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历年考研高等数学真题之概率统计部分


(B) P( X = Y ) = 1
(C) P( X + Y = 0) = 1 4
(D) P( XY = 1) = 1 4
[]
7(98,3 分) 设 F1 (x)与F2 (x) 分 别 为 随 机 变 量 X1 与 X2 的 分 布 函 数 。 为 使
F (x) = a1F1 (x) − bF2 (x) 是某一随机变量的分布函数,在下列给定的各组数值中应取
5
5
(B) a = 2 , b = 2 33
(C) a = − 1 ,b = 3 22
(D) a = 1 , b = − 3
2
2
6(99,9 分) 设二维随机变量(X,Y)在矩形 G={(X,Y)}0≤x≤2,0≤y≤1 上服从
均匀分布,试求边长为 X 和 Y 的矩形面积 S 的概率密度 f(s)。
⎜⎛ 1
2 ⎟⎞
X ~⎜

⎜⎝ 0.3
0.7 ⎟⎠
而 Y 的概率密度为 f(y),求随机变量 U=X+Y 的概率密度 g(u)。
11(05,4 分)从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X,再从 1,…,X 中任取一个数,
记为 Y,则 P{Y=2}=
.
12(05,4 分) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
求 P{X + Y ≤ 1} 。
4(94,8 分) 设随机变量 X 1, X 2 , X 3 , X 4 相互独立且同分布,
P( X i = 0) = 0.6, P( X i = 1) = 0.4(i = 1,2,3,4) 。
求行列式
的概率分布。 5(95,8 分)
X = X1
X2
X3
X4
已知随机变量(X,Y)的联合概率密度为
求:(I)(X,Y) 的边缘概率密度 f X (x), fY ( y);
(II)Z=2X-Y 的概率密度 fZ (z);
(III) P⎨⎧Y ⎩

1 2
X

1 2
⎬⎫. ⎭
[ ] 14(06,4 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间 0, 3 上的均匀分布,则
P{max ( X ,Y ) ≤ 1} = _________
⎪0, 其他
⎪⎩
二维随机变量(X,Y)的分布函数.
(Ⅰ)求 Y 的概率密度 fY ( y)
(Ⅱ)
F
⎛ ⎜⎝

1 2
,
4
⎞ ⎟⎠
数学三:
1(90,3 分) 设随机变量 X 和 Y 相互独立,其概率分布为
m
−1 1
m
−1 1
P{X = m}
1
1
2
2
P{Y = m}
1
1
2
2
则下列式子正确的是:
(A) X = Y
.
11(05,4 分) 设二维随机变量(X,Y)的概率分布为
Y X
0 1
0 0.4 b
1 a 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立,则
A、a=0.2, b=0.3
B、a=0.1, b=0.4
C、a=0.3, b=0.2
D、a=0.4, b=0.1
12(05,13 分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
Y X
0 1
0 0.4 b
1 a 0.1
若随机事件{X=0}与{X+Y=1}互相独立,则 a =_____________, b =_____________. 13(05,13 分) 设二维随机变量(X, Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎧1, ⎩⎨0,
0 < x < 1,0 < y < 2x, 其他.
∫ Φ(x) = 1
x −t2
e 2 (dt) 。
2π −∞
4(94,3 分) 设相互独立的两个数随机变量 X 与 Y 具有同一分布律,且 X 的分布律
X 01

则随机变量 Z=max{X,Y}的分布律为

p11 22
5(95,3 分) 设 X 和 Y 为两个随机变量,且
P{X ≥ 0,Y ≥ 0} = 3 , P{X ≥ 0} = P{Y ≥ 0} = 4
(A)0 9(01,8 分)
(B) 1 4
(C) 1 2
(D)1
[]
设随机变量 X 和 Y 的联合分布是正方形
G = {(x, y :1 ≤ x ≤ 3,2 ≤ y ≤ 3} 上 的 均 匀 分 布 。 试 求 随 机 变 量
U =| X − Y | 的概率密度p(u) 。
10(03,13 分) 设随机变量 X 与 Y 独立,其中 X 的概率分布为
7(99,8 分) 已知随机变量X1和X2的概率分布


⎢−1 0 1⎥


⎢0 1⎥
X1
~
⎢ ⎢ ⎢
1
1
1
⎥⎥, ⎥
X2
~
⎢ ⎢⎢ 1

1
⎥ ⎥
⎢⎣ 4 2 4⎥⎦
⎢⎣ 2 2⎥⎦
而且P{ X1X2 =0}=1。
(1) 求X1和X2的联合分布:
(2) 问X1和X2是否独立?为什么?
8(02,3 分) 设X1和X2是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分
(II)Z=2X-Y 的概率密度 f Z ( z ). 14(06,4 分)设随机变量 X 与 Y 相互独立,且均服从区间[0, 3]上的均匀分布,则
P{max{X , Y} ≤ 1} =
.
⎧1
⎪ ⎪
2
,
−1
<
x
<
0
15(06,9
分)随机变量
x
的概率密度为
fx
(x)
=
⎪1
⎨ ⎪
4
,0

x
<
2
令y = x2, F ( x, y) 为
条件下,随机变量 Y 在区间 (0, x) 上服从均匀分布,求
(Ⅰ) 随机变量 X 和 Y 的联合概率密度; (Ⅱ) Y 的概率密度;
(Ⅲ) 概率 P{X + Y > 1}.
10(05,4 分) 从数 1,2,3,4 中任取一个数,记为 X,再从 1,…,X 中任取一个
数,记为 Y,则 P{Y=2}=
(B) P{X = Y} = 0
(C) P{X = Y} = 1 2
(D) P{X = Y} = 1
2(90,5 分) 一电子仪器由两个部件构成,以 X 和 Y 分别表示两个部件的寿命(单
位:千小时),已知 X 和 Y 的联合分布函数为:
F ( x,
y)
=
⎧1 − e0.5x ⎨− e −0.5 y源自f(x,y)
=
⎧4xy, ⎩⎨0,
若0 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ 1 其他
求(X,Y)的联合分布函数。
6(97,3 分) 设两个随机变量 X 与 Y 相互独立且同分布,P(X=-1—)=P(Y=-1)
= 1 ,P(X=1)=P(Y=1)= 1 ,则下列各式成立的是
2
2
(A) P( X = Y ) = 1 2
别为 f1 (x)和f 2 (x) ,分布函数分别为 F1 (x)和F2 (x) 。则
(A) f1(x) + f2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。
(B) F1 (x)F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 (C) F1 (x) + F2 (x) 必为某一随机变量的分布函数。 (D) f1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度。 9(04,13 分) 设随机变量 X 在区间 (0,1) 上服从均匀分布,在 X = x(0 < x < 1) 的
(1,1),则
(A) P{X + Y ≤ 0} = 1 2
(B) P{X + Y ≤ 1} = 1 2
(C) P{X − Y ≤ 0} = 1 2
(D) P{X − Y ≤ 1} = 1 2
8(99,8 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合
分布律及关于 X 和关于 Y 的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处。
+ e −0.5( x+ y)

0,
若x ≥, y ≥ 0 其他
(1) 问 X 和 Y 是否独立? (2) 求两个部件的寿命都超过 100 小时的概率。 3(92,4 分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
( x,
y)
=
⎧e ⎨

y
,
⎩0,
0<x< y 其他
(1) 求 X 的概率密度 f X (x);
(A)a=0.2, b=0.3
(B) a=0.4, b=0.1
(D)a=0.3, b=0.2
(D)a=0.1, b=0.4 [
]
13(05,9 分) 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
f
(
x,
y)
=
⎧1, ⎩⎨0,
0 < x < 1, 其他
0 < y < 2x,
求:(I)(X,Y)的边缘概率密度 f X (x), fY ( y);
f
(x,
y)
=
⎧2e −(x+2 y) ⎨
⎩ 0,
求随机变量 Z=X+2Y 的分布函数。
x > 0, y > 0 其他
3(92,6 分) 设随机变量 X 与 Y 相互独立,X 服从正态分布 N (μ,σ 2 ) ,Y 服从[-π,
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