令 n s n Fn s s ,
则
E n s n EFn s s 0 D n s
n
2
Nn s D( ) s (1 s ) n
x, lim P n s x
的极限分
过程:4：几何布朗运动（指数布朗运动）
B =exp(Bt
ge t
, 2
)
t 0, R, >0
2
均值函数
mB ge (t )=E[exp(Bt , )]=exp{( +
2
2
2
)t}, t 0
相关函数
RB ge (s,t )=e
(t +s ) 2 2 s 2
mab (t )=a+(b-a)t t [0,1]
C ab (s,t )=E[(Bsab -mab (s))(Btab -mab (t)) = min{s,t}-st t [0,1]
补充 ：布朗桥在统计中的应用
布朗桥在研究经验分布函数中起着非常重要的 作用。设X1,X2, …Xn, …独立同分布，Xn~U(0,1) ， 对0<s<1,记
Nn s I Xi s
i 1 n
Nn(s)表示前n个X1,X2, …Xn 中取值不超过s的个数，
Fn s 1 Nn s n
称Fn(s)为经验分布函数。 显然Nn(s)~B(n,s)，由强大数定理有
P lim Fn s s 1
n


由格利汶科-康泰利定理可以得到更强的结果， 1 P lim sup F s s 0 n n 0 s 1 即Fn(s)以概率1一致地收敛于s.
均值函数
R, >0
m
B
, 2
(t )=t
相关函数 RB
2 2 ( s , t )= st + min (s,t ) , 2
性质 ( , 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
带漂移的布朗运动的民用航空发动机实时性能可 靠性预测，航空动力学报 2009，Vol.1,No.12.任淑红
(x -t )2 2t
dx
=exp{( +
2
2
)t}, t 0
RBge (s,t )=Ee
=e
=e =e
s +W (s ) t +W (t)
e
=Ee
(s +t )+ (W (s )+W (t ))
(s +t )
Ee
(W (s )+W (t ))
(s +t )
Ee
, 2
(Bt1
,
,Btn
, 2
)=(1 ,
, n ) M nn
过程3：布朗桥
Btbr =W (t )-tW (1) t [0,1]
则称 Bbr ={Btbr , t [0,1]}
br
为从0到0的布朗桥
均值函数 mB (t )=E[W (t )-tW (1)]=0, t [0,1]
n
2 s 1 s
1
x

e
u2 2 s (1 s )
du
所以 n s ,0 s 1
的极限过程是一正态过程。
可以证明 n s ,n t 的联合分布趋于二维正
态分布。
0 s t 1 cov n s , n t E n s n t nE Fn s s Fn t t 1 E N n s N n t ntE Fn s nsE Fn t nst n 1 1 E[ E N n s N n t N n t ] nst E[ N n t E N n s N n t ] nst n n 1 s 1s 2 E[ N n t N n t ] nst nt n ( n 1) t nst n t nt s 1 t
相关函数 RB (s,t )=min{s,t}-st, s,t [0,1]
br
性质，从0到0的布朗桥是高斯过程
例 设常数 a,b R, 定义从a到b的布朗桥：
Btab =a+(b-a)t +Btbr t [0,1]
证明 ： (1) B0ab =a, B1ab =b (2) 从a到b的布朗桥是高斯过程,且
e
e
2
(t -s )
, s,t 0
谢惠扬
股票价格服从几何布朗运动的证明
mB ge (t )=E[exp(Bt
, 2
)]
x2 2t
= e
-
+
t + x
1 e dx 2 t
x2 -2t x 2t
=e
t

+
-
1 e 2 t
dx e
(t )2 2t
=e
t

+
-
1 e 2 t
§2. 与布朗运动有关的随机过程
过程1：d维布朗运动
若 SBM，则称
W 1 (t ),W 2 (t ),
,W n (t )
是 d 个相互独立的
W=(W 1 (t ),
,W d (t ))
是 d 维标准布朗运动.
2 ( , ) 布朗运动 过程2：
Bt
, 2
=t + W (t ), t 0
[W (s )+(W (t )-W (s ))+W (s )]
证明
( , 2 ) 布朗运动是一个高斯过程
对任意自然数 n 2, 不是一般性，取n个不同 的时间指标 0=t0 <t1 < <tn <, 定义增量
k =Bt
, 2
k
-Btk -1 ,
, 2
k =1,
,n
则
k ~N ((tk -tk -1 ), 2 (tk -tk -1 ))




所以当n→∞时，
n (s),0 s 1
的பைடு நூலகம்限过程即为布朗桥过程。
一般的，设X1,X2, …Xn, …独立同分布，F(x) 为分布函数，则随机变量F(Xi)~U(0,1)。记
N n s I F X s
i 1
i
n
类似可讨论 n sup Fn X F X x 布。