数列求和汇总答案
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.
1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2
)1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：⎪⎩⎪⎨⎧≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q
q a q na S n n n 例1、已知3
log 1log 23-=x ，求⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由212log log 3log 1log 3323=⇒-=⇒-=x x x 由等比数列求和公式得n n x x x x S +⋅⋅⋅+++=32（利用常用公式） ＝x x x n
--1)1(＝2
11)211(21--n ＝1－n 21 练习：求22222222123456...99100-+-+-+--+的和。
解：2222222212345699100-+-+-+--+ 由等差数列的求和公式得
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列.
例2求和：132)12(7531--+⋅⋅⋅++++=n n x n x x x S ………………………①
解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积
设n n x n x x x x xS )12(7531432-+⋅⋅⋅++++=……………………….②（设制错位）
①－②得n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+⋅⋅⋅+++++=--（错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x
x x S x )12(1121)1(1
----⋅+=-- ∴2
1)1()1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 练习：求数列⋅⋅⋅⋅⋅⋅,2
2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2
1}的通项之积 设n n n S 2
226242232+⋅⋅⋅+++=…………………………………①
14322
226242221++⋅⋅⋅+++=n n n S ………………………………②（设制错位） ①－②得14322
22222222222)211(+-+⋅⋅⋅++++=-n n n n S （错位相减） ∴12
24-+-=n n n S 三、反序相加法求和
这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +.
例3求
89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++的值
解：设 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++⋅⋅⋅+++=S ………….①
将①式右边反序得 1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++⋅⋅⋅++=S …………..②（反序）
又因为1cos sin ),90cos(sin 22=+-=x x x x
①+②得（反序相加）
)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++⋅⋅⋅++++=S ＝89
∴S ＝44.52、 求和：2
22
222222222222101109293832921101++++++++++ 四、分组法求和
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.
例4、求和:⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+n n y x y x y x 11122 ()1,1,0≠≠≠y x x 解:原式=()n x x x x ++++ 32⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++n y y y 1112 =()y
y y x x x n n
1111111-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-- =n n n n y
y y x x x --+--++1111 练习：求数列的前n 项和：231,,71,41,
1112-+⋅⋅⋅+++-n a
a a n ，… 解：设)231()71()41()11(12-++⋅⋅⋅++++++=-n a a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得
)23741()1111(12-+⋅⋅⋅+++++⋅⋅⋅+++
=-n a
a a S n n （分组） 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+=＝2
)13(n n +（分组求和） 当1≠a 时，2)13(1111n n a a S n n -+--=＝2)13(11n n a a a n -+--- 练习：求数列•••+•••),21
(,,813,412,211n n 的前n 项和。
解：n n n n n n n n S 2
11)1(21)21212121()321()2
1(81341221132-++=+•••+++++•••+++=++•••+++= 五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如： 例5求数列⋅⋅⋅++⋅⋅⋅++,1
1,,321,211n n 的前n 项和. 解：设n n n n a n -+=++=11
1（裂项） 则1
1321211+++⋅⋅⋅++++=n n S n （裂项求和） ＝)1()23()12(n n -++⋅⋅⋅+-+- ＝11-+n
练习：求13，115，135，163之和。
解：94)911(21)9171()7151()5131()311(21)9171(21)7151(21)5131(21)311(219
7175153131163135115131=-=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+-+-=-+-+-+-=⨯+⨯+⨯+⨯=+++
六、合并法求和
针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .
例6、数列{a n }：n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1，求S 2002.
解：设S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++
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……
∵0665646362616=+++++++++++k k k k k k a a a a a a （找特殊性质项）
∴S 2002＝2002321a a a a +⋅⋅⋅+++（合并求和）
＝)()()(66261612876321++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+++k k k a a a a a a a a a a
＝2002200120001999a a a a +++
＝46362616+++++++k k k k a a a a
＝5
练习：在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +⋅⋅⋅++=求的值. 解：设1032313log log log a a a S n +⋅⋅⋅++=
由等比数列的性质q p n m a a a a q p n m =⇒+=+（找特殊性质项）
和对数的运算性质N M N M a a a ⋅=+log log log 得
)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++⋅⋅⋅++++=（合并求和）
＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅
＝9log 9log 9log 333+⋅⋅⋅++
＝10
七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n 项和，是一个重要的方法.
例7、求5，55，555，…，的前n 项和。
解：∵a n =59(10n -1)
∴S n =59(10-1)+59(102-1)+59(103-1)+…+59(10n -1)
=59[（10+102+103+……+10n ）-n]
=（10n ＋1-9n-10）
练习：求数列：1，，，的前n 项和。
解：
=
=
走在路上，挫折是难免的，低潮是必然的，孤独与寂寞是如影随形的;总有被人误解的时候，总有寄人篱下的时候，总有遭人诽谤与暗算的时候。
这些时候，要知道潮涨潮落、波谷波峰的道理，只要你能够耐心等待，受得了折磨，守得住底线，一切都会证明，生活不会抛弃你，命运不会舍弃你。