an1 x an bm1 x bm
有理函数
多项式 + 真分式
相除
分解
若干部分分式之和
多项式 真分式
例
x3 x2
x 1
1

x

1 x2
1
多项式的积分容易计算. 只讨论:
真分式的积分.
有理函数的积分 例求
x3 x 1 假分式 x2 1 dx
解 由多项式除法,有
第四章 不 定 积 分
indefinite integral
已会求已知函数的导数和微分的运算. 常要
解决相反的问题, 就是已知函数的导数或微分, 求原来那个函数的问题. 例如
1. 已知某曲线的切线斜率为2x, 求此曲线的方程.
2. 某质点作直线运动,已知运动速度函数
v at v0 , 求路程函数.
x)
令 t 2x dx 1 dt,

cos
t
2x
1 2
dx
dt

1 2

2 cos
t
dt


1 sin t 2
1 sin 2 2
C
t
xC
2
x
注 “凑微分”的主要思想是:将所给出的积分
凑定成理积分设表f里(u已)具有有的原形函式数,合, u理选择(ux)可导( x, )
是则凑有微换分元的公关式键.

a
1
x
dx


a
1
x
dx

1 2a
ln a x ln a x
C
1 ln a x 2a a x
C
1
1 xa
x2
a2 dx

ln 2a
xa
C
(a

0)
换元积分法
例
求
x2
1 8x

dx 25
a2
1
x
2
dx

1 a
arctan
b0 xm b1 xm 1 L bm
其中m、n都是非负整数;
a0 , a1 , an及b0 , b1 , bm都是实数,且a0 0, b0 0. 假定分子与分母之间没有公因式
(1) n m, 真分式;
(2) n m, 假分式.
P(x) Q( x)
a0 xn a1 xn1 b0 xm b1 xm1
小结
f (cos x)sin xdx f (cos x)dcosx
f (tan x)sec2 xdx f (tan x)dtan x
f (cot x)csc2 xdx f (cot x)dcot x
f (arcsin x)
1 dx 1 x2
f (arcsin x)d arcsin x
a2 cos2 tdt a2 1 cos 2tdt
a2 1
2
(t sin 2t) C
回 代

2 a2
(t

2arcsinaxax sin t cos
t
a
)
2 x2
a C
2
a2
xx
arcsin
a2 x2 C
2
a2
辅助三角形
ax t
a2 x2
例 求
2 cos xd(cos x) u cos x 2 udu
u2 C cos x2 C
注 同一个积分用不同的方法计算,可能 得到表面上不一致的结果,但是实际上都 表示同一族函数.
换元积分法
注 对第一换元积分法熟练后,可以不再写出 中间变量.
1 3xdx
1 dx
x2 a2
(a 0)
sec tdt ln | sec t tant | C
解 令 x a tan t dx a sec2 tdt t ,

1 dx 1 a sec2 tdt
x2 a2
a sect
2 2
回 代
sectdt
xdx

tan
x

C
(9)

dx sin2 x

csc2 xdx cot x C
(10) secx tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
(12) e xdx e x C
(13) a xdx a x C

1 cos x dx
1 cos 2x
1 cos x


2 sin2
dx x
11
2 (sin2 x cot x csc x)dx
1 ( cot x csc x) C 2
不定积分的概念与性质
1 x2
1 x2dx
2
1
x
2 x2
1dx

1

1
ex e
x
dx

dx
ex 1 e x dx


dx


1
1 e
x
d(1

e
x
)
x ln(1 e x ) C
换元积分法
例
求

1

1 cos
x
dx
解

1

1 cos
x
dx


1

1 cos
cos
x 1
x cos
x
dx

(1) kdx kx C (k是常数)
基 (2)
xdx x1 C ( 1) 1
本 (3) dx ln | x | C
积 分
x
说明：x
0,


dx x
ln x C
公 式
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1
x
f [( x)]( x) dx f [( x)]d( x)
u ( x) f (u)du u( x) 第一类换元公式（凑微分法）
证 f [( x)]( x)dxx f [( x)]( x)
f (u)dux f (u)duu ux f (u)( x)
dt


1
1
t
dt

t 2tdt
2t 2ln(1 t) C 2 x 2 ln(1 x ) C
回代
例 求 a2 x2dx (a 0)
解 令 x a sint dx a costdt
t ,
2 2
a2 x2dx a2 a2 sin2 t a cos tdt
x a

C
解

x2

1 8x

dx 25


(x

1 4)2

dx 9

1 32 ( x 4)2 dx
d( x 4) 32 ( x 4)2
1 arctan x 4 C
3
3
换元积分法
例
求

1
1 e
x
dx
解
法一

1
1 e
x
dx


1

1
e

x
ex
e
x
dx
tan2 xdx (sec2 x 1)dx

sin2
x 2
dx

1
cos 2
xdx
第一换元积分法
cos xdx sin x C
cos 2xdx sin2x C
sin2x 2cos2x cos 2x
解决方法
将积分变量换成
2
x.
因为dx

1 2
d(2
研究微分运算的逆运算
不定积分.
不定积分 定义
总和(summa)
定义 设F ( x)是f ( x)的任一原函数, 则f ( x)的 全部原函数的一般表达式 F( x) C
称为函数f (x)的不定积分.记为 f ( x)dx
f ( x)dx F ( x) C
积被被积
积
分积积分
分
号函表变
ln cos x C
cot xdx ln sin x C
第二换元积分法

1
1
x
dx
困难 有根式
解决方法 消去根式,令t x , 即 x t 2(t 0) 则 dx 2tdt

1
1
dx x


2tdt 1 t

2
1
1
t
t
1 dt

2
1
法二 sin2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sinx) u sin x 2 udu u2 C
sin x2 C
换元积分法
法三 sin2xdx 2 sin x cos xdx
xdx x1 C
1
x3 x2
x1 1

x

1 x2 1
原式

xdx
dx x2 1
x2 2
arctan
xC
说明:当被积函数是假分式时,应把它分为 一个多项式和一个真分式,分别积分.