一 单项选择题（每题3分，共18分）1． 设33)(⨯=j i a A 的特征值为1，2，3，j i A 是行列式 ||A 中元素j i a 的代数余子式，则 1112233||()A A A A ++－＝ （ ） a.621； b. 611； c. 311； d. 6。

2．已知A AP P a a a a a a a a a A P n m =⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=若，，333231232221131211001010100，则以下选项中正确的是 （ ） a. 45==n m ，； b. 55==n m ，； c. 54==n m ，； d. 44==n m ，。

3．n 维向量)3(,,21n s s ≤≤ααα 线性无关的充要条件是 （ ） a ．存在不全为零的数s k k k ,,21，使02211≠+++s s k k k ααα ； b ．s ααα ,,21中任意两个向量都线性无关；c ．s ααα ,,21中任意一个向量都不能用其余向量线性表示；d ．s ααα ,,21中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。

4．设B A ，是正定矩阵，则以下矩阵中，一定是正定矩阵为（其中21k k ，为任意常数） （ ） a. **B A ＋； b. **-B A ； c. **B A ； d. **B k A k 21＋。

5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=222222a a a A ，伴随矩阵0≠*A ，且0=*x A 有非零解，则 （ ）a. 2=a ；b. 2=a 或4=a ；c. 4=a ；d. 2≠a 且4≠a 。

6．设βα，是非齐次线性方程组b x A E =-)(λ的两个不同的解，则以下选项中一定是A 对应 特征值λ的特征向量为 （ ）线性代数考试题及答案a.βα+； b ．βα-； c ．α； d ．β。

二 填空题（每题3分，共18分）7．设行列式 30000210=D ，j i A 是D 中元素j i a 的代数余子式，则∑∑==3131i j j i A ＝ 。

8．设A 是实对称可逆矩阵，则将AX X f T=化为Y A Y f T1-=的线性变换为____________________。

9．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=53342111x A 有特征值6，2，2，且A 能相似于对角阵，则x ＝______ _____。

10．已知0≠α是n 维实列向量，矩阵Tk E A αα-=，k 为非零常数，则A 为正交矩阵的充分必要条件为=k 。

11. 设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=232221321111a a a a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111b ，其中i a 互不相同，3,2,1=i ，则线性方程组b x A T=的解是____ _______。

12．若实二次型23222121321422),,(x x x x x x x x f ++=＋λ 为正定二次型,则λ的取值范围为 。

三 计算题（每题8分，共48分）13．计算n 阶行列式： nn n n nn n n x x x yx x x y x x x y x x x yx x x x D 121121121121----++++=。

14．已知线性方程组 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=-=+bx ax x x x x x 321312111， （1）试问：常数b a ，取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解？ （2）当方程组有无穷多解时，求出其通解。

15．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=111111a a a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=211β，已知线性方程组β=Ax 有解但不唯一。

试求：（1）a 的值； （2）正交矩阵AQ Q Q T使得，为对角矩阵。

16．设矩阵A 的伴随矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=8030010100100001*A ，且E BA ABA 311+=--。

求矩阵B 。

17．已知线性空间3R 的基321ααα，，到基321βββ，，的过渡矩阵为P ，且 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1011α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102α，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2213α；⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=034223122P试求：(1) 基321βββ，，；(2) 在基 321321,,,,βββααα与下有相同坐标的全体向量。

18．设A 为三阶实对称矩阵，且满足022=-+E A A 已知A 对应特征值1=λ的特征向量有()T0101，，=α, ()2101Tα=，，。

试求：矩阵A ，n A 。

其中n 为自然数。

四 证明题（每题8分，共16分）19．设A 为n 阶矩阵，已知秩)()(2A r A r =。

试证：(1) 线性方程组002==x A Ax ，同解； (2) )()(3A r A r =。

20．设321ααα，，是n 维非零实向量，2211ααβk k +=，21k k ，为使得0≠β的任意常数。

以下结论若正确，请证明；若不正确，请举出反例。

(1) 若3α与1α正交，且3α与2α也正交，则3α与β正交。

(2) 若3α与1α线性无关，且3α与2α也线性无关，则3α与β线性无关。

参 考 答 案（线代）一 选择题 b d c a d b二 填空题 7. －11； 8. Y A X 1-=； 9. 2-=x ；10．22||k α=； 11. ()T001； 12.)2,2(-∈λ。

三 计算题 13. )()1(112)1(∑=--+-=ni i n n n x y yD 。

14. （1）110101100201A a b ⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪--⎝⎭1,2==b a 无穷多解； 2≠a 唯一解； 1,2≠=b a 无解 （4分）（2）R k k x x x ∈⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛,111001321 （8分）15. 解：（1）方程组β=AX 有解但不唯一，所以3)()(<=A r A r ，故2-=a 。

（2分）（2） 特征值为31=λ，32-=λ，03=λ。

（4分）⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=31612131620316121Q ， ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=000030003AQ Q T。

（8分） 16．由1*||||-=n A A ，有8||3=A ，得2||=A 。

（2分）用*A ，A 左右乘方程的两端，得EB A E 6)2(*=- （4分）1*)2(6--=A E B ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-1030060600600006603001010010000161（8分） 17．（1）设),,(321ααα=A ,),,(321βββ=B ,则AP B =，故⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101161β，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=8852β，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1213－β； （2分）（2）设所求向量的坐标为x ，则APx Ax =，即0)(=-x E P A ，因为A 为可逆矩阵，得0)(=-x E P ，由 （4分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-000110101134213121)(E P得Tk x ），－，111(=， （6分） 故Tk k ），，312()(321=+-=αααα （8分）18．0)2)((=+-E A E A ，特征值=λ1、1、－2， （2分）2-=λ，特征向量(1,0,1)T α=-， （4分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-103020301211100011102000100011100011101－－＝A （6分）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-+-----+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=n n n n n nA )2(10)2(1020)2(10)2(121101101020)2(0001000111000111021 （8分） 四 证明题19．证：(1) 因为0)(2==Ax A x A ，所以0=Ax 的解都是02=x A 的解，又)()(2A r A r =，故它们的解空间相同，因此它们同解。

(2) 0)(23==x A A x A ，所以02=x A 的解都是03=x A 的解。

反之，若存在0≠α，使03=αA，但02≠αA 。

则由0)(23==Ax A x A ，知αA 是02=x A 的解；0)(2≠=ααA A A ，知αA 不是0=Ax 的解。

与(1)的结论矛盾。

故0032==x A x A ，同解，)()(32A r A r =。

故)()()(32A r A r A r ==。

20．证：(1) 因为0)()()(2321313=+=ααααβα，，，k k ，所以成立。

(2) 不成立。

如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=011α，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=102α，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=213α，3212αααβ=+=。