本次课内容提要
➢ Conservativity of Electrostatic Field 静电场的保守性
➢ Potential energy,Potential Difference and
Electric Potential 电势能，电势差和电势
➢ Superposition Principle of Electric Potential 电势的叠加原理
电势的相对性
例：无限长带电直线线电荷密度为 ，求电势分布。
解：无限长带电直线的场强：E
(1)选无穷远为电势 0 点
2 0r

P
P
Edl

P
Edr
o

(2)选
r 2 0r dr
距离直线1米处
2
0
(ln ln
无意义
r
)
r Pr
为电势 0 点
A q0
b E dl
a
q0q 1
40 ra
1 rb
电场力作功等于(始
b
末两点的点函数之差)
电势能的减少：
A q0
a
E dl
WPa WPb
q0
*电势能属于电荷与电场所共有 WPa
WPb
2.电势能零点的选取
*电势能之差有绝对意义， *电势能只有相对意义

1
4 0r
0q
dq

q
4 0r

4 0
q x2 R2
例3: 两个绝缘的均匀带正电的薄球壳，半径分 别以为无穷RA远，处R为B电，势所零带点总，电求量空分间别电为势q分A ，布。qB。
qB
RB
P1
RA
qA P3 P2
Q>0
Review








(r) Q 4 0r
(r) Q 4 0R
rR
rR
P1
1

A1
B1
qA
4 0r1

qB
4 0r1
P2 qB
2
A2
B

qA
4 0r2

qB
4 0RB
RB
P1 P3 3 A B
RA
qA P3 P2
qA qB
4 0RA 4 0RB
无限带电体电势 0 点不宜选无穷远
电势迭加原理：电荷系的电场中某点的电势为各
带电体单独存在时在该点产生电势的代数和

a a E dl



a

( E1


E2






En )

dl

a E1 dl a E2 dl a En dl
n
1 2 n i
ra
q0 a
dr F
E
电场力的功只与始末位置有关，而与路径无 关，电场力为保守力，静电场为保守场。
2.点电荷系统: q1, q2, …, qn的电场.


E E1 E2 ... Ei
q0
p2 p1
E
dr

q0
p2 p1
E1

dr
q0
p2 p1
电势差 Uab 为电场力移动单位正电荷从 a 点到 b 点所 作的功。
b
A q0 a E dl q0U ab
电场力的功等于电势差与检验电荷电量的乘积。
三、注意几点
1.电势是标量，只有正负之分
2. 电势 0 点的选取与电势能0 点的选取相同
“0”
a a E dl •通常选无穷远为电势 0 点
原则上可任意选取
无限远处为势能零点
通常
理论上取
（电荷分布有限）
电荷分布至无限远时，不 能取无限远处为参考点
工程上取 地球为势能零点
选b点为势能
零点WPb=0 0
b E dl
a
"0"
WPa q0 a E dl
3.电势 , 电势差Uab
4
解：由
qi
i1 4 0ri
q r
q
1 (q q q q)
o
4 0r
0
q
q
例2：均匀带电圆环，半径为 R，带电为 q，求
圆环轴线上一点的电势 V。
解：将圆环分割成无限多 个电荷元：
d dq 4 0r
环上各点到轴线等距。
q dq r
R
ox
Px
d
3.电势总是连续变化的! 4.电势为电场力移动单位正电荷从场点到无穷 远所作的功。
四、电势的计算方法 (一)由定义求电势
“0”
a a E dl
通常用于：高度对称的场（由高斯定理可方便 地求出场强，或已知场强表达式） 。
例1点电荷电场的电势
a r E dl
选积分路经沿电场线方向，则有：
E2

dr
...
q0
p2 p1
En

dr
各项都与路径无关，则总电场力作功与路径无关。
静电力为保守力，静电场为保守场。

二、环路定理
LE dl 0
1.定理表述：静电场中电场强度沿闭合路径 的线积分等于零。
三、电势能、电势、电势差
1.电势能EP
只有对保守场，才能引入势能的概念 电场力是保守力，可引入势能的概念
只取决于场源电荷 q
例2：均匀带电球壳半径为 R，电量为 q，求：
球壳内、外的电势分布。无穷远为电势0点
解：球壳内、外的场强
E1

0
E2

1
4 0
q r2
•I区：球壳内电势
rR
R
II
1
r
E1 dl

R
E2

dl


dl
0 R E 2dr
P

2
0
(ln 1
ln
r)
P

2 0
ln
1 r
r 1, P 0
r 1, P 0
b a
E dl

q0 ab
Edl
cos
b
A q0 a Edl cos
dl cos dr
b
A q0 a Edr
点电荷的场
A q0
rb ra
1q
4 0 r 2 dr
q
q0q 1 1
4 0 ra rb
b rb
dl r
WPa q0
除去q0的因素 电势定义：
"0" WPa q0 a E dl
a

WPa q0

E dl
a
电势差: Uab a b
单位：伏特，V
b b
a E dl b E dl a E dl E dl a E dl
a
r
E dr cos 0

r
q
4 0 r 2
dr

q
4 0r
dl q ra E
q 4 0r
•正电荷的场中各点电势为正
0
•负电荷的场中各点电势为负
0

q 0
o
r
•电势能与电势的区别
沿电场线方向电势降低
V
o
r
q 0
WP 可正可负，取决于 q 和 q0
i 1
点电荷系
n

i 1
i

n

i 1
qi
4 0ri
连续分布带电体
Q
将带电体分割成无限多个电荷元
d dq 4 0r
rP dq
V体 d V体
dq
4 0r
V体
点电荷系电势的计算
例1：在正方形四个顶点上各放置 +q、+q、-q、-
q 四个电荷，求正方形中心 o 点的电势 。
II I qo
M
与点电荷的场相同！

RE r
II
均匀带电球壳 II
I qo R
I qo R
qE
4 0 R 2
场强分布

q
4 0 R
电势分布
oR
r
oR
r
在球面处场强不连续，而电势是连续的。
(二) 由电势迭加原理求电势
通常用于：•单个对称性较差的带电体的场
•几个分立的带电体的场
•电荷连续分布，可分解成基本带电体的场
// dr
// E
q
I o
r
R
P
E r

R
1
4
0
q r2
dr
q
4 0 R

球内区域是一个等势区！电势都等于球面上的电势
•II区：球壳外电势
rR
2
r E2 dl

dl //
dr//
E
r E 2dr

r
1
4 0
q r2
dr
q
4 0r
➢Electric Potential Gradient 电势梯度
一、静电场的保守性-电场力的功
1.点电荷的场
静电力对运动电荷作功
在 q 的电场中将检验电 荷 q0 从 a 点移动到 b 点，电场力作功为：