 5C . 4 2D . 3+ 22解析：由(x — 2)2+ (y — 1)2= 13,得圆心(2,1), •••直线平分圆的周长，即直线过圆心. •• a + b = 1. 12,12b 「2a•-a + b = (a + b )(a + b )= 3 + a + T 》3+ 22，当且仅当b =弓，即a = 2 — 1, b = 2 — 2时取等号， a bD .不确定3.已知双曲线 2 2X —y^=1的离心率为e ,抛物线x = 2pf 的焦点为（e,0）,则p 的值为（B . 11 Cd解析: 依题意得e = 2，抛物线方程为y2=2p x ，故 8p = 2,得 p =和4.若直线1 2••• a+ b的最小值为3+ 22答案：D25•若双曲线「一y2= 1的一个焦点为(2,0)，则它的离心率为a JAJ5 r 3 2*3A.寸B2 C.〒解析：由a2+ 1 = 4, ••• a = 3,e=答案：C6.A ABC的顶点A(-5,0), B(5,0), △ ABC的内切圆圆心在直线迹方程是2 2 2 2x A.—y= 1xB.-y= 19161692222xC・16= 1(x>3)xD.-- 16y = 1(x> 4)解析：如图|AD|=|AE|= 8, |BF|=|BE|= 2, |CD|= |CF|, 所以|CA|- |CB|= 8 —2= 6.根据双曲线定义，所求轨迹是以A、B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为x—9答案：CA. b= 2aB. b =5aC. a = 2bD. a = ,5b解析：由已知b^t5e,a 5 '• b="/x c, ••• c= 5b,又a2+ b2= c2,a 5 a•- a2+ b2= 5b2, •- a= 2b.答案：C8. 抛物线y= —4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()17 15 15 17A.16B.16 C•—16 D.-16x= 3上，则顶点C的轨( )2y.=161(x > 3).2 27.双曲线字一存=1(a>0, b>0)的一条渐近线方程为y=■^x(e为双曲线离心率)，则有(2解析：准线方程为y=*,A.、2B. 3解析：本题是关于圆锥曲线中的点到线的距离问题，由 D . 2,2OA OB = 0? OA 丄OB , 由于双曲线为中心对称图形，为此可考查特殊情况，令点A 为直线y = x 与双曲线在第一象限的交点，因此点B 为直线y =— x 与双曲线在第四象限的一个交点，因此直线AB 与x轴垂直，点 O 到AB 的距离就为点 A 或点B 的横坐标的值，由y = x2x2-2 =1? x = 2.答案：A2 2 x y10. (2019全国卷叮双曲线-—；=1 的渐近线与圆(x — 3)2 + y 2= r 2(r>0)相切，则r =( )A. 3B . 2解析：双曲线的渐近线方程为 即x 土. 2y = 0,圆心(3,0)到直线的距离 d =」31=羽(2)2+ J 答案：A11. (2019四川高考)已知双曲线 2x_ 22眷=1(b>0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2，其一条渐近线方程为y = x ,点P( 3, y °)在该双曲线上，则 PF 1 -PF 2 A . - 12B .— 2解析：由渐近线方程y = x 得b = 2,2 2点P(《,y 。

)代入］—器=1中得y o = ±. 不妨设 PC.3, 1), •/ F 1(2,0), F 2(— 2,0), -PF 1 -PF 2 = (2 — 3, — 1) (•— 2— 3, — 1) =3— 4 + 1 = 0. 答案：C12. (2019天津高考)设抛物线y 2= 2x 的焦点为F ，过点M( . 3, 0)的直线与抛物线相交于A 、B 两点，与抛物线的准线相交于点C , |BF|= 2,则厶BCF 与厶ACF 的面积之比BCFS AACF1 15由定义知祗-yM =1?yM 一石. 答案：C9. 已知点A 、B 是双曲线x 2 —与=1上的两点，O 为坐标原点，且满足 OA -OB = 0, O 到直线AB 的距离等于 则点1 B 两点，若线段 AB 的长为8,贝U p= ,1解析：如图过 A 、B 作准线I : x=-—的垂线，垂足分别为 A i , B i ,2由于F 到直线AB 的距离为定值. • S ^BCF _ |BC| S ^ ACF |CA 「 又•••△ B i BC^A A i AC. .IBCJ = |BB i | |CA 「|AA i |，|BB i | = |BF|_ 2 |AA i 「|AF 「|AF 「由 |BF|= |BB i |= 2 知 X B = 3，y B =— 3,2把x = ■代入上式，求得 y A = 2, X A = 2,5•••|AF|=|AA i |= 2故 S A BCF = |BF|= 2= 4 故 S A ACF = |AF|= 5= 5.2 答案：A1、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共i6分•请把正确答案填在题中横线上)i3.已知点(x o , y o )在直线ax + by = 0(a , b 为常数)上，贝U (x o — a)2+ (y o — b)2的最小值为解析：(x o — a)2 + (y o — b)2可看作点(x o , y o )与点(a , b)的距离.而点(x o , y o )在直线ax + by = o 上，所以7(x o — a)2+ (y °— b)2的最小值为点(a , b)到直线ax + by = 0的距离导］*? =\/a 2 + b 2.答案：a 2 + b 2i4. (2oi9福建高考)过抛物线y 2= 2px(p>o)的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于 A 、A — A. 5C .4D.2由拋物线定义• AB : —3).y — 0=解析：由焦点弦|AB|=黑得|AB|=悬°••• 2p =|AB|X 1 ,••• p = 2.答案：22 215.直线l 的方程为y = x + 3，在I 上任取一点P ，若过点P 且以双曲线12x - 4y = 3的焦 点为椭圆的焦点作椭圆，那么具有最短长轴的椭圆方程为 _____________________________ . 解析：所求椭圆的焦点为 F i ( — 1,0), F 2(1,0),2a = |PF i |+ |PF 2|.欲使2a 最小，只需在直线 I 上找一点P ，使|PF i |+ |PF 2|最小，利用对称性可解.2 2答案：x +y =i5 416.过抛物线y 2= 2px(p>0)的焦点F 的直线I 与抛物线在第一象限的交点为A ,与抛物线准抛物线的方程为 ________________解析：设抛物线的准线与 x 轴的交点为D ，依题意，F 为线段AB 的中点, 故 |AF|= |AC|= 2|FD| = 2p , |AB|= 2AF|= 2|AC|= 4p,:丄 ABC = 30° 品=2 3p ,BA -BC = 4p 2诉p cos30 ° 48,解得p = 2,•••抛物线的方程为 y 2= 4x. 答案：y 2= 4x三、解答题(本大题共6小题，共74分•解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分 12 分)已知：圆 C ： x 2+ y 2— 8y + 12= 0,直线 l : ax + y + 2a = 0.(1) 当a 为何值时，直线I 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且AB = 2 2时，求直线I 的方程.解：将圆C 的方程x 2 + y 2— 8y + 12= 0配方得标准方程为 x 2 + (y — 4)2= 4,则此圆的圆心 为(0,4)，半径为2.|4+ 2a|(1)若直线I 与圆C 相切，则有暑帛=2. 3 解得a =— 3.4⑵过圆心C 作CD 丄AB ,则根据题意和圆的性质,C ,若 AF = FB , B A -BC线的交点为B ,点A 在抛物线准线上的射影为 =48,则整理，得 x + 2y — 5 = O(x M 1).•••当x = 1时，A 、B 的坐标分别为(2,0), (0,4), •线段AB 的中点坐标是(1,2)，它满足方程严 存山 _\ *x + 2y — 5 = 0.综上所述，点 M 的轨迹方程是x + 2y — 5= 0.法二：设M 的坐标为(x , y)，贝U A 、B 两点的坐标分别是(2x,0), (0,2y)，连结PM , ••T1 丄 l 2,「. 2|PM|=|AB|. 而|PM|= (x-2)2 (y-4)2 , |AB|= . (2x)2(2y)2 ,• 2(X -2)2 (y -4)2 = 4x 2 4y 2.化简，得x+2y-5=0即为所求的轨迹方程. 法三：设M 的坐标为(x , y),由h 丄l 2, BO 丄OA ，知0、A 、P 、B 四点共圆，得 CD 2+ DA 2= AC 2= 22,DA = 1A B = 2. 解得 a =— 7,或 a =— 1.故所求直线方程为 7x — y + 14= 0或x —y + 2= 0. 18.(本小题满分12分)过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l i 、12,若l i 交x轴于A 点，-交y 轴于B 点，求线段 AB 的中点M 的轨迹方程. 解：法一：设点M 的坐标为(x , y), ••• M 为线段AB 的中点，••• A 的坐标为(2x,0), B 的坐标为(0,2y). ••T1 丄 12,且 h 、12过点 P(2,4), • PA 丄 PB , k p A k pB =— 1. 而 kp A = 2—x , kpB =4>^, (X M 1),a + 1•|MO|=|MP|,即点M是线段OP的垂直平分线上的点.4一0T k°p= =2，线段OP的中点为(1,2),••• r(x-1)，即x+2y-5=0即为所求.佃.(本小题满分12分)(2019南通模拟)已知动圆过定点 F (0,2)，且与定直线L: y=—2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程；(2)若AB是轨迹C的动弦，且AB过F(0,2),分别以A、B为切点作轨迹C的切线，设两切线交点为Q，证明：AQ丄BQ.解：(1)依题意，圆心的轨迹是以F(0,2)为焦点，L: y=—2为准线的抛物线.因为抛物线焦点到准线距离等于4,所以圆心的轨迹是x2= 8y.(2)证明：因为直线AB与x轴不垂直, 设AB：y= kx+ 2.A(X I, y i), B(X2, y2).y= kx+ 2,,I 1 2 y= 8x可得x2—8kx—16= 0, x1+ x2= 8k, x l X2=—16.抛物线方程为y= gx2,求导得y' = ~x.8 4所以过抛物线上A、B两点的切线斜率分别是k1= 4x1, k2= 4x2, k1k2 = ：X1卷2= 16X1X2 =-1.所以AQ丄BQ.20. ［理］(本小题满分12分)给定抛物线C: y2= 4x, F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A, B两点，记0为坐标原点.(1)求OA OB的值;⑵设AF =入FB，当△ OAB的面积S€ ［2, 5 ］时，求入的取值范围.解：(1)根据抛物线的方程可得焦点F(1,0),设直线I的方程为x= my+ 1,将其与C的方程联立，消去x可得y2—4my—4= 0.设A, B点的坐标分别为凶，y1),(X2, y2)(y1>0>y2), 则/i y2=— 4.因为y2= 4x1, y2= 4x2,所以X1X2= £y2y2= 1,故 OA OB =X 1X 2+ y 1y 2=— 3. 、T T ⑵因为AF =入FB ,所以(1 — X 1,— y“=心2— 1, y 2),1 1故厶 OAB 的面积 S = 2|OF| |y 1 — y 2|=〔 >+ > 因2恒成立，所以只要解 寸>+卡三寸5即可,解之得3—严w >进220.［文］(本小题满分12分)已知圆(x — 2)2+ (y — 1)2= 20,心率为 屮，若圆与椭圆相交于 A 、B ,且线段AB 是圆的直径，求椭圆的方程.岂-乎••• a 2= 2b 2.因此，所求椭圆的方程为 x 2 + 2y 2= 2b 2,又••• AB 为直径，（2,1）为圆心，即（2,1）是线段AB 的中点, 设 A(2— m,1 - n), B(2 + m,1+ n),则H2 — m)2+ 2(1 — n)2= 2b 2,1(2 + m)2+ 2(1 + n)2= 2b 2, 8+ 2m 2 + 4+ 4n 2= 4 b 2, 8m + 8n = 0,2b 2= 6+ m 2+ 2n 2,21.（本小题满分 12分）已知A 、B 、D 三点不在一条直线上，且 A （ — 2,0）, B （2,0）, |AD |=2，AE = 2( AB + AD ).|AB|= 22 m 2 + n 2= 21 — x i =入 2—人 即*—y1= >y又 y =4x 1,y 2= 4x 2,由②③④消去y 1, y 2后，得到召=>X 2，将其代入 ①,1注意到 >0 ,解得X 2=）从而可得椭圆 b 2x 2 + a 2y 2= a 2b 2(a>b>0)的离m 2= n 2=贾得 2b 2= 16.故所求椭圆的方程为 x 2+ 2y 2= 16.2 a解：T e = ca(1) 求E 点的轨迹方程；(2) 过A 作直线交以A 、B 为焦点的椭圆于 M , N 两点，线段MN 的中点到y 轴的距离为 4 4,且直线MN 与E 点的轨迹相切，求椭圆的方程. 5解：⑴设E(X , y),由A E = 2( AB + AD ),可知E 为线段BD 又因为坐标原点 0为线段AB 的中点, 所以OE 是厶ABD 的中位线, 所以 |OE |= 2|A D |= 1,所以E 点在以0为圆心，1为半径的圆上, 又因为A ，B ，D 三点不在一条直线上, 所以E 点不能在X 轴上，所以E 点的轨迹方程是 X 2+ y 2= 1(y M 0).2 X(2)设M (X 1, y 1), N(X 2, y 2)，中点为(x o , y o ),椭圆的方程为 孑+ 方程为y = k(x + 2)(当直线斜率不存在时不成立),由于直线 MN 与圆X 2+ y 2= 1(y z 0)相切， 所以一即一=1,解得k = ±33,V k 2 + 13所以直线MN 的方程为y = 士扌仪+ 2),2 2将直线y = ±3(X + 2)代入方程a 2— 4=1,整理可得：4(a 2— 3)X 2+ 4a 2x + 16a 2— 3a 4= 0,又线段MN 的中点到y 轴的距离为4,52 4即 x °=——3) =— 4,解得 a = 2 ,2.2(a — 3) 52 2故所求的椭圆方程为—+ y= 1.8 422.［理］(本小题满分14分)(2019东北四市模拟)已知0为坐标原点，点 A 、B 分别在X 轴, 3 —y 轴上运动，且|AB|= 8,动点P 满足AP = g PB ，设点P 的轨迹为曲线 C ,定点为 M(4,0),直线PM 交曲线C 于另外一点 Q. (1)求曲线C 的方程；的中点,2亠 =1,直线MN 的a — 4所以X 0=于2a2(a 2— 3).(2)求厶OPQ 面积的最大值.解：(1)设 A(a,0), B(0, b), P(x , y),则 AP = (x — a , y), PB = (— x , b — y),•- AP = 5PB , •• 3x — a =— gx . y = 5(b - y). • a = 5x , b = 3y. 又 |AB|= ,a 2+ b 2= 8, 2 •曲线C 的方程为25 2 2 • x - + y -= 1. 25 9 2 ―1. 9 2 2⑵由(1)可知，M(4,0)为椭圆話+ y = 1的右焦点, 设直线PM 方程为x = my + 4,-2 2 2-+詈=1, 由25 9 消去x 得 x = my + 4,2 2 (9m + 25)y + 72my — 81 = 0, •|y p —y Q |=d 2+4X (9m2+25)X 81 9m 2+ 2590 m + 19m 2 + 25 . • S A OPQ = 2l0M||y p —y Q |= 2 X 曽諾 J 20治2+ 1 20pm 2+ 1 = ____________ 20 =+ 1 +詈"+存 25 16 9 ;m 2+ 1 即m = ,△ OPQ 的面积取得最大值为 15,此时直线方程为 3x ± 7y —12= 0.［文］（本小题满分14分）设椭圆ax 2 + by 2= 1与直线x + y — 1= 0相交于A 、B 两点，点C 是AB 的中点，若|AB|= 2 2, OC 的斜率为 今，求椭圆的方程. ax 2 + b/= 1, 解：设A(X 1, y 1), B(X 2, y 2)，那么A 、B 的坐标是方程组” 的解.x + y — 1= 0由 ax 1+ by 1= 1, ax 2+ by ^= 1，两式相减，得 a(x i + X 2)(x i — X 2)+ b( y i + y 2)(y i — y 2)= 0, 因为宦=-1a b ，再由方程组消去 y 得(a + b)x 2— 2bx + b — 1 = 0, 由 |AB|= (x i — X 2)2+ (y i — y 2)2 = 2(x i — X 2)2 =2[(X i + X 2)2— 4X i X 2] = 2 2,得(Xi + X2)2—4XiX2= 4,即(爲—4 穿=4.② 由①②解得a = i , b =普, 故所求的椭圆的方程为£+亠垄=i- 2y c 2x c a b， y c =b =于所以b =2a •①。