解1
例9 求
解2
烦！
例10（自学）
解
五、分部积分法（被积函数是两类不同函数的乘积）
例11
解：
原式=
例12
解：
原式=
例13
，求
解：


e
x
ln(1

e
x
)


(1 ex 1
) ex
e
x
dx
例14
解：
递推公式
… …
六：三角代换
解：
原式
例15
例16
解：
原式
七、倒代换：
x

1
分母含x的因子， t
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 解:
在
连续，
在 连续，
自学
解
由
处连续，得：
例4
定义在 R 上，
解：
求
。
在 连续
三、有理函数的积分：
例5 求常数a，b 的值，使
① 不含反正切函数； ② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数。
的结果中，
例5① 求 a, b , 使
解：
不含反正切函数；
不含反正切函数

C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)

dx cos 2
x


sec2
xdx

tan
x

C
(9)

d sin
x
2
x
csc2
xdx

cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
1 1 x2
dx

d
(arctan
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
n axb t
n
axb cxd
t
。
2. 被积函数含
a2 x2 a2 x2
例21
解：
③ m，n均为负偶数（负奇数）：
化为
或
九、
型（a，b，p，q为常数）
解题方法： 求待定常数A，B，使
分母
分母
例22
解：
原式=
例23 （课外练习）
十、两项都难积分
一项用分部积分，产生另一项的相反项
例24
解：
例25
解：
例26
解：
十一、含抽象函数的积分
例27 设
的原函数是
，求
解：
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解源自若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa

(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
B1x C1 x2 p x
q

B2 x C2 (x2 p x q)2

…
Bk x Ck (x2 p x q)k
。
六. 分部积分公式
u dv u v v du uv uvd x
注：下列题型用分部积分法
；
；
x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
（典型例题）
一、由
求
例1
，求
解：
例2
在
上定义，在
内可导，
在
内定义且可导，
时，
求
，
解:
时，
的表达式.
时，
例2
在
上定义，在
内可导，
在
内定义且可导，
时，
求 答案：
， 的表达式。
二、分段函数求不定积分： 例3
分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)

x
dx

1
1
x

1

C
( 1)
(3)

dx x

ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
dx

ax ln a
1
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea x
dx

1 a
d
(ea x )。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (cos ax) a
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan x d x d (secx)
。
csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2

arctan
x
C

dx arcsin x C
1 x2
。
三、 常见凑微分
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
x
dx

1 2
d( x 2
)

1 2a
d(ax2

b)
x d x 1 d ( x1)
或
…
例28 求
解：
原式=
例28 求
另解
原式=
十二、 化为参数方程
例29
，其中
解题思路： 把
转化为
解 令： 则：
把积分中变量 x、y 换为参变量 t
例30
，其中
解 令：
则：
分母x的最高次幂m与分子x的最高次幂n满足：
例17
解：
原式
例18
解：
原式
八、
型（m，n为正负整数）
① m，n中至少一个奇数：
化为
或
② m，n均为偶数： 降次
③ m，n均为负偶数（负奇数）：
化为
或
例19
答案：
化为
解：
① m，n中至少一个奇数： 或
例20
解：
原式
② m，n均为偶数： 降次
积化和差公式：
例5① 求 a, b , 使
不含反正切函数
不含反正切函数；
b 任意
例5 求常数a，b 的值，使
① 不含反正切函数； ② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数。
解：
② 不含对数函数； ③ 仅含有理函数
的结果中，
四、凑微分法： 例6 求
解：
原式=
时， 原式= 时， 原式=
例7 求
解
例8 求
解：
例9 求
令 x a sin t
令 x a tant
x2 a2 令 x a sec t
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) a0xn a1xn1 an Q(x)
(n m)