4 10 6 A // B
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1.6 解： (1)divA│M A│M
[ x
x3
y
y3
z
z3│] M
(3x 2 3 y 2 3z 2│) M (1,0,1)
3 03
6
(2)divA│M A│M
[
x
(4
x)
y
(2
xy)
z
(z
2
)│] M
(4 2 x 2z│) M (1,2,3)
已知散度和旋度代表产生矢量场的源，可见唯一性定理 表明，矢量场被其源及边界条件共同决定的。
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1.6.6 亥姆霍兹定理
若矢量场 F(r) 在无限区域中处处是单值的， 且其导数连 续有界，源分布在有限区域 V 中，则当矢量场的散度及旋度 给定后，该矢量场 F(r) 可以表示为
F (r) (r) A(r)
此外，格林定理说明了两种标量场或矢量场之间应该满足的关系。 因此，如果已知其中一种场的分布特性，即可利用格林定理求解另一种 场的分布特性。
格林定理广泛地用于电磁理论。
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1.6.5 矢量场的唯一性定理
位于某一区域中的矢量场，当其散度、旋度以及边界上场 量的切向分量或法向分量给定后，则该区域中的矢量场被惟 一地确定。
式中S 为包围V 的闭合曲面，面元 dS 的方向为S 的外法线方向，上式称 为矢量第一格林定理。
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基于上式还可获得下式：
V [Q (
P)
P (Q]dV
[P Q
S
Q P]dS
此式称为矢量第二格林定理。
无论何种格林定理，都是说明区域 V 中的场与边界 S 上的场之间的 关系。因此，利用格林定理可以将区域中场的求解问题转变为边界上场 的求解问题。
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§1.6 三种常用坐标系
1.6.1 直角坐标系
直角坐标(x, y , z)
1.6.2 柱坐标系
圆柱坐标(r, , z)
x=x0
x
z
ex
O
z=z0
ez ey
P0
y=y0
y
z
r = r0
ez
e P0
er
z=z0
O
=0
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x
0
y
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1.6.3 球坐标系
球坐标(r, , )
=0 r=r0
散度处处为零的矢量场称为无散场，旋度处处为零的 矢量场称为无旋场。
两个重要公式：
( A) 0
() 0
左式表明，任一矢量场 A 的旋度的散度一定等于零 。 因此，任一无散场可以表示为另一矢量场的旋度，或者说， 任何旋度场一定是无散场。
右式表明，任一标量场 的梯度的旋度一定等于零。因
此，任一无旋场一定可以表示为一个标量场的梯度，或者 说，任何梯度场一定是无旋场。
式中
(r) 1 F (r) dV
4π V r r
A(r) 1 F (r)dV
4π V r r
可见，该定理表明任一矢量场均可表示为一个无旋场与 一个无散场之和。矢量场的散度及旋度特性是研究矢量场的 首要问题。
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▪习题解答
1.1 解：
(1)利用A B 0，证明A // B。
1
24
v(
A)dv
s
A
ds
1 24
, 故验证了散度定理。
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1.12
解：r
(ax
x
ay
y
az
z
)r
ax
r x
ay
r y
az
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基于上式还可获得下列两式：
(2 2 )dV V
S
dS
(2 2 )dV dS
V
S n
n
上两式称为标量第二格林定理。
设任意两个矢量场 P 与 Q ，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数， 那么，可以证明该矢量场 P 及 Q 满足下列等式
V [( P) (Q) P Q]dV S P QdS
x
z
0
er
P0
e
O e
0
=0
y
已知矢量 A 在圆柱坐标系和球坐标系中可分别表示为
A A
aer aer
be be
cez ce
式中 a, b, c 均为常数，A 是常矢量吗？
柱坐标系和球坐标系内▽算子及梯度、散度、旋度的表达式，请参 阅附录1。
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1.6.4 格林定理
设任意两个标量场 及，若在区域 V 中具有连续的二阶偏导数，
如下图示。
那么，可以证明该两个标量场
S ,
V
及 满足下列等式
en
V (
2 )dV
S
n
dS
式中S 为包围V 的闭合曲面， 为标量
n
场 在 S 表面的外法线 en 方向上的偏
导数。
根据方向导数与梯度的关系，上式又可写成
V ( 2)dV S () dS
上两式称为标量第一格林定理。
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▪ 内容复习
标量场的梯度： 矢量场的散度：
矢量场的旋度： 高斯散度定理： 斯托克斯定理：
u
ax
u x
ay
u y
az
u z
A
Ax
Ay
Az
x y z
ax ay az A
x y z
Ax Ay Az
V ( A)dV S AdS
(
S
A) dS
l
A dl
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▪ 无散场和无旋场
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1.8 解： (1)divA A
x2 ( xy)2 24( x2 y2z3 )
x y
z
2 x 2 x2 y 72 x3 y2z2
111
(2)
v
Adv
2 1
2 1
2 1
(2x
2x2
y
72 x2
y2z3 )dxdydz
222
008111 3444
1 24
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(3)
A
ds
s
s前
A| x
1 2
s右
A
| y
1 2
a axdysdss左s上AA|x|z121（2 azadsxds）s下
s后
A|
y
1 2
ayds
A
|
z
1 2
(az
)ds
(1)2 2
1
2 1
2
1
2 1
2
dydx
(
1 2
)2
1
2 1
2
1
2 1
A
B
(2ax
5ay
3az
) (4ax
10ay
6az )
20az
12a y
20az
30a x
12a y
30a x
０
(2)若 l1 m1 n1 ，则A// B。 l2 m2 n2
l1 2, m1 5, n1 3 l2 4, m2 10, n2 6 2 5 3 2
2
dydz
(
1 2
)2
1
2 1
2
1
2 1
x 2dxdz
2
(1)2 2
1
2 1Hale Waihona Puke 212 1
2
x 2dxdz
24 (
1 2
)3
1
2 1
2
1
2 1
x2
y 2dxdy
2
24 ( 1 )3 2
1
2 1
2
1
2 1
x2
y 2dxdy
2
1 3
x3
1
|2
1
2
1
y3 |21 2
1 3
x3
1
|2
1
2
1
y3 |21 2