三角形中的“四心”的向量表示
安徽省合肥168中学 卢业照
向量既反映数量关系，又体现位置关系，从而能数形结合地用代数方法来研究几何问题，即把几何代数化，从而用代数运算解几何问题。作为处理几何问题的一种工具，向量方法兼有几何的直观性，表述的简洁性和方法的一般性。
使用向量的第一步，是要在图中指定基向量（基底），这组基底一般是线性无关的。一旦确定了基向量，在整个问题的解决过程中，以此为依据而进行计算。在确定点的位置时，经常用向量的线性关系（这是向量的重要性质，贯穿在整个向量法中）来解决;在处理垂直关系，长度关系及交角等问题时，一般用向量的数量积来解决。
分析：由 =λ 知 ∥ ，其中AO平分∠BAC，
故P点的轨迹一定通过△ABC的内心。
【例5】已知点O是△ABC所在平面上一点，若 ，则点O是△ABC的_____心。
分析：由已知 知是外心.
三、三角形“四心”的统一表达式
定理：如图，点M是△ABC所在平面内任一点，总有 .
特别地，①当点M是重心G时，有
分析： 得
·2 =0，即 · =0，∴ ⊥
同理可证： ⊥ ， ⊥ ，故O为垂心。
【例4】已知O是△ABC所在平面上一点，若a、b、c是角A、B、C的所对边的边长，且 ，则O是△ABC的______心。
分析：联系重心向量式的证明方式，取 、 为基向量，则 = － ， = － ，故 = + ， = + ，将其代入 中得到（a+b+c） +b +c = ，
向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。理解平面向量及其运算的定义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，从而发展学生的运算能力和解决实际问题的能力。
(2)三角形的三条中线交与一点。
二、三角形的四心——重心、垂心、外心、内心的向量表示
例2、已知O是△ABC所在平面内一点，若 ，则点O是△ABC的重心。
分析：利用 及加法的平行四边形法则可证。
拓展：若 ，λ∈(0，+∞)，则点P的的轨迹一定是△ABC的_______心。(重心)
例3、已知O是△ABC所在平面内一点，若 · = · = · ，则点O是△ABC的垂心。
即 =
又 ， 故
由 和 分别是与 ， 同向的单位向量 和 ，则（ + ）∥ ，故AO平分∠BAC，同量，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，故O是△ABC的内心。
点评：从向量角度给出△ABC中，∠BAC的角平分线的表达式，
即：OA平分∠BAC =
拓展：点O是△ABC平面上一定点，动点P满足 = +λ ，λ∈[0，+∞]，则P的轨迹一定通过△ABC的______心。
分析：由于AH=OA,则AH=OA=R，
当A是锐角时，< >=2A,当A为钝角时，
上面每一步可以逆推，
以上从三角形“四心”方面体现了向量与几何的密切联系，即向量概念引入后，全等、平行（平移）、相似和垂直等几何关系就可转化为向量的加（减）法，数乘向量，数量积的运算，从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系。
分析： · = · 得 · ==0，∴OB⊥AC
同理 ⊥ ， ⊥ 可证。
拓展1：已知O是△ABC平面上一定点，若 = +λ ，λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的_______心。
分析： =λ ，
由于 · =0，
∴ ⊥ ，∴动点P一定过△ABC的垂心。
拓展2：点O是△ABC所在平面内一点，满足 ，则点O是△ABC的______心。
②当点M是垂心H时,有
③当点M是外心O时，有
④当点M是内心I时,有 .
下面证明这个定理：
设 则
有平面向量的平行四边形法则知，作 ∽ຫໍສະໝຸດ ,同理，.
同理， .
易证：①当点M是重心G时， .
②当点M是垂心H时,
③当点M是外心O时，
④当点M是内心I时， 故定理得证.
四、三角形“四心”的综合问题
例6、已知点O是△ABC所在平面内一定点，且 + + = ，当点P在何位置时， 的值最小。
一、线共点问题。解决线共点问题转化为向量共线问题来解决。=
例1、用向量法求证：△ABC的三条高共点.
分析：得BC与AC边上的高AD与BE交于H，连接CH，只要证明CH⊥AB即可。因此，关键是选好基向量.
设 ， ， ，则
由 ⊥ ， ⊥ 得
∴ ⊥ ，同理， 得证。
类似方法，还可以证明：
（1）三角形的三条内角平分线交于一点。
分析： == － · = ,
故当点P是△ABC的重心O时，所求值最小。
例7.已知O为△ABC的外心，H为垂心，求证：
分析：如图，作直径BD，连DA、DC，有
拓展：1.求证：△ABC的外心O，垂心H,重心G三点共线，且OG:GH=1:2.
分析：有上题知
拓展2. .已知△ABC不是直角三角形，点O为△ABC的外心，H为△ABC的垂心. △ABC满足什么条件，有AH=OA.