一元函数积分学定积分的计算一定积分计算的基本公式§1、不定积分的概念与性质1、原函数与不定积分定义1：①连续函数一定有原函数；，得定义2例1、求下列函数的不定积分2、基本积分表（共24个基本积分公式）3、不定积分的性质例2、 求下列不定积分⑥§2、不定积分的换元法一、 第一类换元法（凑微分法） 1例1、求不定积分②③④2例2、求不定积分①3、例3、求不定积分①②③④例4、求不定积分二、第二类换元法1、三角代换例1原式例2解：原式例3解：原式例4解： 原式例5解：原式例6解：原式2、无理代换例7解：原式例8解：原式例9解：原式=例10解：4、 倒代换例11解：§3、分部积分法（前后相乘）（前后交换）例1例2例3或解：例4或解：例5例6例7§4、两种典型积分一、有理函数的积分部分分式，然后积分。
例1、或解例2例3例4二、三角函数有理式的积分三角函数有理式积分即变成了有理函数积分。
例5解：例6解：例7ppt 1第二节 多元函数的基本概念二、多元函数的概念定义1 设D 则x，y称为自变量，z称为因变量. 点集D称为该函数的定义域值域.类似地，可定义三元及三元以上函数. , n元函数统称为多元函数.二元函数的几何意义三、二元函数的极限定义2A为函数. 记为或也记作或二元函数的极限与一元函数的极限具有相同的性质和运算法则，在此不再详述. 为了区别于一元函数的极限，我们称二元函数的极限为二重极限.四、二元函数的连续性定义3连续. 则称间断.与一元函数类似，二元连续函数经过四则运算和复合运算后仍为二元连续函数.称为二元初等函数. 一切二元初等函数在其定义区域内是连续的. 这里定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域. 利用这个结论，当要求某个二元初等函数在其定义区域内一点的极限时，只要算出函数在该点的函数值即可.足的定理. 下面我们不加证明地列出这些定理.定理1（最大值和最小值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 在D上至少取得它的最大值和最小值各一次.定理2（有界性定理）在有界闭区域D上的二元连续函数在D上一定有界.定理3（介值定理）在有界闭区域D上的二元连续函数, 若在D上取得两个不同的函数值, 则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次.例题选讲：多元函数的概念例1（讲义例1）.例2（讲义例2）二元函数的极限例3（讲义例3）求极限例4例5（讲义例4）求极限例6求极限例7求例8（讲义例5）.例9. 二元函数的连续性例10（讲义例6）续性.例11例12课堂练习1.2., A , 能否断定3..PPT2第四节全微分我们已经知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当其中一个自变量固定时，因变量对另一个自变量的变化率. 根据一元函数微分学中增量与微分的关系，可得上面两式左端分别称为二元函数对x 和对y 的偏增量，而右端分别称为二元函数对x 和对y 的偏微分.在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量，即所谓全增量的问题. 下面以二元函数为例进行讨论.邻域内的任意一点，则称为函数在点P全增量(4.1)一般来说，计算全增量比较复杂. 与一元函数的情形类似，我们也希望利用关于自变量定义.内容分布图示★偏增量与全增量★全微分的定义★可微的必要条件★可微的充分条件★例1★例2★例3★例4★多元函数连续、可导、可微的关系★全微分在近似计算中的应用★例5★绝对误差与相对误差★例6★内容小结★课堂练习★习题6-4★返回内容提要：一、微分的定义定义1可以表示为(4.2)其中A,B x, y有关, 全微分, 即(4.3)若函数在区域D内各点处可微分，则称这函数在D内可微分.二、函数可微的条件定理1(必要条件) ,,(4.4)我们知道，一元函数在某点可导是在该点可微的充分必要条件. 但对于多元函数则不然. 定理1 的结论表明，二元函数的各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件.由此可见，对于多元函数而言，偏导数存在并不一定可微.因为函数的偏导数仅描述了函数在一点处沿坐标轴的变化率，而全微分描述了函数沿各个方向的变化情况. 但如果对偏导数再加些条件，就可以保证函数的可微性. 一般地，我们有：定理2 (充分条件) , 则函数在该点处可微分.三、微分的计算.(4.5)上述关于二元函数全微分的必要条件和充分条件，可以完全类似地推广到三元及三元以上的多元函数中去.(4.6)四、全微分在近似计算中的应用, 且, 则根据全微分定义，有即(4.7)例题选讲：全微分的计算例1（讲义例1）.例22, 1）处的全微分.例3（讲义例3）. 例4 .例5（讲义例4）.例6 测得矩形盒的边长为75cm 、60cm 、以及40cm, 且可能的最大测量误差为0.2cm. 试用全微分估计利用这些测量值计算盒子体积时可能带来的最大误差.课堂练习1.(0, 0)处函数的全微分是否存在?2.偏导数一、偏导数的定义及其计算法回顾一元函数的导数的概念。
对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数.定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).如果极限存在, 则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作例如类似地,函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数定义为记作或f y(x0,y0).偏导函数：如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点(x,y)处对x的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x、y的函数,它就称为函数z=f(x,y),记作类似地,可定义函数z=f(x,y)对y的偏导函数,记为z y,,只要把y暂时看作常量而对x x暂时看作常量而对y求导数．偏导数的概念还可推广到二元以上的函数，例如三元函数u=f(x,y,z)在点(x,y,z)处对x的偏导数定义为其中(x,y,z)是函数u=f(x,y,z)的定义域的内点.它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题．例1求z.解y x看作常量，因此例2(1, 3)处的偏导数．解先求偏导函数例3 求证:证例4 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),证 因为所以例4说明偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商． 例5二元函数在（0，0）可导，因为所以(0, 0)并不连续．由例5可知，对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续.二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义：f x (x 0, y 0)是过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线在点M 0处的切线T x 对x 轴的斜率.f y (x 0, y 0)过曲面z =f (x , y )上点M 0(x 0, y 0, f (x 0, y 0))的曲线在点M 0处的切线T y 对y 轴的斜率． 课堂练习：习题8－2：1（单）．二、高阶偏导数回顾一元函数的高阶导数的概念． 设函数z =f (x , y )在区域D 内具有偏导数那么在D 内f x (x , y )、f y (x , y )都是x , y 的函数. 如果这两个函数的偏导数也存在, 则称它们是函数z =f (x , y )的二偏导数. 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数f x (x , y )、f y (x , y )也具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数．二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数．例6．求z =x 3ｙ-33的.二阶偏导数解定理如果函数z=f(x,y)D内连续,那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等.类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数.例7证所以因此例8证同理因此提示： 例7和例8中的两个方程都叫拉普拉斯方程（Laplace ），是数学物理方程中的重要方程。
课外作业：复合函数微分法与隐函数微分法在一元函数的复合求导中，有所谓的“链式法则”，这一法则可以推广到多元复合函数的情形. 下面分几种情况来讨论.一、 多元复合函数微分法1．复合函数的中间变量为一元函数的情形（5.1） 公式(5.1)全导数.2、复合函数的中间变量为多元函数的情形(5.3)(5.4) 3、复合函数的中间变量既有一元也有为多元函数的情形定理3,点可导，函数在对应点具有连续偏导数, 则复合函数, 且有(5.7)(5.8)注..在多元函数的复合求导中，为了简便起见，常采用以下记号:这里下标12等等.二、全微分形式的不变性根据复合函数求导的链式法则，可得到重要的全微分形式不变性. 以二元函数为例，设是可微函数，则由全微分定义和链式法则，有由此可见，尽管现在的u、v式上完全一致. 这个性质称为全微分形式不变性. 适当应用这个性质，会收到很好的效果.三、隐函数微分法在一元微分学中，我们曾引入了隐函数的概念，并介绍了不经过显化而直接由方程(5.11)来求它所确定的隐函数的导数的方法. 这里将进一步从理论上阐明隐函数的存在性，并通过多元复合函数求导的链式法则建立隐函数的求导公式，给出一套所谓的“隐式”求导法.定理4设函某一邻域内具有连续的偏导数, 且并有(5.12)定理5, 且并有(5.14)例题选讲：多元复合函数微分法例1（讲义例1）例2（讲义例2）例3.例4例5（讲义例3）例6,例7（讲义例4）其中函数f例8 利用全微分形式不变性解本节的例2.全微分形式的不变性例9（讲义例5）.例10.例11（讲义例6）隐函数微分法例12（讲义例7）(0, 1)的某邻域内能唯一确定一个有连.例13例14（讲义例8）例15 )例16（讲义例9）求例17例18课堂练习1.2.F是可微函数, 证明3.,二重积分一、内容概要1.二重积分的定义定义D上有定义.分割用任意两组曲线将区域D分成n个小区域，分别记为i个小区域的面积.求和并求和取极限n存在，且此极限值不依赖区域DD上的二重积分，记为面积元素.2.二重积分的几何解释由二重积分的定义可知，二重积分为一个数值.从几何上可以解释为：若在区域D则二重积分的值等于以区域D为底，以曲面.若在区域D的值的绝对值等于以D重积分的值为负值.若在区域D而另一些子域上+”直柱体体积前取“-”.3.二重积分的存在性存在定理D上连续，D上的二重积分必存在.4.二重积分的性质设下列被积函数都是可积的.性质1此性质由左向右看，可以解释为：常数因子可以提到积分号外面去.由右向左看，可以解释为：常数乘以二重积分，可以将此因子送入积分表达式中去.性质2性质3 如果闭区域D则性质4若记区域D的面积为S，则性质5 在D性质6 若在D则其中S为区域D的面积.性质7D上连续，S为区域D的面积，则在D称此性质为二重积分的中值定理.5.二重积分的计算二重积分是定积分的推广.计算的基本途径是将其转化为二次积分计算，不同积分次序的二次积分计算量可能相差很大，甚至其中一种次序易于计算，而另一种次序计算复杂，以至于不能用初等函数形式表出.因此计算二重积分时选择积分次序是至关重要的问题.有些问题中给定了积分次序，但依此次序积分可能计算复杂，以至于不能用初等函数形式表示，但是这并不能断言二重积分不能计算，此时应考虑交换积分次序或改变坐标系.因此二重积分有交换积分次序的问题与转换坐标系的问题.常见的二重积分计算可归纳为以下规律：（1）选择积分次序对于给定的二重积分应先选定积分次序，积分次序的选择要考虑两个因素：被积函数与积分区域.选定积分次序之后，关键是确定二次积分的积分限，通常的方法是：先画出积分区域D的图形.若先对y积分，且平行于y轴的直线与区域D的边界线的交点不多于两点，那么确定关于y的积分限的方法为：作平行于y轴的直线与区域D相交，沿y轴的正向看，所作出的直线与区域D，作为积分下限.离开区域D的边界，作为积分上限.而后对x积分时，其积分下限取自区域D在Ox轴上投影的最小值；积分上限取自区域D在Ox轴上投影的最大值.即先对y 积分（入口线）下限（出口线）上限后对x积分将区域D在Ox轴上投影（最小值）下限（最大值）上限其特点是：内层积分限为外层积分变量的函数（或常数），而外层积分限一定为常数！（2）交换积分次序如果给定的积分为二次积分，它不能用初等函数形式表示出来，或者积分的计算量较大，可考虑采用交换积分次序，其一般步骤为：○1先依给定的二次积分限，写出积分区域D的不等式表达式，并依此作出区域D的图形.○2再依区域D的图形，按前面（1）所述确定积分限的方法，确定出另一种积分次序的积分限.（3）选取坐标系如果二重积分不宜在直角坐标系中计算，可考虑利用极坐标系计算，特别是被积函数积分较方便.在极坐标系下二重积分计算的基本思想也是将其转化为二次积分.其一般做法是：先将积分区域D的边界曲线用极坐标表示.设积分区域的边界曲线与过极点的射线至多有两个交点.○1若极点O在区域D外部，区域D则○2若极点O在区域D的边界曲线上，区域D可以表示为○3若极点O在区域D的内部，区域D则（4）对称性质注意利用被积函数与积分区域的对称性，以简化运算.x的奇函数，而积分区域D关于y轴对称，D上的连续函数时.必有x的偶函数，积分区域D关于y轴对称，且在x轴右方部分记D上连续函数时，必有如果积分区域D关于y轴对称，x的奇函数，也非xx的连续的奇函数或偶函数，则可以部分地使用对称性简化计算.x的连续的奇函数或偶函数，而积分区域D不关于y轴对称，但是可以将Dy轴对称，则可以部分地使用对称性以简化计算.（5）被积函数中含有绝对值符号此时应将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域中保持同一符号，以消除被积函数中的绝对值符号.如果被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后应取绝对值形式的表达式.如果积分区域D重反常积分，化为二次积分后可依反常积分处理.二、基本问题与基本运算方法基本问题计算二重积分基本运算方法 1.交换积分次序2.极坐标系下二次积分与直角坐标系下二次积分的转化3.可变限二重积分是变限的函数4.利用概念与性质计算二重积分（1）若二重积分存在，则它表示一个确定的数值.（2）二重积分对于被积函数的可加性、对于积分区域的可加性. （3）二重积分的对称性质：D 上的连续函数，区域D 关于y 轴对称，且在y 轴右侧的（1） 二重积分的坐标轮换对称性质D 上的连续函数，区域D 的边界曲线的方程中x,y 的地位对称，则5.分段函数的二重积分（1）计算分段函数的二重积分，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上有唯一的表达式.（2）被积函数中含有绝对值符号时，应先将积分区域分割为几个子区域，使被积函数在每个子区域上保持同一符号，以消去被积函数中的绝对值符号.（3）被积函数中含有开偶次方根的表达式，注意开方后的表达式应取绝对值形式的表 达式.6.二重积分的计算（1）直角坐标系下化为二次积分. （2）极坐标系下计算二次积分. （一）交换二次积分次序1.2. 交换积分次序3. ）.A. B.C. D.4. （）.A. B.C. D.5. = .6.（）.A.C. D.8.（）A. B.C. D.9.设区域，则在极坐标下二重积分（）.A. B.C. D.12.设，，）.B. C. D.13.D是由）.A. B. C. D.14.D上的连续函数，且15.则以下结论正确的是（）.16.友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参考!最好找专业人士起草或审核后使用。