椭圆专题练习1.【2017浙江，2】椭圆22194x y +=的离心率是A ．13B ．5 C ．23D ．592.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22221x y a b+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为 A ．63B ．33C ．23D ．133.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：22x m +y 2=1(m >1)与双曲线C 2：22x n–y 2=1(n >0)的焦点重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）A ．m >n 且e 1e 2>1B ．m >n 且e 1e 2<1C ．m <n 且e 1e 2>1D ．m <n 且e 1e 2<14.【2016高考新课标3理数】已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点，,A B 分别为C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF x ⊥轴.过点A 的直线与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为（） （A ）13（B ）12（C ）23（D ）345.【2015高考新课标1，理14】一个圆经过椭圆221164x y +=的三个顶点，且圆心在x 轴的正半轴上，则该圆的标准方程为.6.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0的右焦点，直线2by =与椭圆交于,B C 两点，且90BFC ∠=,则该椭圆的离心率是.7.【2017课标1，理20】已知椭圆C ：2222=1x y a b+（a >b >0），四点P 1（1,1），P 2（0,1），P 3（–1，32），P 4（1，32）中恰有三点在椭圆C 上. （1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点.若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为–1，证明：l 过定点.8.【2017课标II ，理】设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2212x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM =。

(1) 求点P 的轨迹方程；(2)设点Q 在直线3x =-上，且1OP PQ ⋅=。

证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F 。

9.【2017山东，理21】在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22221x y a b+=()0a b >>的离心率为22，焦距为.（Ⅰ）求椭圆E 的方程； （Ⅱ）如图，动直线：13y k x =-交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC 的斜率为2k ，且122k k =，M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线的斜率.10.【2017天津，理19】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设上两点P ，Q 关于轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与轴相交于点D .若APD △的面积为2，求直线AP 的方程.11.【2017江苏，17】如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F , 2F ,离心率为12,两准线之间的距离为8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点1F 作直线1PF 的垂线,过点2F 作直线2PF 的垂线. （1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线E 的交点Q 在椭圆E 上,求点P 的坐标.12.【2016高考新课标1卷】（本小题满分12分）设圆222150x y x ++-=的圆心为A ,直线l 过点B （1,0）且与x 轴不重合,l 交圆A 于C ,D 两点,过B 作AC 的平行线交AD 于点E . （I ）证明EA EB +为定值,并写出点E 的轨迹方程；（II ）设点E 的轨迹为曲线C 1,直线l 交C 1于M ,N 两点,过B 且与l 垂直的直线与圆A 交于P ,Q 两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.13.【2016高考山东理数】（本小题满分14分）平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：()222210x y a b a b+=＞＞抛物线E ：22x y=的焦点F 是C 的一个顶点. （I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是E 上的动点，且位于第一象限，E 在点P 处的切线与C 交与不同的两点A ，B ，线段AB 的中点为D ，直线OD 与过P 且垂直于x 轴的直线交于点M . （i ）求证：点M 在定直线上;(第17题)（ii ）直线与y 轴交于点G ，记PFG △的面积为1S ，PDM △的面积为2S，求12S S的最大值及取得最大值时点P 的坐标.【答案】（Ⅰ）1422=+y x ;（Ⅱ）（i ）见解析；（ii ）12S S 的最大值为49，此时点P 的坐标为)41,22(【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率和焦点求方程；（Ⅱ）（i ）由点P 的坐标和斜率设出直线l 的方程和抛物线联立，进而判断点M 在定直线上；（ii ）分别列出1S ，2S 面积的表达式，根据二次函数求最值和此时点P 的坐标.试题解析：（Ⅱ）（i ）设)0)(2,(2>m m m P ，由y x 22=可得x y =/， 所以直线的斜率为m ，因此直线的方程为)(22m x m m y -=-，即22m mx y -=.设),(),,(),,(002211y x D y x B y x A ，联立方程222241m y mx x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得014)14(4322=-+-+m x m x m ，由0>∆，得520+<<m 且1442321+=+m m x x ， 因此142223210+=+=m m x x x , 将其代入22m mx y -=得)14(2220+-=m m y ，因为m x y 4100-=，所以直线OD 方程为x my 41-=. 联立方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=m x x m y 41，得点M 的纵坐标为M 14y =-，即点M 在定直线41-=y 上. （ii ）由（i ）知直线方程为22m mx y -=，令0=x 得22m y -=，所以)2,0(2m G -， 又21(,),(0,),22m P m F D ))14(2,142(2223+-+m m m m ， 所以)1(41||2121+==m m m GF S ， )14(8)12(||||2122202++=-⋅=m m m x m PM S ， 所以222221)12()1)(14(2+++=m m m S S ， 令122+=m t ，则211)1)(12(2221++-=+-=tt t t t S S ，当211=t，即2=t时，21SS取得最大值49，此时22=m，满足0>∆，所以点P的坐标为)41,22(，因此12SS的最大值为49，此时点P的坐标为)41,22(.考点：1.椭圆、抛物线的标准方程及其几何性质；2.直线与圆锥曲线的位置关系；3. 二次函数的图象和性质.14.【2015江苏高考，18】（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆()222210x ya ba b+=>>的离心率为22，且右焦点F到左准线l的距离为3.（1）求椭圆的标准方程；（2）过F的直线与椭圆交于A，B两点，线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P，C，若PC=2AB，求直线AB的方程.【答案】（1）2212xy+=（2）1y x=-或1y x=-+．【解析】试题分析（1）求椭圆标准方程，只需列两个独立条件即可：一是离心率为22，二是右焦点F 到左准线l的距离为3，解方程组即得（2）因为直线AB过F，所以求直线AB的方程就是确定其斜率，本题关键就是根据PC=2AB列出关于斜率的等量关系，这有一定运算量.首先利用直线方程与椭圆方程联立方程组，解出AB两点坐标，利用两点间距离公式求出AB长，再根据中点坐标公式求出C点坐标，利用两直线交点求出P点坐标，再根据两点间距离公式求出PC长，利用PC=2AB 解出直线AB 斜率,写出直线AB 方程.（2）当x AB ⊥轴时，2AB =，又C 3P =，不合题意．当AB 与轴不垂直时，设直线AB 的方程为()1y k x =-，()11,x y A ，()22,x y B ， 将AB 的方程代入椭圆方程，得()()2222124210kxk x k +-+-=，则()221,2221k k x±+=，C 的坐标为2222,1212k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，且()()()()()222222121212221112k x x y y k xx k+AB =-+-=+-=+．若0k =，则线段AB 的垂直平分线为y 轴，与左准线平行，不合题意．从而0k ≠，故直线C P 的方程为222121212k k y x k k k ⎛⎫+=-- ⎪++⎝⎭，则点的坐标为()22522,12k k k ⎛⎫+ ⎪- ⎪+⎝⎭，从而()()2222311C 12k k k k ++P =+． 因为C 2P =AB ，所以()()()2222223114211212k k k kk k+++=++，解得1k =±．此时直线AB 方程为1y x =-或1y x =-+． 【考点定位】椭圆方程，直线与椭圆位置关系15.【2016高考天津理数】（本小题满分14分）设椭圆13222=+y a x （3>a ）的右焦点为F ，右顶点为A ，已知||3||1||1FA eOA OF =+，其中O 为原点，为椭圆的离心率. （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线与椭圆交于点B （B 不在x 轴上），垂直于的直线与交于点M ，与y 轴交于点H ，若HF BF ⊥，且MOA MAO ∠≤∠，求直线的斜率的取值范围.【答案】（Ⅰ）22143x y +=（Ⅱ）),46[]46,(+∞--∞ 【解析】试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确定量，由113||||||c OF OA FA +=，得113()cc a a a c +=-，再利用2223a c b -==，可解得21c =，24a =（Ⅱ）先化简条件：MOA MAO ∠=∠⇔||||MA MO =，即M 再OA 中垂线上，1M x =，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求B ；利用两直线方程组求H ，最后根据HF BF ⊥，列等量关系解出直线斜率.取值范围试题解析：（1）解：设(,0)F c ，由113||||||c OF OA FA +=，即113()c c a a a c +=-，可得2223a c c -=，又2223a c b -==，所以21c =，因此24a =，所以椭圆的方程为22143x y +=.（2）（Ⅱ）解：设直线的斜率为k （0≠k ），则直线的方程为)2(-=x k y .设),(B B y x B ，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧-==+)2(13422x k y y x ，消去y ，整理得0121616)34(2222=-+-+k x k x k . 解得2=x ，或346822+-=k k x ，由题意得346822+-=k k x B，从而34122+-=k k y B . 由（Ⅰ）知，)0,1(F ，设),0(H y H ，有),1(H y FH -=，)3412,3449(222++-=k kk k BF .由HF BF ⊥，得0=⋅HF BF ，所以034123449222=+++-k ky k k H ，解得k k y H 12492-=.因此直线MH 的方程为kk x k y 124912-+-=.所以，直线的斜率的取值范围为),46[]46,(+∞--∞ . 考点：椭圆的标准方程和几何性质，直线方程16.【2015高考山东，理20】平面直角坐标系xoy 中，已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>3，左、右焦点分别是12,F F ，以1F 为圆心以3为半径的圆与以2F 为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设椭圆2222:144x y E a b+=，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y kx m =+交椭圆E于,A B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .( i )求OQOP的值；（ii ）求ABQ ∆面积的最大值.【答案】（I ）2214x y +=；（II ）( i )2；（ii ）63. 【解析】试题分析：（I ）根据椭圆的定义与几何性质列方程组确定,a b 的值，从而得到椭圆的方程；（II ）（i ）设()00,P x y ，OQOPλ=，由题意知()00,Q x y λλ--，然后利用这两点分别在两上椭圆上确定λ的值; （ii ）设()()1122,,,A x y B x y ，利用方程组221164y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩结合韦达定理求出弦长AB，选将OAB ∆的面积表示成关于,k m 的表达式2222221641214k m m S m x x k +-=⋅-=+2222241414m m k k⎛⎫=-⋅ ⎪++⎝⎭，然后，令2214m t k =+，利用一元二次方程根的判别式确定的范围，从而求出OAB ∆的面积的最大值，并结合（i ）的结果求出△面积的最大值.试题解析：（I ）由题意知24a =，则2a = ,又2223,2c a c b a =-=可得1b = , 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=. （II ）由（I ）知椭圆E 的方程为221164x y +=, （i ）设()00,P x y ，OQ OPλ=，由题意知()00,Q x y λλ--因为220014x y +=, 又()()22001164x y λλ--+=，即222144x y λ⎛⎫+= ⎪⎝⎭,所以2λ=，即2OQ OP = .所以2212216414k m x x k +--=+因为直线y kx m =+与轴交点的坐标为()0,m所以OAB ∆的面积2222221641214k m m S m x x k+-=⋅-=+ 222222222(164)24141414k m m m m k k k⎛⎫+-⋅==-⋅ ⎪+++⎝⎭ 令2214m t k=+ ,将y kx m =+代入椭圆C 的方程可得()222148440k x kmx m +++-= 由0∆≥，可得2214m k ≤+ …………………………………………② 由①②可知01t <≤ 因此()22424S t t t t =-=-+ ,故23S ≤当且仅当1t =，即2214m k =+时取得最大值23由（i ）知，ABQ ∆面积为3S ,所以ABQ ∆面积的最大值为63 .17.【2015高考陕西，理20】（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b+=（0a b >>）的半焦距为，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ． （I ）求椭圆E 的离心率；（II ）如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过A ，B 两点，求椭圆E 的 方程．【答案】（I 3（II ）221123x y +=． 【解析】试题分析：（I ）先写过点(),0c ，()0,b 的直线方程，再计算原点O 到该直线的距离，进而可得椭圆E 的离心率；（II ）先由（I ）知椭圆E 的方程，设AB 的方程，联立()2222144y k x x y b⎧=++⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，可得12x x +和12x x的值，进而可得，再利用AB =可得2b 的值，进而可得椭圆E 的方程．试题解析：（I ）过点(),0c ，()0,b 的直线方程为0bx cy bc ，则原点O到直线的距离bcd a==， 由12dc ，得2222a b a c ，解得离心率3c a . (II)解法一：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b . (1)依题意，圆心()2,1M -是线段AB 的中点，且|AB |10.易知，AB 不与轴垂直，设其直线方程为(2)1yk x ，代入(1)得 2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b设1122(,y ),B(,y ),A x x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x kk由124x x ，得28(21)4,14k kk 解得12k. 从而21282x x b.于是12|AB ||x x =-==由|AB |10，得2)10，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .解法二：由（I ）知，椭圆E 的方程为22244xy b .因此AB 直线方程为1(2)12y x ，代入(2)得224820.x x b所以124x x ，21282x x b .于是()22212121215|AB |1||410(2)22x x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭. 由|AB |10，得210(2)10b ，解得23b .故椭圆E 的方程为221123x y .考点：1、直线方程；2、点到直线的距离公式；3、椭圆的简单几何性质；4、椭圆的方程；5、圆的方程；6、直线与圆的位置关系；7、直线与圆锥曲线的位置.18.【2016高考浙江理数】（本题满分15分）如图，设椭圆2221x y a+=（a ＞1）.（I ）求直线y =kx +1被椭圆截得的线段长（用a 、k 表示）；（II ）若任意以点A （0,1）为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值 范围.【答案】（I ）2222211a k k a k ++（II ）20e <≤【解析】试题分析：（I ）先联立1y kx =+和2221x y a+=，可得1x ，2x ，再利用弦长公式可得直线1y kx =+被椭圆截得的线段长；（II ）先假设圆与椭圆的公共点有4个，再利用对称性及已知条件可得任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点时，a 的取值范围，进而可得椭圆离心率的取值范围．试题解析：（I ）设直线1y kx =+被椭圆截得的线段为AP ，由22211y kx x y a=+⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()2222120a k xa kx ++=，故10x =，222221a kx a k =-+．因此22212222111a k k x k a kAP =+-=++． （II ）假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足Q AP =A ．记直线AP ，Q A 的斜率分别为1k ，2k ，且1k ，20k >，12k k ≠． 由（I ）知，2211121a k k +AP =，2222221Q a k k +A =，故因此()222212111112a a k k ⎛⎫⎛⎫++=+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，① 因为①式关于1k ，2k 的方程有解的充要条件是()22121a a +->，所以2a >．因此，任意以点()0,1A 为圆心的圆与椭圆至多有个公共点的充要条件为12a <≤， 由21c a e a-==得，所求离心率的取值范围为202e <≤．考点：1、弦长；2、圆与椭圆的位置关系；3、椭圆的离心率．19.【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线不过原点O 且不平行于坐标轴，与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ．(Ⅰ)证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若过点(,)3mm ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由．【答案】(Ⅰ)详见解析；（Ⅱ）能，4747+【解析】(Ⅰ)设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b=+代入2229x y m +=得2222(9)20k x kbx b m +++-=，故12229M x x kbx k +==-+， 299M M by kx b k =+=+．于是直线OM 的斜率9M OM My k x k ==-，即9OM k k ⋅=-．所以直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值．（Ⅱ）四边形OAPB 能为平行四边形． 因为直线过点(,)3mm ，所以不过原点且与C 有两个交点的充要条件是0k >，3k ≠． 由(Ⅰ)得OM 的方程为9y x k=-．设点P 的横坐标为P x ．由2229,9,y x k x y m ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩得2222981Pk m x k =+，即P x =．将点(,)3m m 的坐标代入直线的方程得(3)3m k b -=，因此2(3)3(9)M mk k x k -=+．四边形OAPB 为平行四边形当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即2P M x x ==2(3)23(9)mk k k -⨯+．解得14k =24k =．因为0,3i i k k >≠，1i =，，所以当的斜率为44+OAPB 为平行四边形．【考点定位】1、弦的中点问题；2、直线和椭圆的位置关系．【名师点睛】(Ⅰ)题中涉及弦的中点坐标问题，故可以采取“点差法”或“韦达定理”两种方法求解：设端点,A B 的坐标，代入椭圆方程并作差，出现弦AB 的中点和直线的斜率；设直线的方程同时和椭圆方程联立，利用韦达定理求弦AB 的中点，并寻找两条直线斜率关系；（Ⅱ）根据(Ⅰ)中结论，设直线OM 方程并与椭圆方程联立，求得M 坐标，利用2P M x x =以及直线过点(,)3mm 列方程求的值． 20.【2016高考新课标2理数】已知椭圆:E 2213x y t +=的焦点在轴上，A 是E 的左顶点，斜率为(0)k k >的直线交E 于,A M 两点，点N 在E 上，MA NA ⊥． （Ⅰ）当4,||||t AM AN ==时，求AMN ∆的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围．【答案】（Ⅰ）14449；（Ⅱ）()32,2.【解析】试题解析：（I ）设()11,M x y ，则由题意知10y >，当4t =时，E 的方程为22143x y +=，()2,0A -.由已知及椭圆的对称性知，直线AM 的倾斜角为4π.因此直线AM 的方程为2y x =+. 将2x y =-代入22143x y +=得27120y y -=.解得0y =或127y =，所以1127y =. 因此AMN ∆的面积11212144227749=⨯⨯⨯=. （II ）由题意3t >，0k >，(),0A t -.将直线AM 的方程()y k x t =+代入2213x y t +=得()222223230tk x ttk x t k t +++-=. 由(22123t k x t tk ⋅=+得)21233t tk x tk-=+，故()221621t k AM x t k +=+=由题设，直线AN 的方程为(1y x t k=-+，故同理可得()261k t k AN +==，由2AM AN =得22233k tk k t=++，即()()32321k t k k -=-. 当32k =因此()33212k k t k -=-.3t >等价于()()232332132022k k k k k k k -+-+-=<--，即322kk-<-.由此得32020kk->⎧⎨-<⎩，或32020kk-<⎧⎨->⎩，解得322k<<.因此k的取值范围是()32,2.考点：椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.21.【2015高考四川，理20】如图，椭圆E：2222+1(0)x ya ba b=>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直线平行与x轴时，直线被椭圆E截得的线段长为22.(1)求椭圆E的方程；（2）在平面直角坐标系xOy中，是否存在与点P不同的定点Q，使得QA PAQB PB=恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22142x y+=；（2）存在，Q点的坐标为(0,2)Q.【解析】（1）由已知，点2,1)在椭圆E上.因此，22222211,,2a ba b cca⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩解得2,2a b==.所以椭圆的方程为22142x y+=.所以，若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点的坐标只可能为(0,2)Q . 下面证明：对任意的直线，均有||||||||QA PA QB PB =. 当直线的斜率不存在时，由上可知，结论成立.当直线的斜率存在时，可设直线的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y .联立221,421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)420k x kx ++-=. 其判别式22168(21)0k k ∆=++>， 所以，12122242,2121k x x x x k k +=-=-++. 因此121212112x x k x x x x ++==. 易知，点B 关于y 轴对称的点的坐标为22(,)B x y '-.xy PA B'F 2F 1OB 1BQ又122122111,y y k k k k k x x '--==-==-+=-， 所以QA QB k k '=，即,,Q A B '三点共线.所以12||||||||||||||||xQAQA PAQB QB x PB==='.故存在与P不同的定点(0,2)Q，使得||||||||QA PAQB PB=恒成立.22.【2016年高考北京理数】（本小题14分）已知椭圆C：22221+=x ya b（0a b>>）的离心率为3，(,0)A a，(0,)B b，(0,0)O，OAB∆的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设P的椭圆C上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：BMAN⋅为定值.【答案】（1）2214xy+=；（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）根据离心率为32，即32ca=，OAB∆的面积为1，即112ab=，椭圆中222a b c=+列方程求解；（2）根据已知条件分别求出AN，||BM的值，求其乘积为定值.所以椭圆C的方程为1422=+yx.（2）由（Ⅰ）知，)1,0(),0,2(BA，设),(00y x P ，则442020=+y x . 当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M .从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N .从而12200-+=-=y x x AN N . 所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=. 当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.考点：1.椭圆方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系.23.【2016年高考四川理数】（本小题满分13分）已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点，直线:3l y x =-+与椭圆E 有且只有一个公共点T . （Ⅰ）求椭圆E 的方程及点T 的坐标；（Ⅱ）设O 是坐标原点，直线l’平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P ．证明：存在常数λ，使得2PTPA PB λ=⋅，并求λ的值.【答案】（Ⅰ）22163x y +=，点T 坐标为（2,1）；（Ⅱ）45λ=.【解析】试题分析：（Ⅰ）由椭圆两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个顶点可得2a c =，从而可得2a b =，椭圆的标准方程中可减少一个参数，再利用直线和椭圆只有一个公共点，联立方程，方程有两个相等实根，解出b 的值，从而得到椭圆的标准方程；（Ⅱ）首先设出直线'l 方程为12y x m =+，由两直线方程求出点P 坐标，得2PT ，同时设交点1122(,),(,)A x y B x y ，把'l 方程与椭圆方程联立后消去y 得x 的二次方程，利用根与系数关系，得1212,x x x x +，再计算PA PB ⋅，比较可得λ值.试题解析：（I ）由已知，222(2)a a c +=，即2a c =，所以2a b =，则椭圆E 的方程为222212x y b b+=. 由方程组22221,23,x y b b y x ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩得22312(182)0x x b -+-=.①方程①的判别式为2=24(3)b ∆-，由=0∆，得2=3b ，此方程①的解为=2x ，所以椭圆E 的方程为22163x y +=. 点T 坐标为（2,1）.由方程组2216312x y y x m ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，可得2234(412)0x mx m ++-=.②方程②的判别式为2=16(92)m ∆-，由>0∆，解得323222m -<<. 由②得212124412=,33m m x x x x -+-=. 所以221112252(2)(1)23323m m m PA x y x =--++-=--， 同理252223m PB x =--， 所以12522(2)(2)433m mPA PB x x ⋅=---- 21212522(2)(2)()433m mx x x x =---++ 225224412(2)(2)()43333m m m m -=----+2109m =.故存在常数45λ=，使得2PT PA PB λ=⋅. 考点：椭圆的标准方程及其几何性质.24.【2015高考重庆，理21】如题（21）图，椭圆()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,,F F 过2F 的直线交椭圆于,P Q 两点，且1PQ PF ⊥（1）若1222PF PF ==，求椭圆的标准方程（2）若1,PF PQ =求椭圆的离心率.e 【答案】（1）22+y =14x ；（2【解析】试题解析：（1）本题中已知椭圆上的一点到两焦点的距离，因此由椭圆定义可得长轴长，即参数的值，而由1PQ PF ⊥，应用勾股定理可得焦距，即的值，因此方程易得；（2）要求椭圆的离心率，就是要找到关于,,a b c 的一个等式，题中涉及到焦点距离，因此我们仍然应用椭圆定义，设1PF m =，则22PF a m =-，22(2)22QF PQ PF m a m m a =-=--=-，于是有12242QF a QF a m=-=-，这样在1Rt PQF ∆中求得2(2m a =-，在12Rt PF F ∆中可建立关于,a c 的等式，从而求得离心率. (1)由椭圆的定义，122|PF ||PF |22224a a ，故=2.设椭圆的半焦距为c ，由已知12PF PF ⊥，因此222212122|FF ||PF ||PF |222223c ，即 从而22b1a c故所求椭圆的标准方程为22+y =14x .()()22222222222221|PF |=2+c 2222.c b a b a b a a b a a b a c ⎛⎫⎛⎫-+=-+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |2|PF |，因此12+2|PF|=4a 于是222224.aa b a 解得2141163222e ⎡⎤⎛⎫=+-=-⎢⎥⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 解法二：如图(21)图由椭圆的定义，1212|PF ||PF |2,|QF ||QF |2a a ,从而由122|PF |=|PQ |=|PF |+|QF |，有11|QF |42|PF |a又由12PF PF ⊥，1|PF |=|PQ |知11|QF |2|PF |，因此1142|PF |2|PF |a ,1|PF |=2(2-2)a ,从而21|PF |=2-|PF |2(2-2)2(21)a a aa 由12PF PF ⊥,知22222122|PF ||P F ||PF |(2)4c c ，因此221222|PF ||P F |(22)(21)96263c ea【考点定位】考查椭圆的标准方程，椭圆的几何性质.，直线和椭圆相交问题，考查运算求解能力．25.【2015高考安徽，理20】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为10. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程.【答案】（I）5；（II ）221459x y +=. 【解析】（I ）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b，又OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ==，故5c e a ==. （II ）由题设条件和（I ）的计算结果可得，直线AB1yb+=，点N的坐标为1,)22b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T 的坐标为117,)244x b +-+.又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k ⋅=-,从而有1117441712x b b b +-++=⎨+⎪=⎪⎪⎪⎩解得3b =，所以a =，故椭圆E 的方程为221459x y +=. 【考点定位】1.椭圆的离心率； 2.椭圆的标准方程；3.点点关于直线对称的应用.26.【2015高考福建，理18】已知椭圆E ：22221(a 0)x y b ab 过点2），且离心率为22． xy BAOG(Ⅰ)求椭圆E 的方程； (Ⅱ)设直线1xmy m R ，()交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 9(4-,0)与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．【答案】(Ⅰ)22142x y ；(Ⅱ) G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【解析】解法一：(Ⅰ)由已知得2222,2,2,b c a a b c 解得222a b c ， 所以椭圆E 的方程为22142x y ．22222121212()(y )(m +1)(y )|AB|444x x y y22221212012(m +1)[(y )4y ](m +1)(y y )4y y y ,故222222012222|AB|52553(m +1)25172|GH|my (m +1)y 042162(m 2)m 21616(m 2)m m y所以|AB||GH|>2，故G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．解法二：(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)设点1122(y ),B(,y ),A x x ，则112299GA(,),GB (,).44x y x y 由22221(m 2)y 230,142x my my x y得所以12122223y +y =,y y =m 2m 2m ， 从而121212129955GA GB()()(my )(my )4444x x y y y y 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)m 所以cos GA,GB 0,GA GB 又，不共线，所以AGB 为锐角.故点G 9(4-,0)在以AB 为直径的圆外．【考点定位】1、椭圆的标准方程；2、直线和椭圆的位置关系；3、点和圆的位置关系．27.【2015湖南理20】已知抛物线21:4C x y =的焦点F 也是椭圆22222:1(0)y x C a b a b+=>>的一个焦点，1C 与2C 的公共弦的长为26（1）求2C 的方程；（2）过点F 的直线与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且AC 与BD 同向 （ⅰ）若||||AC BD =，求直线的斜率（ⅱ）设1C 在点A 处的切线与轴的交点为M ，证明：直线绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形【答案】（1）22198y x +=；（2）（i ）64±，（ii ）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据已知条件可求得2C 的焦点坐标为)1,0(，再利用公共弦长为62即可求解；（2）（i ）设直线的斜率为，则的方程为1+=kx y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩得216640x kx +-=，根据条件可知AC =BD ，从而可以建立关于的方程，即可求解；（ii ）根据条件可说明FA 2211111024x x FM y =-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角，即可得证试题解析：（1）由1C ：24x y =知其焦点F 的坐标为(0,1)，∵F 也是椭圆2C 的一焦点，∴221a b -=①，又1C 与2C 的公共弦的长为26，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为24x y =，由此易知1C 与2C 的公共点的坐标为3(6,)2，∴229614a b +=②，联立①，②，得29a =，28b =，故2C 的方程为22198x y +=；（2）如图f ，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，（i ）∵AC 与BD 同向，且||||BD AC =，∴AC BD =，从而31x x -=42x x -，即12x x -=34x x -，于是()2124x x +-12x x =()2344x x +-34x x ③，设直线的斜率为，则的方程为1+=kx y ，由214y kx x y=+⎧⎨=⎩（ii ）由24x y =得'y =2x ，∴1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x xy y -=-，即 4211x x x y -=，令0=y ，得12x x =，即)0,2(1xM ，∴1(,1)2x FM =-，而11(,1)FA x y =-，于是FA 2211111024x x FM y =-+=+>，因此AFM ∠是锐角，从而180MFD AFM ∠=-∠是钝角.，故直线绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.【考点定位】1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆位置关系.。