2017 年军考真题
士兵高中数学试题
关键词：军考真题，德方军考，大学生士兵考军校，军考数学，军考资料
一、单项选择（每小题
4 分，共 36 分）．
1.
设集合 A={y|y=2 x ，x∈ R}，B={x|x 2﹣ 1＜ 0} ，则 A∪ B=（
）
A．（﹣ 1，1） B．（ 0， 1） C ．（﹣ 1，+∞） D ．（ 0，+∞）
2.
x a 且 a≠1）在 [1 ， 2] 上的最大值与最小值之和为（ a
已知函数 f （ x）=a +log x（ a＞ 0 log 2） +6，则 a 的值为
（ ）
A． B ． C ． 2 D ． 4
3.
r r
ur
ur ur r ur r
设 a、b 是向量，则 |a|=|b|是 |a+b|=|a-b| 的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D.既不充分也不必要条件
4 2 1
4．已知 a=2 3 , b 45 , c 253 ，则（
）
A． b
设 F 为抛物线 C： y2=3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30°的直线交 C于 A， B 两点， O为坐标原点，则△ OAB 的面积为
（ ）
A．
B ． C ． D
．
6.
设数列 {a n} 是首项为 a1、公差为 -1 的等差数列， Sn 为其前 n 项和，若 S1， S2， S4 成等比数列，则 a1=（
）
A． 2 B ． C ．﹣ 2
D．﹣
7.
袋中共有 15 个除了颜色外完全相同的球，其中有 10 个白球， 5 个红球．从袋中任取 2 个球，所取的 2 个球中恰有
1 个白球， 1 个红球的概率为（
）
A．
B ． C
．
D． 1
8. 已知 A， B， C 点在球 O的球面上，∠ BAC=90°， AB=AC=2．球心 O到平面 ABC的距离为 1，则球 O的表面积为
（）
A．12π B ．16π C ．36π
D．20π
9. 已知 （f x） （x2017 ln x），
f （'
x0） 2018 ，则 x0
=（
）
A.
e
2
C.
ln 2 D. e
二、填空题（每小题
4 分，共 32 分）
10.
设向量 ， ，且 ，则 m= ．
11.
设 tan α， tan β 是方程 x2﹣ 3x+2=0 的两个根，则 tan （α +β）的值为
．
12.
已知 A、 B 为双曲线 E 的左右顶点，点 M在 E 上，△ ABM为等腰三角形，且顶角
为 120°，则 E 的离心率为．
13.
已知函数 f （ x） = ，则 f （f （ ）） =
．
14.
在 的展开式中 x7 的项的系数是 ．
15.
我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有
5 架“歼﹣ 15”飞机准备着舰，如果甲、乙两机必
须相邻着舰，而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是
_______。
16.
在极坐标系中，直线 ρcosθ﹣ ρsin θ﹣ 1=0 与圆 ρ=2cosθ 交于 A， B 两点，则 |AB|=_______ ．
17.
已知 n 为正偶数，用数学归纳法证明 时，若已假设 n=k
（k≥2， k 为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证
n=
时等式成立．
三、解答题（共 7 小题，共 82
分，解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
18. （本小题 8 分）对任意实数 x，不等式﹣ 9＜ 3x2 px 6 ＜ 6 恒成立，求实数 p 的取值范围。
x
2
x 1
19. （本小题 12 分）
20、（ 12 分） 已知数列 {a n} 中， a1=1，二次函数 f （ x）= an? x2+（2﹣ n﹣an+1）? x 的对称轴为 x= ．
（ 1）试证明 {2 nan} 是等差数列，并求
{a n} 通项公式；
（ 2）设 {a n} 的前 n 项和为 Sn，试求使得 Sn＜3 成立的 n 值，并说明理由．
21、（ 10 分）已知 5 只动物中有 1 只患有某种疾病，需要通过化验血液来确定患病的动物．血液化验结果呈阳性的即
为患病动物，呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止．
方案乙：先任取
3 只，将它们的血液混在一起化验．若结果呈阳性则表明患病动物为这 3 只中的 1 只，然后再逐个化
验，直到能确定患病动物为止；若结果呈阴性则在另外
2 只中任取
1 只化验．
（Ⅰ）求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
（Ⅱ）ξ 表示依方案乙所需化验次数，求 ξ 的期望．
22、（ 12 分） 已知函数 f （ x） =ax+bsinx ，当 时， f （ x）取得极小值 ．
（ 1）求 a， b 的值；
（ 2）设直线 l ： y=g（ x），曲线 S： y=f （ x）．若直线 l 与曲线 S 同时满足下列两个条件：①
直线 l 与曲线 S 相切且至少有两个切点；
②对任意 x∈ R 都有 g（ x）≥ f （ x）．则称直线 l 为曲线
y=ax+bsinx “上夹线”．
S 的“上夹线”．试证明：直线 l ： y=x+2
为曲线
S：
23、（ 14 分） 已知圆 M：x2+（ y﹣ 4）2=4，点 P 是直线 l ：x﹣ 2y=0 上的一动点，过点 P 作圆 M的切
线
PA， PB，切点为
A， B．
（ 1）当切线 PA的长度为 时，求点 P 的坐标；
（ 2）若△ PAM的外接圆为圆 N，试问：当 P 在直线 l 上运动时，圆 N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不
存在，说明理由．
（ 3）求线段 AB长度的最小值．
24、（ 14 分） 如图，在四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1 中，侧棱 AA1⊥底
面 ABCD，AB⊥ AC， AB=1， AC=AA1=2， AD=CD=
，且点 M
和 N 分别为 B1C 和 D1D 的中
点．（Ⅰ）求证： MN∥平面
ABCD
（Ⅱ）求二面角 D1﹣ AC﹣ B1 的正弦值；
（Ⅲ）设 E 为棱 A1B1 上的点，若直线 NE和平面 ABCD所成角的正弦值为 ，求线段
A1E 的长．