圆锥曲线中存在探索型问题
存在探索型问题作为探索性问题之一，具备了内容涉及面广、重点题型丰富等命题要求，方便考查分析、比较、猜测、归纳等综合能力，因而受到命题人的喜爱．圆锥曲线存在探索型问题是指在给定题设条件下是否存在某个数学对象(数值、性质、图形)使某个数学结论成立的数学问题．本节仅就圆锥曲线中的存在探索型问题展开，帮助复习．
1．常数存在型问题
例1 直线y ＝ax ＋1与双曲线3x 2－y 2＝1相交于A ，B 两点，是否存在这样的实数a ，使A ，B 关于直线y ＝2x 对称？请说明理由．
分析 先假设实数a 存在，然后根据推理或计算求出满足题意的结果，或得到与假设相矛盾的结果，从而否定假设，得出某数学对象不存在的结论．
解 设存在实数a ，使A ，B 关于直线l ：y ＝2x 对称，并设
A (x 1，y 1)，
B (x 2，y 2)，则AB 中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
依题设有y 1＋y 22＝2·x 1＋x 22
，即y 1＋y 2＝2(x 1＋x 2)，① 又A ，B 在直线y ＝ax ＋1上，∴y 1＝ax 1＋1，y 2＝ax 2＋1，
∴y 1＋y 2＝a (x 1＋x 2)＋2，②
由①②，得2(x 1＋x 2)＝a (x 1＋x 2)＋2，
即(2－a )(x 1＋x 2)＝2，③
联立⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝ax ＋1，3x 2－y 2＝1得(3－a 2)x 2－2ax －2＝0， ∴x 1＋x 2＝2a 3－a 2
，④ 把④代入③，得(2－a )·2a 3－a 2
＝2， 解得a ＝32
，经检验符合题意， ∴k AB ＝32，而k l ＝2，∴k AB ·k l ＝32
×2＝3≠－1. 故不存在满足题意的实数a .
2．点存在型问题
例2 在平面直角坐标系中，已知圆心在第二象限，半径为22的圆与直线y ＝x 相切于原
点O ，椭圆x 2a 2＋y 29
＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10. (1)求圆C 的方程；
(2)试探究圆C 上是否存在异于原点的点Q ，使Q 到椭圆右焦点F 的距离等于线段OF 的长．若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的点Q 存在，根据其满足的几何性质，求出Q 的坐标，则点Q 存在，若求不出Q 的坐标，则点Q 就不存在．
解 (1)由题意知圆心在y ＝－x 上，
设圆心的坐标是(－p ，p ) (p >0)，
则圆的方程可设为(x ＋p )2＋(y －p )2＝8，
由于O (0,0)在圆上，∴p 2＋p 2＝8，解得p ＝2，
∴圆C 的方程为(x ＋2)2＋(y －2)2＝8.
(2)椭圆x 2a 2＋y 29
＝1与圆C 的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10，由椭圆的定义知2a ＝10，a ＝5，
∴椭圆右焦点为F (4,0)．
假设存在异于原点的点Q (m ，n )使|QF |＝|OF |，
则有⎩⎪⎨⎪⎧
(m ＋2)2＋(n －2)2＝8，(m －4)2＋n 2＝16且m 2＋n 2≠0， 解得⎩⎨⎧ m ＝45，n ＝125，
故圆C 上存在满足条件的点Q ⎝⎛⎭⎫45，125.
3．直线存在型问题
例3 试问是否能找到一条斜率为k (k ≠0)的直线l 与椭圆x 23
＋y 2＝1交于两个不同的点M ，N ，且使M ，N 到点A (0，1)的距离相等，若存在，试求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由．
分析 假设满足条件的直线l 存在，由平面解析几何的相关知识求解．
解 设直线l ：y ＝kx ＋m 为满足条件的直线，再设P 为MN 的中点，欲满足条件，只要AP ⊥MN 即可．
由⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝kx ＋m ，x 23
＋y 2＝1，得(1＋3k 2)x 2＋6mkx ＋3m 2－3＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
则x P ＝x 1＋x 22＝－3mk 1＋3k 2，y P ＝kx P ＋m ＝m 1＋3k 2， ∴k AP ＝3k 2－m ＋13mk
.∵AP ⊥MN ，
∴3k 2－m ＋13mk ＝－1k (k ≠0)，故m ＝－3k 2＋12. 由Δ＝36m 2k 2－4(1＋3k 2)(3m 2－3)
＝9(1＋3k 2)·(1－k 2)>0，得－1<k <1，且k ≠0.
故当k ∈(－1,0)∪(0,1)时，存在满足条件的直线l .。