§1.2应用举例（1）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关测量不能到达的一点或两点的距离的实际问题．2．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.正弦定理和余弦定理的基本公式是什么？2.正弦定理和余弦定理分别适合解哪些类型的三角形？3.在测量问题中，对于可到达的点之间的距离，一般直接度量，对于一个或两个点不可到达的两点间的距离，常在特定情境下通过解三角形进行计算，我们将对这类问题作些实例分析.二、自主探究探究（一）：一个不可到达点的距离测量思考1：如图，设A、B两点在河的两岸，测量者在点A的同侧，在点A所在河岸边选定一点C，若测出A、C的距离是55m，∠BAC=51°，∠ACB=75°，如何求出A、B两点的距离？思考2：若改变点C的位置，哪些相关数据可能会发生变化？对计算A、B两点的距离是否有影响？思考3：一般地，若A为可到达点，B为不可到达点，应如何设计测量方案计算A、B两点的距离（总结思考1，给出解决问题的步骤）？思考4：根据上述测量方案设置相关数据，设AC=d，∠ACB=α，∠BAC=β. 计算A、B两点的距离公式是什么？探究（二）：两个不可到达点的距离测量思考1：如图，在四边形ABCD中，已知∠BAC＝∠DBC＝45°，∠DAC＝75°，∠ABD＝30°，且AB＝3，你能求出CD边的长吗？思考2：设A、B两点都在河的对岸（不可到达），你能设计一个测量方案计算A、B两点间的距离吗（总结思考1，给出解决问题的步骤）？思考3：在上述测量方案中，设CD=a，∠ACB=α，∠ACD=β，∠BDC=γ，∠ADB=δ，那么AC 和BC的计算公式是什么？思考4：测量两个不可到达点之间的距离还有别的测量方法吗？三、理论迁移1．如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝120 米．(1)求 sin75°； (2)求该河段的宽度．2．如图，A，B 两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C，D，测得CD＝1 000 米，∠ACB ＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB 的长．30, 30min后航行到B处, 3．如图,一艘船以32n mile/h的速度向正北航行,在A处看灯塔S在船的北偏东︒75方向上,（1）求灯塔S和B处的距离；（2）已知距离此灯塔7 n mile 在B处看灯塔S在船的北偏东︒AB以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？4．某观测站C 在城A 的南偏西20°方向，由城A 出发的一条公路沿南偏东40°方向笔直延伸.在C 处测得公路上B 处有一人与观测站C 相距31km ，此人沿公路走了20km 后到达D 处，测得C 、D 间的距离是21km ；问这个人还要走多远才能到达A 城？5．如图，现要计算北江岸边两景点 B 与 C 的距离．由于地形的限制，需要在岸上选取 A 和 D 两个测量点，现测得AD ⊥CD ，AD ＝10 km ，AB ＝14 km ，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求两景点B 与C 的距离．(假设A ，B ，C ，D 在同一平面内，测量结果保留整数；参考数据：2≈1.414)北四、小结1.根据测量需要适当确定的线段叫做基线.基线的选取不唯一，一般基线越长，测量的精确度越高.2.距离测量问题包括一个不可到达点和两个不可到达点两种，设计测量方案的基本原则是：能够根据测量所得的数据计算所求两点间的距离，其中测量数据与基线的选取有关，计算时需要利用正、余弦定理.§1.2应用举例（2）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量问题．3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.测量一个可到达点与一个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？2.测量两个不可到达点之间的距离，应如何测量和计算？3.竖直方向两点间的距离，通常称为高度.如何测量顶部或底部不可到达的物体的高度，也是一个值得探究的问题.二、自主探究探究（一）：利用仰角测量高度思考1：设AB是一个底部不可到达的竖直建筑物，A为建筑物的最高点，在水平面上取一点C，可以测得点A的仰角，若计算建筑物AB的高度，还需解决什么问题？注：仰角和俯角是指与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线与目标视线的_________，目标视线在水平视线上方时叫做_________，目标视线在水平视线下方时叫做_________．如图仰角为_________，俯角为_________．思考2：取水平基线CD，只要测量出哪些数据就可计算出AC的长？思考3：设在点C、D出测得A的仰角分别为α、β，CD=a，测角仪器的高度为h，那么建筑物高度AB的计算公式是什么？思考4：如图，在山顶上有一座铁塔BC，塔顶和塔底都可到达，A为地面上一点，通过测量哪些数据，可以计算出山顶的高度？思考5：设在点A处测得点B、C的仰角分别为α、β，铁塔的高BC=a，测角仪的高度忽略不计，那么山顶高度CD的计算公式是什么？探究（二）：利用俯角测量高度思考1：飞机的海拔飞行高度是可知的，若飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内，飞机在水平飞行中测量山顶的高度，关键是求出哪个数据？思考2：如图，设飞机在飞临山顶前，在B、C两处测得山顶A的俯角分别是α、β，B、C两点的飞行距离为a，飞机的海拔飞行高度是H，那么山顶的海拔高度h的计算公式是什么？探究（三）：借助方向角测量高度思考1：一辆汽车在一条水平的公路上向正西方向行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°方向上，仰角为8°，根据这些测量数据计算，此山的高度约是多少？思考2：若在A、B两处测得山顶D的仰角分别为α、β，从A到B的行驶距离为a，能否求出此山的高度？思考3：在上述条件下，若在A处还测得山顶D的方位角是西偏北θ方向，能否求出此山的高度？三、理论迁移1.为了测量某塔的高度，某人站在A 处测得塔尖的仰角为 60°，前进 38.5 m 后，达到B 处测得塔尖的仰角为 75°.试计算该塔的高度(精确到 1 m)．2．在某点B处测得建筑物AE的顶端A的仰角为θ，沿BE方向前进30m，至点C处测得顶端A的仰角为2θ，再继续前进103m至D点，测得顶端A的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE的高.P B AQ C βγα3．在 200 米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为 30°，60°，求该塔的高度．4．在山脚A 测得山顶P 的仰角为α，沿倾斜角为β的斜坡向上走m 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高)sin()sin(sin αγβγα--=m h ．四、小结1.解决物体高度测量问题时，一般先从一个或两个可到达点，测量出物体顶部或底部的仰角、俯角或方位角，再解三角形求相关数据.具体测量哪个类型的角，应根据实际情况而定.通常在地面测仰角，在空中测俯角，在行进中测方位角.2.计算物体的高度时，一般先根据测量数据，利用正弦定理或余弦定理计算出物体顶部或底部到一个可到达点的距离，再解直角三角形求高度.§1.2应用举例（3）【学习目标】1．能正确运用正弦定理和余弦定理等知识和方法解决一些角度计算的实际问题．3．巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的研究、探索习惯．【学习过程】一、问题引入1.测量水平面内两点间的距离，有哪两种类型？分别测量哪些数据？2.测量物体的高度时，对角的测量有哪几种类型？在实际问题中如何选择？3.角度是三角形的基本元素，是反映实际问题中物体方向的几何量，根据相关数据计算角的大小，也是测量问题中的一个重要内容.二、自主探究探究（一）：探究（一）：测量行进方向思考1：一艘海轮从海港A出发，沿北偏东75°的方向航行67.5 n mile后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东32°的方向航行54.0 n mile后到达海岛C，那么A、C 两点间的直线距离是否确定？如何计算？思考2：在上述问题中，若海轮直接从海港A出发，直线航行到海岛C，如何确定海轮的航行方向？思考3：甲船在A处发现乙船在北偏东60°的B处，以20 n mile/h的速度向正北方向航行，若使甲船在直线航行中，与乙船在某处相遇，那么甲船的航行方向由什么因素所确定？思考4：在上述问题中，若甲船的航速为320n mile/h，那么甲船应沿什么方向航行才能与乙船在C处相遇？探究（二）：测量相对位置思考1：甲船在A处，乙船在点A的东偏南45°方向，且与甲船相距9 n mile的B处.在点B 南偏西15°方向有一个小岛C，甲、乙两船分别以28 n mile/h和20 n mile/h的速度同时向小岛直线航行，并同时达到小岛，那么B处与小岛的距离是多少？思考2：在A处观察小岛，其位置如何？三、理论迁移1. 在A 处有一条小船，在点A 的北偏东30°方向有一个小岛B ，这附近海域内有北偏东60°方向，且速度为4 nmile/h 的潮流.已知小船的航速是)26(2+ n mile/h ，若使小船在最短的时间内达到小岛，小船应沿什么方向航行？2. 如图，已知一艘船以30 n mile/h 的速度往北偏东︒15的A 岛行驶，计划到达A 岛后停留10min 后继续驶往B 岛，B 岛在A 岛的北偏西︒60的方向上。

船到达C 处时是上午10时整，此时测得B 岛在北偏西︒30的方向，经过20 min 到达D 处，测得B 岛在北偏西︒45的方向，如果一切正常的话，此船何时能到达B 岛？3．如图，某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，测出该渔轮在方位角（从指北方向顺时针转ACD ︒60︒45︒30B到目标方向线的水平角）为45，距离为10n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105的方向，以h mile n /)13(10-的速度向小岛靠拢，我海军舰艇立即以h mile n /610的速度前去营救.求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间.4.在海岸A 处，发现北偏东 45方向，距离A 为)13(- n mile 的B 处有一艘走私船，在A 处北偏西 75方向，距离A 为2 n mile 的C 处有一艘缉私艇奉命以310n mile / h 的速度追截走私船，此时，走私船正以10 n mile / h 的速度从B 处向北偏东 30方向逃窜，问缉私艇沿什么方向行驶才能最快追上走私船？并求出所需时间。