目录线性代数试卷（A）2004-06-16 (2)线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案 (8)线性代数试卷(A) 2003-12-31 (11)线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案 (17)线性代数试卷(A) 2005-06-22 (20)线性代数（04－05－2）期末试卷（A）参考答案 (26)线性代数试卷(A) 2004-12-29 (30)线性代数（04－05－1）期末试卷（A）参考答案 (36)线性代数试卷（A卷）2006－06－21 (39)线性代数参考答案 (45)线性代数(B)试卷----A卷2006-1-4 (48)线性代数（B）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (54)线性代数(C) 试卷----A卷2006-1-4 (57)线性代数（C）（05－06－1）期末试卷（A）参考答案 (63)上海交通大学线 性 代 数 试 卷（A ） 2004-06-16姓名____________班级___ _______学号______________得分一、选择题（每题3分，共15分） 1. 设n 阶行列式D =nija ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则下列各式中正确的是 (A) 01=∑=ni ij ij A a ；(B) 01=∑=nj ij ij A a ；(C) D A a nj ij ij =∑=1；(D) D A a ni i i =∑=1212. n 阶实对称矩阵A 和B 相似的充分必要条件是(A) A 与B 都有n 个线性无关的特征向量； (B) )()(B r A r =；(C) A 和B 的主对角线上的元素的和相等； (D) A 与B 的n 个特征值都相等3. 设1α,2α,3α,4α是齐次线性方程组0=Ax 的一个基础解系，则下列向量组 中不再是0=Ax 的基础解系的为________________ (A) 1α,1α+2α,1α+2α+3α,1α+2α+3α+4α； (B) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α-1α； (C) 1α+2α,2α-3α,3α+4α,4α+1α； (D) 1α+2α,2α+3α,3α+4α,4α+1α4. 设方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=--=++222513321321321x x x b x x x x x x 有无穷多组解，则必有_______________(A) b ＝1 (B) b ＝－1 (C) b ＝2 (D) b ＝－2 5. 设向量组[Ⅰ]是向量组[Ⅱ]的线性无关的部分向量组，则____ ___(A) 向量组[Ⅰ]是[Ⅱ]的极大线性无关组 (B) 向量组[Ⅰ]与[Ⅱ]的秩相等(C) 当[Ⅰ]中向量均可由[Ⅱ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 (D) 当[Ⅱ]中向量均可由[Ⅰ]线性表出时，向量组[Ⅰ]，[Ⅱ]等价 二、填空题（每题3分，共15分）1．设 1-，5，λ 是矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=120222023A 的特征值，则λ= ，A 对应三个特征值的特征向量是 ,且（选填；线性无关，线性相关，相互正交，相互不正交）2．设A 为n 阶可对角化矩阵,且n E A r <-)(,则A 必有特征值λ＝ ； 且其重数为 ，其对应的线性无关的特征向量有 个 3．已知实二次型),,(321x x x f = 31212322212232x x x x x x x ++++λ是正定二次型， 则参数λ的取值范围为4．设23A ⨯为矩阵，已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0211ξ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1032ξ都是齐次线性方程组0=AX 的解，则矩阵A ＝ （答案不唯一） 5．设A 为n 阶可逆阵，且E A A ||2=，则*A =三、计算题（每题9分，共54分）1. 试求行列式 ||A ，||B ，||C ，其中，A ，B 为 n 阶方阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++=x x xA 111111111 ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n B00020001，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00B A C2. 已知线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111，（1）常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？（2）当方程组有无穷多解时，求出其通解．3．设4阶方阵C B A ，，满足方程 11)2(--=-C A B C E T ，试求矩阵A ，其中1232120101230120,0012001200010001B C --⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪-⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4．求正交变换y Q x =，用此正交变换将以下实二次型化为标准形),,(321x x x f =121323222x x x x x x ++5．设34()2,A r A ⨯=为矩阵，且已知非齐次线性方程组 Ax b = 的三个解为1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2011， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-4112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-11354，求：(1) 齐次线性方程组0Ax =的通解；(2) 非齐次线性方程组Ax b =的通解6．设线性空间3R 中的向量组为1α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--221，2α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-031，3α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-601，4α=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-283，1β=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210，2β=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--652（1）求由1α,2α,3α,4α生成的子空间L(1α,2α,3α,4α)的维数与一个基； （2）从1β,2β中选出属于L(1α,2α,3α,4α)的向量，并求出它们在（1）中所选的基下的坐标。

四、证明题（每题8分，共16分）1．设A 和B 是n 阶正定矩阵，证明：A 合同于B2．设 k ααα，，， 21 是齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系，向量β满足0≠βA ，证明：向量组 ββαβαβα，＋，，＋，k 21+ 线性无关。

线性代数03－04学年第2学期期末考试参考答案一、选择题1．C ； 2．D ； 3．D ； 4．A ； 5．D ；二、填空题1．2，线性无关，相互正交； 2．1，)(E A r n --，)(E A r n --； 3．<<-λ315315； 4．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1224612A ； 5．A A *= 三、计算题1．| A | =1)(—n x x n + （3分）； | B | =!n （6分）；| C |. = 1)(!)1(||||)1(22-+-=-n n n x x n n B A （9分）2．（1）110101100201A a b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭（2分） 1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 （5分）（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 （9分）3． 1)2()2(--==-B C A E A B C T T ， （3分）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=1210012100120001A （9分） 4． f 的矩阵A=011101110⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征值12λ= ,231λλ==－, （2分）A 对应的线性无关的特征向量1α=111⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 2α= 110-⎛⎫ ⎪⎪⎪⎝⎭3α=101⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭－ （5分）正交变换QY X =11232123313x y y y x y y y x y •••••••y ⎧=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩1 （8分） 化原二次型为标准形=f 2221232y y y -- （9分）5．由题设知 12αη＝－1η＝()T 2121，，，-， 23αη＝－1η＝()T9,3,6,3-是0Ax = 两个线性无关的解，因此11220Ax k k ααα=的通解为＝＋ （6分）因此可得方程组Ax b =的通解为11221X k k ααη=++=1k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-2121+2k ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-9363＋⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2011，21,k k 为任意常数 （9分）6．(1α,2α,3α,4α,1β,2β)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---−→−800000112210111301 (2分)（1） dim L (1α,2α,3α,4α)=2；1α,2α可作为其中一个基（5分）（2）1β∈L (1α,2α,3α,4α)，1β＝1α+2α；2β∉L (1α,2α,3α,4α) （9分）四、证明题1．因为A,B 都合同于单位矩阵E ，由合同的传递性，A 合同于B （8分） 2．作矩阵12(,,,,)A γαβαβαββ=+++，A 的第1至第γ列均减去第γ+1列，得B=),,,(,21βαααr易知B 的列向量组线性无关，若不然，据题设，有1i ii k γβα==∑ 从而10i i i A k A γβα===∑，与0A β≠矛盾，于是得 ()()1r A r B γ==+所以A 的列向量组12,,,,γαβαβαββ+++线性无关。

（8分）上 海 交 通 大 学线 性 代 数 试 卷(A) 2003-12-31一、选择题（每题3分，共15分）1._____________,2)(2101210211的值为则的秩若矩阵a A r a a A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---= 11-(D)1-(C)1-0(B)0(A)或者或2._____________,1||*=-=A A A 则，且为正交矩阵设A-(D)•••••••••••••A •••••••••(C)A -(B)••••••••••••••••••••A (A)T T3.设βα,是n 维列向量,0≠βαT ,n 阶方阵T E A αβ+=,3≥n ，则在A 的n 个特征值中,必然______________(A) 有n 个特征值等于1 (B) 有1-n 个特征值等于1(C) 有1个特征值等于1 (D) 没有1个特征值等于14.______________,)()(,则阶方阵，且秩相等，既为设B r A r n B A = B)(A)(B),r(A (D)r(A)2B),r(A (C)r(A)2B)(A (B)0B)r(A (A)r r r +≤==+=－5._____________,)(b Ax n A r A n m ==⨯则非齐次线性方程组的秩设矩阵)(A 一定无解 )(B 可能有解 )(C 一定有唯一解 )(D 一定有无穷多解二、填空题（每题3分，共15分）1.设*A 是n 阶方阵A 的伴随矩阵，行列式2||=A ，则 |2|*A =_____________2. D 中第二行元素的代数余子式的和∑=412j j A =__________ ,其中D =1111111*********---3. 已知实二次型321123122132,12224),(x x x ax x x x x x x f ++++=正定,则实常数a 的取值范围为________________4. 2n 阶行列式________________=AB BA ,其中n 阶矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a A 0000000 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=000000b b b B5. 设A=，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛101020101而n ≥2为正整数，则______21=--n n A A三、计算题(每题9分,共54分)1. 计算n 阶行列式•mx x x x x x m x x x x x mx •D n n n n ---=3213213212. 求矩阵X 使 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-+--120210006,100010002,011B A BX A BA AX ，其中3. 设非齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++-=+++3432211244332114433213222dx x x c x c d x b x b x x d x a x a x x 有三个解向量1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1211， 2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1112， 3η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2423求此方程组系数矩阵的秩,并求其通解(其中t k j i d c b a ,,,为已知常数)4. 已知实二次型 ),,(321x x x f =)0(233232232221>+++λλx x x x x 经过正交变换QY X =,化为标准形23222152y y y ++,求实参数λ及正交矩阵Q5. 设线性方程组为 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=+++=+++=+++bx x x x x x a x x x x x x x x x x 432143214321432131723153203，问a ,b 各取何值时，线性方程组无解，有唯一解，有无穷多解？在有无穷多解时求出其通解6. 在四元实向量构成的线性空间4R 中,求a 使4321,,,ββββ为4R 的基,并求由基43214321,,,,,,ββββαααα到的过渡矩阵P ,其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00112α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01113α ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=11114α⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=12112a β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=00113β ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00014β四、证明题(每题8分,共16分)1. 设 321,,ααα 是欧氏空间V 的标准正交基,证明:112321233123111(22)(22)(22)333βαααβαααβααα=+-=-+=--也是V 的标准正交基2. 设=f AX X T 是n 元实二次型,有n 维实列向量21,X X ,使11AX X T 0>，22AX X T 0<, 证明:存在n 维列实向量00≠X ,使00AX X T=0线性代数2003－2004学年度第1学期期末考试参考答案一、选择题1.(A)2.(B)3.(B)4.(D)5.(B)二、填空题1. 12*2|2|-=n A ；2. 0；3. 27||<a ； 4.n b a )(22-； 5.0A 2A 1n n =-- 三、计算题1. 解 各列加到第一列，提出公因式•m x x x m x x x •m x D n n nni i n ---=∑=2221111)( = •mm x x •m x nn i i ---∑= 00001)(218分= )()1(111m x mni i n n --∑=--9分2. 11)(--=-BA X A B A 3分⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-120210003020200001X ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=12/102/110003X 9分3. 由题设条件知1η,2η,3η是b AX =的三个解，因此3η－1η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1612， 3η－2η＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1331是对应的齐次线性方程组的线性无关解向量,因此,系数矩阵A 的秩)(A r ≤ 2又A 中有二阶子式052112≠-=-，)(A r ≥2，因此)(A r ＝23分因此3η－1η，3η－2η为其导出组的基础解系。