• 特征多项式
格式： C=poly(A)
例：>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; >> poly(A) ％直接求取 ans = 1.000000000000000e+000 -3.399999999999999e+001 -7.999999999999986e+001 2.719999999999999e+003 -2.819840539024018e-012 >> A=sym(A); poly(A) ％运用符号工具箱 ans = x^4-34*x^3-80*x^2+2720*x
• 符号矩阵的输入 数值矩阵A转换成符号矩阵： B=sym(A) 例： >> A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000 >> B=sym(A) B= [ 1, 1/2, 1/3] [ 1/2, 1/3, 1/4] [ 1/3, 1/4, 1/5]
>> H=sym(hilb(7)); inv(H)
ans = [ 49, -1176, 8820, -29400, 48510, -38808, 12012] [-1176, 37632, -317520, 1128960, -1940400, 1596672, -504504] [8820, -317520, 2857680, -10584000, 18711000, -15717240, 5045040] [-29400, 1128960, -10584000, 40320000, -72765000, 62092800, -20180160] [48510, -1940400, 18711000, -72765000, 133402500, -115259760, 37837800] [-38808, 1596672, -15717240, 62092800, -115259760, 100590336, -33297264] [12012, -504504, 5045040, -20180160, 37837800, -33297264, 11099088]
• 矩阵的迹
格式：
t=trace(A)
• 矩阵的秩
格式：r=rank(A) ％用默认的精度求数值秩 r=rank(A， ) ％给定精度下求数值秩
矩阵的秩也表示该矩阵中行列式不等于0的子式的最大阶 次。可证行秩和列秩（线性无关的）应相等。
• 例
>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; rank(A) ans = 3 该矩阵的秩为3，小于矩阵的阶次，故为非满秩矩阵。
生成三对角矩阵:
>> V=diag([1 2 3 4])+diag([2 3 4],1)+diag([5 4 3],-1)
V= 1 5 0 0
2 2 4 0
0 3 3 3
0 0 4 4
–Hilbert矩阵及逆Hilbert矩阵
生成n阶的Hilbert矩阵：
A=hilb(n)
求取逆Hilbert矩阵：
第四章• 矩阵 线性方程组的直接解法 线性方程组的迭代法 线性方程组的符号解法 稀疏矩阵技术 特征值与特征向量
4.1 矩阵 4.1.1特殊矩阵的输入
• 数值矩阵的输入
–零矩阵、幺矩阵及单位矩阵 生成nn方阵： A=zeros(n), B=ones(n), C=eye(n) 生成mn矩阵： A=zeros(m,n), B=ones(m,n), C=eye(m,n) 生成和矩阵B同样位数的矩阵： A=zeros(size(B))
-0.93824992236885 -2.81474976710656 2.81474976710656 0.93824992236885
>> norm(A*B-eye(size(A))) ％检验
-0.11999999999999 1.19999999999990 -2.69999999999976 1.67999999999984
0.23999999999998 -2.69999999999976 6.47999999999940 -4.19999999999961
-0.13999999999999 1.67999999999984 -4.19999999999961 2.79999999999974
>> H=sym(hilb(30)); norm(double(H*inv(H)-eye(size(H))))
ans = 0
• 例：奇异阵求逆
>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; >> format long; B = inv(A)
Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 1.306145e-017. B= 1.0e+014 * 0.93824992236885 2.81474976710656 -2.81474976710656 2.81474976710656 8.44424930131968 -8.44424930131968 -2.81474976710656 -8.44424930131968 8.44424930131968 -0.93824992236885 -2.81474976710656 2.81474976710656
–随机元素矩阵
若矩阵随机元素满足[0,1]区间上的均匀分布 生成nm阶标准均匀分布为随机数矩阵： A=rand(n,m)
生成nn阶标准均匀分布为随机数方阵：
A=rand(n)
–对角元素矩阵
已知向量生成对角矩阵： A=diag(V) 已知矩阵提取对角元素列向量： V＝diag(A) 生成主对角线上第k条对角线为V的矩阵： A=diag(V,k)
B=invhilb(n)
–Hankel(汉克 ) 矩阵
其中：第一列的各个元素定义为C向量，最后一行各 个元素定义为R。H为对称阵。
H1=hankel(C) 由 Hankel 矩阵反对角线上元素相等得出一下三角 阵均为零的Hankel 矩阵
–Vandermonde(范德蒙)矩阵
–伴随矩阵
其中：P(s)为首项系数为一的多向式。
• 例：求一向量、矩阵的范数
>> a=[16 2 3 13]; >> [norm(a), norm(a,2), norm(a,1), norm(a,Inf)] ans = 2.092844953645635e+001 2.092844953645635e+001 3.400000000000000e+001 1.600000000000000e+001 >> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; >> [norm(A), norm(A,2), norm(A,1), norm(A,Inf)] ans = 34 34 34 34 符号运算工具箱未提供norm( )函数，需先用double( ) 函数转换成双精度数值矩阵，再调用norm( )函数。
计算误差范数： >> norm(H*inv(H)-eye(size(H)))
ans = 6.235798190375727e-013
>> H2=invhilb(4); norm(H*H2-eye(size(H)))
ans = 5.684341886080802e-014
>> H=hilb(10); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H))) ans = 0.00264500826202 >> H2=invhilb(10); norm(H*H2-eye(size(H))) ans = 1.612897415528547e-005 >> H=hilb(13); H1=inv(H); norm(H*H1-eye(size(H))) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 2.339949e-018. ans = 53.23696008570294 >> H2=invhilb(13); norm(H*H2-eye(size(H))) ans = 11.37062973181391 对接近于奇异矩阵，高阶一般不建议用inv( )，可用符号工具箱。
4.1.2 矩阵基本概念与性质
• 行列式
格式 ：d=det(A)
例：求行列式
>> A=[16 2 3 13; 5 11 10 8; 9 7 6 12; 4 14 15 1]; det(A) ans = 0
• 例：
>> tic, A=sym(hilb(20)); det(A), toc ans = 1/23774547167685345090916442434276164401754 1983775348649303318533123441975931064458 5187585766816573773440565759867265558971 7656384197107933033865823241498112410235 5448916615471780963525779783680000000000 0000000000000000000000000 elapsed_time = 2.3140 高阶的Hilbert矩阵是接近奇异的矩阵。