1
( 1)
1 dx d (ln x)
x
ea
x
dx
1பைடு நூலகம்a
d
(ea
x)。
cos ax d x 1 d (sin ax) a
sin ax d x 1 d (co6s ax) a
精品ppt
sec2 x d x d (tanx)
sec xtan xd x d (secx)
1 1 x2
dx
d (arctan
不定积分
（内容提要） 一、 原函数与不定积分的概念
F (x) 为 f (x) 的一个原函数.
F(x) f (x)
f (x)dx F (x) C 。
二、 基本积分公式
(1) dx x C
(2)
x
dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4) exdx ex C
(5)
ax
1 x2
dx arcsin x C
a2 x2
a
dx
a2 x2
1 ln 2a
ax C ax
dx ln x x2 a2 C 。 x2 a2
三、 常见凑微分
5
d x 1 d(a x) 1 d(a x b)
a
a
精品ppt
x
dx
1 2
d(
x2
)
1 2a
d(ax2
b)
x d x 1 d ( x1)
dx
ax ln a
C
。
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
(8)
dx cos 2
x
sec
2
xdx
tan
x
C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C
(11) csc x cot xdx csc x C
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式.
解: x 0 时，f ( x ) g(x)1 f ( x ) g ( x) x C 1 C 1 0
f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1 f ( x ) g(x)3x2 1
f ( x ) g(x) x3xC2 C 2 2 x 0 时， f (x) 2x1
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若分母含因式 (x a)k，则对应的部分因式为
A1 xa
(x
A2 a)2
…
(x
Ak a)k
若分母含既约因式 (x2 p x q)k，则对应的部分因式为
… B1x C1 B2x C2 Bk x Ck
x2 p x q (x2 p x q)2
(x2 p x q)k
tanx
sinx
12sin2x1sisni2nx2x
1 sin2
x
2sin2
x
f (x) 1 2x x
f ( x ) (1x 2x)dx ln|x|x2C
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
13
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
精品ppt
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
。
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六. 分部积分公式 10 u dv u v v du uv uvd x 注：下列题型用分部积分法 xn ea xd x； x n sin a x d x.； x n cos a x d x. x lnn x dx； x arctan x dx ； x arcsin x dx ；
ea x sin bx dx ； ea x cos bx dx 。
不定积分
11
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（典型例题）
一、由 例1
f ( x) 求 f ( x )
12
f(sin2x)cos2x( 1)2 ，求 f ( x )
tanx
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解： f(sin2x)cos2x( 1)2 12sin2x(cosx)2
g(x) x 1 g(x) x3x1
例2
f ( x ) 在 [0,) 上定义，在 (0,) 内可导，
14
g ( x ) 在(,) 内定义且可导，f(0)g(0)1
x 0 时， f ( x ) g(x)3x2 f ( x ) g(x)1 f (2x) g ( 2 x) 1 2 x2 1
求 f ( x ) ，g ( x ) 的表达式。
x2 a2 令 x asect
ax2 bx c 先配方，再作适当变换
(有时用倒代换 x 1 简单）。 t
五、有理函数真分式的积分:
R(x) P(x) Q(x)
a0xn a1xn1 an b0xm b1xm1 bm
9
(n m)
a0xn a1xn1 an
分母在实数范围内因式分解
的关系，用同一个常数 C 表示。
例3 m in{x2,x6}dx
解:
y x2
x 6, x 2
2
m in{x2,x6} x 2 , 2 x 3
x
6
,
x3
1 2
x2
6x
C1
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
1 2
x2
6x
C3
x3
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y16 x6 3
1 2
x2
6x
C1
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答案：
f(x ) 2 x 1 ,(x 0 ) x1, x0
g(x)x3x1, x0
二、分段函数求不定积分：
15
例3
m in{x2,x6}dx
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分段函数不定积分的求法： (1) 各段分别积分，常数用不同 C1， C2 等表示； (2) 根据原函数应该在分段点连续确定 C1、 C2
x2
m in{x2,x6}dx
1 3
x3
C2
2x3
17
精品ppt
1 2
x2
6x
C3
x3
在 x2 连续，
212C1
8 3
C
2
C1
22 3
C2
在 x 3 连续，
9C2
9 2 18 C3
C3
27 2
tan xdx ln cos x C cot xdx ln sin x C。
sec xdx ln sec x tan x C
4
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csc xdx ln csc x cot x C
dx
1 x2
arctan
x
C
dx a2 x2
1 arctan x
a
a
C
dx arcsin x C
x)
1 dx d (arcsin x)
1 x2
一般地： f (x) dx d ( f (x)) 。
四、第二类换元法
1. 被积函数含
naxb
令
n axb cxd
令
7
n axb t
n
axb cxd
t
。
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2. 被积函数含 8 a2 x2 令 x asin t a2 x2 令 x a tant