代数第一、二章复习2005-10-31一、填空题1、 设311174736-=A ，则A 中元素12a 的代数余子式等于-11；121241(1)13A +=-2、 设A 是3阶方阵，且，则*A=2113n A-⎛⎫= ⎪⎝⎭；3133393n A A A A ===⇔=3、 设3阶方阵123406103A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭0≠，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=30342531t B ，且0=AB ，则t =_______-7____； 4．设A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛333222111c b a c b a c b a ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333222111d b a d b a d b a B ，且A =4，B =1，则B A 2+= 54 B A 2+ =233332222111132********=+++d c b a d c b a d c b a 333322221111222d c b a d c b a d c b a +++ 3332221119c b a c b a c b a =1112223332929[421]542a b d a b d a b d +=+⨯=； 5已知A 是秩为2 的4阶矩阵，则)(*A r =__0_________；00=∴=*A A ij6.设A =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212221212111，其中0≠i a ，n i b i ,,2,1,0 =≠，则)(A r =__1___________；7、设A ,B ,C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式1911130271()231(1)()33(3)27B D A CB A B A B A-----==-----=-=-=-由于 ；8、 已知A 为三阶方阵,且4=A ,82=+E A , 则1-+A A =_____2____；9、 设1121011130111111-=A ，则第4行各元素的代数余子式之和为___0________；10、设A 为n 阶可逆矩阵,B 是将A 中的第i 行与第j 行元素对调后的矩阵,则1-AB =__Pij____。

11．设A 为5阶方阵，且A ＝－4，则行列式64A A =12如果1112132122233132333a a a D a a a a a a ==，则1112131212223313233535353a a a D a a a a a a -=--= -45 13．如果111221222a a a a =，线性方程组 ⎩⎨⎧=+=+22221211212111b x a x a bx a x a 的解必是14．已知行列式1340564x x中元素(1, 2)的代数余子式120854x A =-=，元素(2, 1)的代数余子式21A 的值=。

15．已知5为A 阶方阵，且行列式a A =||，则|2|A =5|2|2A a =二、选择题1、如果1333231232221131211==a a a a a a a a a D ，则3332313123222121131211111324324324a a a a a a a a a a a a D ---== ( ))(A 8 )(B 12-)(C 24 )(D 24-2．设A 为4阶方阵，已知3=A ，且，则1-*A A =______； 3、设A ,B ,C 是n 阶方阵,且E ABC =,E 为n 阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是 ( ))(A E BCA =)(B E ACB =)(C E BAC =)(D E CBA =4、当bc ad ≠时，1-⎪⎪⎭⎫⎝⎛d c b a = （ ）)(A ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a b c d bc ad 1)(B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a b c d bc ad 1 )(C ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---a c b d ad bc 1)(D ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---a c b d bc ad 1 5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是 （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010100001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101010001)(C ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-400010001)(D ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1010101006、若⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅333231232221131211a a a a a a a a a P = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ，则P = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001)(B ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100010301)(C ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-101010300)(D ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1300100017、设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4433221100000000a b a b b a b a A ，则A =（ ）)(A 43214321b b b b a a a a -)(B 43214321b b b b a a a a +)(C ))((41413232b b a a b b a a --)(D ))((43432121b b a a b b a a --8、设n 阶方阵A 满足E A 22=，其中E 是n 阶单位阵，则必有（ ）)(A 12-=A A )(B E A 2-=)(C A A 211=-)(D 1=A9、设A 、B 都是n 阶非零矩阵，且0=AB ，则A 和B 的秩（ B ） )(A 必有一个等于零 )(B 都小于n)(C 一个小于n ，一个等于n )(D 都等于010．设n 阶矩阵A 满足02=+E A ，其中E 为n 阶单位矩阵，则必有( )(A) A E = (B) A E -= (C) 1--=A A (D) 1=A11．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=004030200A ，且a ，b ，c 均不为零，则1-A = （ ）)(A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛004103102100)(B ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛004102103100)(C ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛002103104100)(D ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛41000310002112．设A 、B 是n 阶方阵，且0AB =，()2r A n =-，则 ( )(A) ()2r B = (B) ()2r B < (C) ()2r B ≤ (D) ()2r B >三、 计算题1、 已知 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=102324171231102B A 求T AB )(。

解：法一：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1013173140102324171231102AB ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10313141701013173140TT AB 法二()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1031314170213012131027241131027241213012T T TT T A B AB B A2、 求行列式；（1）,3554243313221211--（2）xyyyyy x y y yy y x y yyy y xyyy y y x（3）mx x x x m x x x x m x n n n +++212121（4）n111211113、设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=101020101A ，已知X A E AX +=+2，求矩阵X 。

4．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=110111101A ，则1-A ＝⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11121111231 解：由于⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---→⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-313131323131313132313131323131313132100010001100010001110111101),(1A E A5、设A 是n 阶矩阵，满足E AA T =，0<A ，求行列式E A +的值6、设3阶方阵A 的伴随矩阵为*A ，且21=A ，求*--A A 2)4(1。

7、如果可逆矩阵A 的各行元素之和为a ，计算1-A 的各行元素之和等于什么？解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--11111111111111111 a A A A a A a a a A ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒--a a a a A aA 1111111111111111118、设实矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a aa a a a a a 满足条件： （1）j i j i A a =，)3,2,1,(=j i ，其中j i A 是j i a 的代数余子式；（2）111-=a 求行列式A 。

9、设A ＝120021001⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, B ＝112053-⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭，求矩阵X 使其满足矩阵方程AX B =。

10.设A ，B 为5阶方阵，|A|＝－1，|B|＝－2，求=-12B A T 。

=*-B A 13解 15122--=B A B A T T =)21)(1(25--=16 =*-B A 1311．利用初等变换求矩阵A 的秩（1）、⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=14011313021512012211A 解：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---=00000222001512012211222000000015120122112220015120151201221114011313021512012211Ar(A)=3（2）、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=321131111111A解：2)(00002100111142002100111121004200111132113111111123323212,)1(=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----−−−−→−⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=+-↔+-⨯A r A r r r r r r r （3）、 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=3620130131120141A 解：3)(00005160015101301516005160015101301362014401510130136200141311213013620130131120141=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=A r A12．已知1101A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，求19A 解 由于 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101n A n ，因此⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1019119A 类似地，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111,1101n B B n ；⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101,101na C a C n11．解线性方程组123413412313424343317733x x x x x x x x x x x x x -+-=-⎧⎪+-=-⎪⎨++=⎪⎪+-=⎩解：将增广阵化为规X 的阶梯阵：),(000006100040210301010000061000212103110124400012200021210311012440001032102121031101337071011343412311013370710113311014341200212)1(732313233422314131212βA r r r r r rr r r r r r r r rr r r =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------−−→−⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------+---+---↔ 得同解方程组00β=X A 为⎪⎩⎪⎨⎧==-=+642343231x x x x x 移项添项即得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+=+-=64234333231x x x x x x x 因此方程组通解为：是任意数）33(60430121x x X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=四．证明题1．设方阵A 满足40A =，试证明E A -可逆，且123)E A E A A A --=+++（2323234)E A E A A A E A A A A A A A E A E-++++++-+++=4（（）=（）=-2．设A 为可逆矩阵，E A A ||2=，证明：*=A A证明：由于A 为可逆矩阵，且E A A E A AA ==*2,||又由已知故*=AA A 2两边左乘1-A 得*=A A3、设n 阶方阵A ，B 满足 AB B A =+，求证（1）E A -可逆；（2）AB=BA4、设n 阶方阵A 满足022=--E A A ，证明：矩阵A 可逆证明 由于022=--E A A ，有E E A A E A A =-⇒=-)2(22故矩阵A 可逆，且E A A 21-=-。