第七节正弦定理和余弦定理
【知识与技能】：
1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
2、能够运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题。
3、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和
几何计算有关的实际问题．
【教学重点】正弦定理、余弦定理及它们的常见变形形式。
【教学难点】利用正弦定理、余弦定理解三角形，判断三角形
形状，求三角形面积等。
【基本知识梳理】
一、正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则：
思考：正弦定理，余弦定理解决的问题？
二、三角形的面积公式
1．S ＝12
a ·h a ，(h a 表示a 边上的高)． 2．S ＝12
bc sin A ＝ ＝ . 3．S ＝12
(a ＋b ＋c )·r (r 为三角形内切圆半径)． 【本节考点研究】
考点一：利用正弦、余弦定理解三角形
例1、(1)(2013·抚顺模拟)△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，设向量p ＝(a ＋c ，b )，q ＝(b －a ，c －a )，若p ∥q ，则角C 的大小为（B ）
A.π6 B ．π3 C.π2 D ．3π2
解析：由p ∥q 得()()()0a c c a b b a +---=， ∴a 2＋b 2－c 2＝ab .
∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12, 又0<C <π， ∴C ＝π3
. (2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c 等于（ B ）
A ．1
B ．2 C.3－1 D ．3
思路一：利用正弦定理求解。
思路二：利用余弦定理求解。
【变式训练】
(1)若△ABC 的内角A ，B ，C 满足6sin A ＝4sin B ＝3sin C ，则cos B ＝( D ) A.154 B ．34 C.31516 D ．1116
(2) 设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos A ＝35
，cos B ＝513，b ＝3，则c ＝_145
_. 考点二：利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
例2、(1)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且三内角A ，B ，C 成等差数列，三边长a ，b ，c 成等比数列，则△ABC 的形状为（A ）
A ．等边三角形
B ．非等边的等腰三角形
C ．直角三角形
D ．钝角三角形
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，
且2asin A ＝(2b ＋c)sin B ＋(2c ＋b)sin C. ①求A 的大小； ②若sin B ＋sin C ＝1，试判断△ABC 的形状．
解：①由已知和正弦定理得2a 2＝(2b ＋c )b ＋(2c ＋b )c ，
∴a 2＝b 2＋c 2＋bc ，
由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－bc 2bc ＝－12
， 又0<A <π，∴A ＝120°.
②由①知，a 2＝b 2＋c 2＋bc ，∴sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C ， 即34
＝sin 2B ＋sin 2C ＋sin B sin C . 又sin B ＋sin C ＝1，∴sin C ＝1－sin B ，
代入上式，(2sin B －1)2＝0， ∴sin B ＝12， ∴sin B ＝sin C ＝12
. 又0°<B ，C <90°， ∴B ＝C ， ∴ △ABC 是等腰的钝角三角形
【变式训练】
(1)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
且222222c a b ab =++ ，则△ABC 是( A )
A ．钝角三角形
B ．直角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
(2)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若a ＝2bcos C ，则此三角形一定是( C )
A ．等腰直角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
【本节课堂小结】
1、掌握正弦定理、余弦定理及它们的常见变形式。
2、能够运用正弦定理、余弦定理解三角形，并且能判断三角形的形状。
【作业】
1、(2012·浙江高考)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B . (1)求角B 的大小；
(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．
2、(2012·安徽名校模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边
分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫cos 2A 2，cos 2A ，且m ·n ＝72
. (1)求角A 的大小；(2)若b ＋c ＝2a ＝23，试判 断△ABC 的形状．。