代数第一、二章复习 2005-10-316A 2B = 54、填空题1、设，则A 中元素a i2的代数余子式等于-11;Q A 121)12、设3A3、设 3n A333阶方阵At ，且 AB 0， 3-7a 1 4 •设 A = a ? a 3b 1 b 2 b s C1a 1 C2C3a 2 a 3b 1 b 2 b 3d 1d 2 d 3，且 A =4， B =1，则3a 1 3D C 1 2d 1a 1 bi C 1 2d 13a 2 3b 2 2d 2 32 a 2 b 2 C 2 2d2 3a 33b 3 C 3 2d 3a 3b 3 C 3 2d 3A 2B =a 1b 2d 1 a ? b 2 C 29 a 2 b 2 2d 2 a 3 ba 3b 3 2d 3 9 9[4 2 1] 54 ；a 1b 1 a 1b 2ab_ azd a 2b 2 a 2b n 0 , b )i 0, i 1, 2, ,n ,6.设A，其中a ianb a n b 2a nb n则r(A) = 15已知A 是秩为2的4阶矩阵，则A j7 、设A , B , C 都是行列式等于3的3阶方阵,则行列式r(A )= oBD 1!27(-A) 2C 3Q 由于(1)9| B|( -A) 1;3 B 3A 1 B ( 3)- A 1278、已知A 为三阶方阵，且 A 4 , A 2E 8 ,则A A 1 = __2__ ；o阶方阵，且行列式|A| a ，则|2A| _|2A| 25a、选择题*11 *12 *134*11 2*11 3*12 *13 1、如果D*21 *22 *23 1 ,则 D 14*21 2*213*22 *23*31*32*334*312*313*32*3311 1 11 10 39、设 A，则第1 1 1 0121 110、设A 为n 阶可逆矩阵 5B 是将矩阵，则AB1Pii。
11 •设A 为5阶方阵， 且A< =-4 4行各元素的代数余子式之和为A 中的第i 行与第j 行元素对调后的则行列式|AA 46a 11 a 12a 135*113*12 *1312如果D821 *22 *233，则 D 15*21 3*22 *23*31*32*335*313*32*33a 21 a 2214 .已知行列式A 12元素（2,321X 1 *22 X 2 b 1b 2的解必素(1,2)的 代数余子式1）的代数余子式A 21的值15 .已知A 为5 =-45 a 12811X1a 12X 213.如果线性方程组a 11(A) 8 (B) 12 (C) 24 (D) 242 •设A为4阶方阵，已知A 3，且，则A A 1= ____________ ；3、设A, B, C是n阶方阵，且ABC E, E为n阶单位矩阵,则下列各式中必成立的是()(A) BCA E (B) ACB E (C) BAC E (D) CBA E14、当ad be时，a b=() e d(A)1 d e (B) 1 d e ad be b a ad be b a(C)1 d b (D) 1 d bbe ad e a ad be e a5、下列矩阵中，不是初等矩阵的是()1 0 0 1 0 0 1 0 0(A) 0 0 1 (B) 0 1 0 (C) 0 1 0 (D)0 1 0 1 0 1 0 0 40 0 10 1 01 0 1a11 a12 a13 a 11 3a31 a12 3a32 a13 3a 336 、若P a21 a22 a23 = a21 a 22 a23 则Pa31 a32 a33 a31 a32 a33( )1 0 0 1 0 3 0 0 3(A) 0 1 0 (B) 0 1 0 (C) 0 1 03 0 1 0 0 1 1 0 11 0 0(D) 0 1 00 3 10 07、设A a 10 b 4 a 2 b s 0 b 2 a 3 0 bia 4 ，则 A =() (A) (C) 3i 323334b 2b 3)(a i a 4 bb 4)(B) a 1a 2a 3a 4 ①匕鸟①匕厶(a 2a 3 (@a 2 db 2)(a 3a 4 b 3b 4)8、设n 阶方阵A 满足A 2 2E ,其中E 是n 阶单位阵，则必有( 1 1 (C) A -A2 (D) (A) A 2A 1 (B) A 2E (D) 9、设 A 、 (A) (C) B 都是n 阶非零矩阵，且 必有一个等于零 一个小于n ，—个等于n 10 •设n 阶矩阵 ) AA 满足 A 2 AB 0, (B) (D) E 0，其中 则A 和B 的秩(都小于n 都等于0 E 为n 阶单位矩阵, 则必有 ( (A) (B) E (C) A A 1(D) 11 •设 ，且 1 a , b , c 均不为零，则A (A) (B) (C)12 .设(A)r(B) 2二、计算题1、 已知(D)12B 是n 阶方阵，且 r(B) 2(B)AB 0,r(B) r(A) 21 42, (C)则(r(B)(D)3 求(AB)T 。
11 4 221AB T B T A T7 2 0 0 3 1 3 11 2 2、求行列式;X nX x 2x n m11 1 12 1 (4)11n1 0 13、设A 0 2 0，已知AX E A 2 X ，求矩阵X 。
1 0 12 1 1 1 1 1 1 1，则 A 1 = 1 1 230 1 1 1 1 1解：由于解：法2 01 1 7 114 3AB4 231 3217 13 102 010 T0 14 3T17 AB17 13 1014 13 3 10A TB TXx 2 m Xn17 14 133 10X y y y yy X y y y(2 )y y X y y y y y X yy y y y X1 12 1 (1 )2 23 1 3 34 2455 34.已知矩阵A(3 ) X m x 2A 1A(A,E)3 1 3 1A 12 3 J 3 1 31 3 1 3 J 3J 3 2 3 1 35、A 是n 阶矩阵, 满足 AA T求行列式AE 的值3阶方阵A 的伴随矩阵为 A，且A7、如果可逆矩阵 A 的各行元素之和为 2a ，计算 ，求（4A ） 1 2A 。
A 1的各行元素之和等于什么。
3A 1B1111a1 a A1 1 A 11 A1 1 - a a1111 1aan a 12 a 13设实矩阵 A = a 21 a 22 a 23 满足条件：a 31 a 32 a 33（1）a ij A bj ，(i, j 1,2,3) ,其中A i j 是a i j的代数余子式；(2) an1求行列式Ao1 2 01 1设A =0 2 1 B = 20 ，求矩阵 X 使其满足矩阵方程0 0 1531 1 1 1 1a1B。
|A| =- 1, 8、 9、AX 10.设A , B 为5阶方阵, |B| =-2,求 2A T B 1 解 2ATB 125 A T B 1 =25( 1)(—)=162)3A 1B11 .利用初等变换求矩阵 A 的秩112 2 1 0 2 151(1 )、A2 03 1 3 11041解： 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 0 2 1 512 1510 2151 A2 03 1 30 2 1 5 10 0 00 1 1 0 4 1 00 2220 02 221 12 2 10 2 1 5 10 0 2 2 20 0r(A)=311 1 1(2 )、 A1 1 1 31123解：11 1 111 1 1A1 1 13r 1 ( 1)0 0 2 411 2 30 0 121 1 11 11 1 1r 2r 30 0 12 「3 2r 20 0 1 2240 0 0 0r(A) 21 41 02 1 13 (3 )、 A10 3 1 0 263解：1 4 1 0 1 0 32 1 13 2 1 1 A 1 0 31 1 4 1 02 63 0 2 6 1 0 3 1 1 0 3 0 1 5 1 0 1 5 0 0 16 5 0 0 16 0 01650 012 •已知A 1 1 隶 ，求 A 190 1n 1 n解 由于 A因 '0 11 0 1 1 1 0B ,B C1 1n 1 a 1 2为 x 2 4X 3 3x 411. 解线性方程组 X 1X 3 X 43为 x 2 X 37为7X 33X 4 解: 将增广阵化为规范的阶梯阵: 2 1 43 41 1 0 1 1 3 「2 「12 3 1 1 0 13 7 0 7 3 371 0 1131 0 12 12r3 (r21)「20 0 1 2 3 100 0 00 4 240 10 11 31 0 0 121 2r2「11r3 30 1 0 0 0 1 60 00 0 00 0得同解方程组， A 0X 0为3 此 31 3 0 1 1 50 0 01 00 1 0 0 0 1 3 1X 1 X 3 ,C n A 19X23 2x 3 4移项添项即得 X 46X1X X3X 3 2X 3 X 3 x 4 6r(A)19na 3 2 12 242* 3” 7r 1r42r31一 r 323)四•证明题1 •设方阵A 满足A 40 ,试证明E A 可逆，123(E A) E A A A(E A)(E A A 2 A 3)=E A A 2 A 3 (A A 2 A 3 A 4) =E-A 4 E2•设A 为可逆矩阵，A 2 | A| E ，证明：A A证明：由于A 为可逆矩阵，且AA | A|E,又由已知A 2 AE 故A 2 AA 两边左乘A 1得A A3、设n 阶方阵A ，B 满足A B AB ，求证(1)A E 可逆；(2)AB=BA4、 设n 阶方阵A 满足A 2 2A E 0，证明：矩阵 A 可逆证明由于 A 2 2A E 0，有 A 2 2A E A(A 2E) 故矩阵A 可逆，且A 1 A2E 。
5、 若A 为方阵，证明 A A T , AA T ,A T A 是对称阵。
证明(A A T )T A T (A T )T A A T , A A T 是对称阵。
(AA T )T ( A T )T A T AA T , A A 是对称阵 (A T A)T A T (A T )T A T A , A J A 是对称阵因此方程组通解为：X X 312(x 3是任意数)。