20１７年军考真题
士兵高中数学试题
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一、单项选择（每小题4分,共36分）．
１. 设集合A={y|ｙ=２x ,x ∈R}，Ｂ＝{ｘ|ｘ2﹣１<０}，则A ∪B=（ ）
A.(﹣1，1) B ．(0,1）
C.（﹣1，＋∞） D ．（0,+∞） 2. 已知函数f （x ）=a x +log a x （a ＞0且ａ≠1)在［1,2]上的最大值与最小值之和为（ｌog a 2）＋6,则ａ的值为
（ ） A. ﻩ B ．ﻩ Ｃ.2
D.4 3． 设a b 、
是向量，则||=||a b 是|+|=|-|a b a b 的（ ) A.充分不必要条件 Ｂ.必要不充分条件
C.充要条件ﻩﻩ
D.既不充分也不必要条件
4.已知421353=2,4,25a b c ==,则( ）
A.b<ａ＜c
B.a<b<ｃﻩＣ．ｂ<c<a ﻩ
D ． c<a<b 5. 设F 为抛物线Ｃ：y 2=3x 的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A ，B 两点，O 为坐标原点，则△OAＢ的面积
为( )
A ．
Ｂ．ﻩ C.ﻩ Ｄ.
6． 设数列{a n ｝是首项为a 1、公差为-1的等差数列,S n 为其前n 项和,若S 1，Ｓ２,S 4成等比数列，则ａ1=( ）
Ａ．2ﻩ B.ﻩ C.﹣２
D ．﹣
７. 袋中共有１5个除了颜色外完全相同的球，其中有1０个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球,1个红球的概率为（ ）
A ．
B.ﻩ
C.
D.1
8. 已知Ａ,B ，C 点在球O 的球面上，∠BA Ｃ=9０°，ＡＢ=AC ＝2．球心O 到平面AB Ｃ的距离为1，则球O 的表面积为( ）
Ａ.１2π
B ．1６πﻩ
C ．３6π
D.2０π 9. 已知2017ln f x x x =+（）（）,0'2018f x =（
）,则0x ＝( ) A. 2e ﻩＢ.1ﻩ C. ln 2 ﻩﻩ Ｄ. e
二、填空题（每小题4分,共32分）
10. 设向量，
,且，则m= ． 11. 设t ａnα,tanβ是方程x ２﹣3ｘ＋2=0的两个根,则tan （α+β)的值为 .
12． 已知A 、B 为双曲线E 的左右顶点，点Ｍ在Ｅ上,△ABM 为等腰三角形，且顶角为120°,则E 的离心率为 .
13. 已知函数f （x)=
，则f(f())＝ ． １4． 在的展开式中x ７的项的系数是 .
15. 我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中,有5架“歼﹣１5”飞机准备着舰,如果甲、乙两机必须相邻着舰,而丙、丁两机不能相邻着舰，那么不同的着舰方法数是＿__＿__＿。
16. 在极坐标系中,直线ρcosθ﹣ρsiｎθ﹣1=0与圆ρ=２cosθ交于A,B 两点，则|AB|=_____＿＿.
1７. 已知n 为正偶数，用数学归纳法证明
时,若已假设n=k(k≥2,ｋ为偶数)时命题为真,则还需要用归纳假设再证n= 时等式成立．
三、解答题(共7小题,共８２分,解答题应写出文字说明、演算步骤或证明过程）
１８．(本小题8分)对任意实数x,不等式﹣9<22361
x px x x +--+＜6恒成立,求实数p 的取值范围。
19.(本小题12分）
20、（12分）已知数列{ａn｝中,a1=1,二次函数f（x）=a n•x2+(2﹣n﹣aｎ＋1)•x的对称轴为x=．
（1)试证明{2ｎａｎ}是等差数列，并求{ａｎ}通项公式;
(２)设{ａn｝的前n项和为S n，试求使得S n<3成立的ｎ值，并说明理由.
21、（1０分)已知５只动物中有１只患有某种疾病,需要通过化验血液来确定患病的动物.血液化验结果呈阳性的即为患病动物,呈阴性即没患病．下面是两种化验方法：
方案甲：逐个化验，直到能确定患病动物为止.
方案乙：先任取3只，将它们的血液混在一起化验.若结果呈阳性则表明患病动物为这3只中的1只,然后再逐个化验，直到能确定患病动物为止;若结果呈阴性则在另外2只中任取1只化验．
（Ⅰ)求依方案甲所需化验次数不少于依方案乙所需化验次数的概率；
(Ⅱ)ξ表示依方案乙所需化验次数，求ξ的期望．
22、(1２分)已知函数f（ｘ)=ax+bsinx,当时,f(x)取得极小值．
（1）求ａ，b的值;
(２)设直线ｌ：ｙ=g（x)，曲线Ｓ:ｙ＝f（x).若直线l与曲线Ｓ同时满足下列两个条件:
①直线l与曲线Ｓ相切且至少有两个切点;
②对任意x∈R都有ｇ(x）≥f（ｘ).则称直线l为曲线S的“上夹线”.试证明:直线ｌ：ｙ=x+2为曲线S：ｙ=ａx＋bsinx“上夹线”．
23、（14分）已知圆M：x2＋（y﹣4)2=４，点P是直线ｌ:ｘ﹣2y＝０上的一动点，过点Ｐ作圆M的切线ＰA,PB,切点为A，B.
（1）当切线PA的长度为时,求点Ｐ的坐标；
（2)若△PAM的外接圆为圆N，试问:当P在直线l上运动时,圆N是否过定点?若存在，求出所有的定点的坐标;若不存在，说明理由.
（３)求线段ＡB长度的最小值．
2４、(１4分）如图，在四棱柱ＡＢCD﹣Ａ1Ｂ1C１D1中,侧棱AA1⊥底面ＡBＣD，ＡB⊥AC，AB=１，AC＝AＡ1=２,Ａ
D=CD=,且点M和Ｎ分别为B1Ｃ和D１Ｄ的中点.
（Ⅰ)求证：ＭN∥平面AＢＣD
(Ⅱ)求二面角D1﹣AC﹣B１的正弦值;
(Ⅲ）设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ＡＢＣD所成角的正弦值为,求线段A1Ｅ的长.。